Berdasarkan populariti permintaan "Teorem Fermat - bukti ringkas", masalah matematik ini benar-benar menarik minat ramai. Teorem ini pertama kali dinyatakan oleh Pierre de Fermat pada tahun 1637 di tepi salinan Aritmetik, di mana dia mendakwa bahawa dia mempunyai penyelesaian yang terlalu besar untuk dimuatkan pada tepi.
Bukti pertama yang berjaya diterbitkan pada tahun 1995 - ia adalah bukti lengkap Teorem Fermat oleh Andrew Wiles. Ia telah digambarkan sebagai "kemajuan yang mengejutkan" dan membawa Wiles untuk menerima Hadiah Abel pada 2016. Walaupun diterangkan secara ringkas, bukti teorem Fermat juga membuktikan banyak teorem modulariti dan membuka pendekatan baru kepada pelbagai masalah lain dan kaedah berkesan untuk mengangkat modulariti. Pencapaian ini telah memajukan matematik 100 tahun ke hadapan. Bukti teorem kecil Fermat hari ini tidakadalah sesuatu yang luar biasa.
Masalah yang tidak dapat diselesaikan telah merangsang perkembangan teori nombor algebra pada abad ke-19 dan mencari bukti teorem modulariti pada abad ke-20. Ini adalah salah satu teorem yang paling ketara dalam sejarah matematik, dan sehingga bukti pembahagian penuh Teorem Terakhir Fermat, ia berada dalam Buku Rekod Guinness sebagai "masalah matematik yang paling sukar", salah satu cirinya ialah ia mempunyai bilangan bukti yang tidak berjaya terbanyak.
Latar belakang sejarah
Persamaan Pythagoras x2 + y2=z2 mempunyai bilangan positif yang tidak terhingga penyelesaian integer untuk x, y dan z. Penyelesaian ini dikenali sebagai triniti Pythagoras. Sekitar tahun 1637, Fermat menulis di tepi buku bahawa persamaan yang lebih umum a + b =ctidak mempunyai penyelesaian dalam nombor asli jika n ialah integer lebih besar daripada 2. Walaupun Fermat sendiri mendakwa mempunyai penyelesaian kepada masalahnya, dia tidak meninggalkan sebarang butiran tentang buktinya. Bukti asas teorem Fermat, yang didakwa oleh penciptanya, adalah ciptaannya yang membanggakan. Buku ahli matematik Perancis yang hebat itu ditemui 30 tahun selepas kematiannya. Persamaan ini, yang dipanggil Teorem Terakhir Fermat, kekal tidak dapat diselesaikan dalam matematik selama tiga setengah abad.
Teorem akhirnya menjadi salah satu masalah yang tidak dapat diselesaikan paling ketara dalam matematik. Percubaan untuk membuktikan ini menyebabkan perkembangan signifikan teori nombor, dan dengan petikan itumasa, teorem terakhir Fermat dikenali sebagai masalah yang tidak dapat diselesaikan dalam matematik.
Sejarah Ringkas Bukti
Jika n=4, seperti yang dibuktikan oleh Fermat sendiri, ia memadai untuk membuktikan teorem bagi indeks n yang merupakan nombor perdana. Sepanjang dua abad berikutnya (1637-1839) sangkaan itu hanya dibuktikan untuk bilangan prima 3, 5 dan 7, walaupun Sophie Germain mengemas kini dan membuktikan pendekatan yang digunakan untuk keseluruhan kelas bilangan prima. Pada pertengahan abad ke-19, Ernst Kummer melanjutkan ini dan membuktikan teorem untuk semua bilangan prima sekata, di mana bilangan prima tidak sekata dianalisis secara individu. Berdasarkan kerja Kummer dan menggunakan penyelidikan komputer yang canggih, ahli matematik lain dapat melanjutkan penyelesaian teorem, dengan matlamat untuk merangkumi semua eksponen utama sehingga empat juta, tetapi bukti untuk semua eksponen masih tidak tersedia (bermakna ahli matematik biasanya dianggap penyelesaian teorem mustahil, amat sukar, atau tidak boleh dicapai dengan pengetahuan semasa).
Karya Shimura dan Taniyama
Pada tahun 1955, ahli matematik Jepun Goro Shimura dan Yutaka Taniyama mengesyaki bahawa terdapat hubungan antara lengkung elips dan bentuk modular, dua cabang matematik yang sangat berbeza. Dikenali pada masa itu sebagai tekaan Taniyama-Shimura-Weyl dan (akhirnya) sebagai teorem modulariti, ia wujud dengan sendirinya, tanpa kaitan yang jelas dengan teorem terakhir Fermat. Ia sendiri secara meluas dianggap sebagai teorem matematik yang penting, tetapi ia dianggap (seperti teorem Fermat) mustahil untuk dibuktikan. Pada ituPada masa yang sama, pembuktian Teorem Terakhir Fermat (dengan membahagikan dan menggunakan formula matematik yang kompleks) telah dijalankan hanya setengah abad kemudian.
Pada tahun 1984, Gerhard Frey melihat perkaitan yang jelas antara dua masalah yang tidak berkaitan dan tidak dapat diselesaikan sebelum ini. Pengesahan lengkap bahawa kedua-dua teorem itu berkait rapat telah diterbitkan pada tahun 1986 oleh Ken Ribet, yang berdasarkan bukti separa oleh Jean-Pierre Serra, yang membuktikan semua kecuali satu bahagian, yang dikenali sebagai "hipotesis epsilon". Ringkasnya, karya Frey, Serra, dan Ribe ini menunjukkan bahawa jika teorem modulariti dapat dibuktikan, sekurang-kurangnya untuk kelas separa stabil lengkung elips, maka bukti teorem terakhir Fermat lambat laun akan ditemui juga. Sebarang penyelesaian yang boleh bercanggah dengan teorem terakhir Fermat juga boleh digunakan untuk bercanggah dengan teorem modulariti. Oleh itu, jika teorem modulariti ternyata benar, maka secara definisi tidak boleh ada penyelesaian yang bercanggah dengan teorem terakhir Fermat, yang bermaksud bahawa ia sepatutnya dibuktikan tidak lama lagi.
Walaupun kedua-dua teorem adalah masalah sukar dalam matematik, dianggap tidak dapat diselesaikan, hasil kerja kedua-dua orang Jepun itu merupakan cadangan pertama bagaimana teorem terakhir Fermat boleh dilanjutkan dan dibuktikan untuk semua nombor, bukan hanya beberapa. Penting bagi penyelidik yang memilih topik kajian adalah hakikat bahawa, berbeza dengan teorem terakhir Fermat, teorem modulariti adalah bidang penyelidikan aktif utama, yang manabukti telah dibangunkan, dan bukan hanya keanehan sejarah, jadi masa yang dihabiskan untuk kerjanya boleh dibenarkan dari sudut pandangan profesional. Bagaimanapun, konsensus umum ialah menyelesaikan sangkaan Taniyama-Shimura terbukti tidak sesuai.
Teorem Terakhir Ladang: Bukti Wiles
Setelah mengetahui bahawa Ribet telah membuktikan teori Frey betul, ahli matematik Inggeris Andrew Wiles, yang berminat dengan Teorem Terakhir Fermat sejak kecil dan mempunyai pengalaman bekerja dengan lengkung elips dan domain bersebelahan, memutuskan untuk mencuba membuktikan Taniyama-Shimura Konjektur sebagai satu cara untuk membuktikan Teorem Terakhir Fermat. Pada tahun 1993, enam tahun selepas mengumumkan matlamatnya, semasa diam-diam bekerja pada masalah menyelesaikan teorem, Wiles berjaya membuktikan tekaan yang berkaitan, yang seterusnya akan membantunya membuktikan teorem terakhir Fermat. Saiz dan skop dokumen Wiles sangat besar.
Kecacatan ditemui dalam satu bahagian kertas asalnya semasa semakan rakan sebaya dan memerlukan satu tahun lagi kerjasama dengan Richard Taylor untuk bersama-sama menyelesaikan teorem itu. Akibatnya, bukti terakhir Wiles tentang Teorem Terakhir Fermat tidak lama lagi. Pada tahun 1995, ia diterbitkan pada skala yang lebih kecil daripada kerja matematik Wiles sebelum ini, menggambarkan bahawa dia tidak tersilap dalam kesimpulannya sebelum ini tentang kemungkinan membuktikan teorem. Pencapaian Wiles telah dihebahkan secara meluas dalam akhbar popular dan dipopularkan dalam buku dan program televisyen. Bahagian yang tinggal dari sangkaan Taniyama-Shimura-Weil, yang kini telah terbukti dandikenali sebagai teorem modulariti, kemudiannya dibuktikan oleh ahli matematik lain yang membina hasil kerja Wiles antara 1996 dan 2001. Atas pencapaiannya, Wiles telah diberi penghormatan dan menerima pelbagai anugerah, termasuk Hadiah Abel 2016.
Bukti Wiles tentang teorem terakhir Fermat ialah kes khas untuk menyelesaikan teorem modulariti untuk lengkung elips. Walau bagaimanapun, ini adalah kes yang paling terkenal bagi operasi matematik berskala besar itu. Bersama dengan menyelesaikan teorem Ribe, ahli matematik British itu juga memperoleh bukti teorem terakhir Fermat. Teorem Terakhir Fermat dan Teorem Modulariti hampir secara universal dianggap tidak dapat dibuktikan oleh ahli matematik moden, tetapi Andrew Wiles dapat membuktikan kepada dunia saintifik bahawa pakar pun boleh menjadi salah.
Wyles pertama kali mengumumkan penemuannya pada hari Rabu 23 Jun 1993 di kuliah Cambridge bertajuk "Borang Modular, Lengkung Eliptik dan Perwakilan Galois". Bagaimanapun, pada September 1993, didapati pengiraannya mengandungi kesilapan. Setahun kemudian, pada 19 September 1994, dalam apa yang dia panggil "saat paling penting dalam kehidupan kerjanya," Wiles terjumpa satu pendedahan yang membolehkan dia membetulkan penyelesaian kepada masalah itu ke tahap di mana ia boleh memuaskan matematik. komuniti.
Perihalan kerja
Bukti Teorem Fermat oleh Andrew Wiles menggunakan banyak kaedah daripada geometri algebra dan teori nombor dan mempunyai banyak kesan dalam inibidang matematik. Beliau juga menggunakan binaan standard geometri algebra moden, seperti kategori skema dan teori Iwasawa, serta kaedah lain pada abad ke-20 yang tidak tersedia untuk Pierre de Fermat.
Dua artikel yang mengandungi bukti sepanjang 129 muka surat dan ditulis selama tujuh tahun. John Coates menyifatkan penemuan ini sebagai salah satu pencapaian terbesar teori nombor, dan John Conway menyebutnya sebagai pencapaian matematik utama abad ke-20. Wiles, untuk membuktikan teorem terakhir Fermat dengan membuktikan teorem modulariti untuk kes khas lengkung eliptik separa stabil, membangunkan kaedah yang berkuasa untuk mengangkat modulariti dan membuka pendekatan baharu kepada pelbagai masalah lain. Untuk menyelesaikan teorem terakhir Fermat, dia mendapat gelar kesatria dan menerima anugerah lain. Apabila diketahui bahawa Wiles telah memenangi Hadiah Abel, Akademi Sains Norway menggambarkan pencapaiannya sebagai "bukti yang menggembirakan dan asas teorem terakhir Fermat."
Bagaimana keadaannya
Salah seorang yang menyemak manuskrip asal Wiles dengan penyelesaian kepada teorem itu ialah Nick Katz. Semasa tinjauannya, dia bertanya kepada warga Britain itu beberapa soalan penjelasan yang menyebabkan Wiles mengakui bahawa karyanya jelas mengandungi jurang. Dalam satu bahagian kritikal pembuktian, ralat telah dibuat yang memberikan anggaran untuk susunan kumpulan tertentu: sistem Euler yang digunakan untuk melanjutkan kaedah Kolyvagin dan Flach tidak lengkap. Kesilapan itu, bagaimanapun, tidak menjadikan kerjanya sia-sia - setiap karya Wiles adalah sangat penting dan inovatif dengan sendirinya, seperti juga banyakperkembangan dan kaedah yang beliau cipta dalam perjalanan kerjanya dan yang hanya mempengaruhi satu bahagian manuskrip. Walau bagaimanapun, karya asal ini, yang diterbitkan pada tahun 1993, tidak benar-benar mempunyai bukti Teorem Terakhir Fermat.
Wyles menghabiskan hampir setahun cuba mencari semula penyelesaian kepada teorem itu, mula-mula bersendirian dan kemudian dengan kerjasama bekas pelajarnya Richard Taylor, tetapi semuanya nampaknya sia-sia. Menjelang akhir tahun 1993, khabar angin telah tersebar bahawa bukti Wiles telah gagal dalam ujian, tetapi betapa seriusnya kegagalan itu tidak diketahui. Ahli matematik mula memberi tekanan kepada Wiles untuk mendedahkan butiran kerjanya, sama ada ia telah dilakukan atau tidak, supaya komuniti ahli matematik yang lebih luas dapat meneroka dan menggunakan apa sahaja yang dia dapat capai. Daripada membetulkan kesilapannya dengan cepat, Wiles hanya menemui aspek sukar tambahan dalam pembuktian Teorem Terakhir Fermat, dan akhirnya menyedari betapa sukarnya ia.
Wyles menyatakan bahawa pada pagi 19 September 1994, dia hampir berputus asa dan berputus asa, dan hampir pasrah untuk gagal. Dia bersedia untuk menerbitkan karyanya yang belum selesai supaya orang lain dapat membinanya dan mencari di mana silapnya. Ahli matematik Inggeris memutuskan untuk memberi dirinya peluang terakhir dan menganalisis teorem untuk kali terakhir untuk cuba memahami sebab utama mengapa pendekatannya tidak berfungsi, apabila dia tiba-tiba menyedari bahawa pendekatan Kolyvagin-Flac tidak akan berfungsi sehingga diajuga akan memasukkan teori Iwasawa dalam proses pembuktian, menjadikannya berfungsi.
Pada 6 Oktober, Wiles meminta tiga rakan sekerja (termasuk F altins) untuk menyemak karya baharunya, dan pada 24 Oktober 1994, beliau menyerahkan dua manuskrip - "Lengkung eliptik modular dan teorem terakhir Fermat" dan "Sifat teoritis bagi cincin beberapa algebra Hecke", yang kedua Wiles menulis bersama Taylor dan membuktikan bahawa syarat tertentu telah dipenuhi untuk mewajarkan langkah yang diperbetulkan dalam rencana utama.
Kedua-dua kertas kerja ini telah disemak dan akhirnya diterbitkan sebagai edisi teks penuh dalam Annals of Mathematics Mei 1995. Pengiraan baru Andrew telah dianalisis secara meluas dan akhirnya diterima oleh komuniti saintifik. Dalam kertas kerja ini, teorem modulariti untuk lengkung eliptik separa stabil telah ditubuhkan - langkah terakhir ke arah membuktikan Teorem Terakhir Fermat, 358 tahun selepas ia dicipta.
Sejarah Masalah Besar
Menyelesaikan teorem ini telah dianggap sebagai masalah terbesar dalam matematik selama berabad-abad lamanya. Pada tahun 1816 dan pada tahun 1850 Akademi Sains Perancis menawarkan hadiah untuk bukti umum Teorem Terakhir Fermat. Pada tahun 1857, Akademi menganugerahkan 3,000 franc dan pingat emas kepada Kummer untuk penyelidikannya mengenai nombor ideal, walaupun dia tidak memohon hadiah itu. Hadiah lain ditawarkan kepadanya pada tahun 1883 oleh Akademi Brussels.
Hadiah Wolfskell
Pada tahun 1908, industrialis Jerman dan ahli matematik amatur Paul Wolfskel mewariskan 100,000 markah emas (jumlah yang besar untuk masa itu)Akademi Sains Göttingen, supaya wang ini menjadi hadiah untuk bukti lengkap teorem terakhir Fermat. Pada 27 Jun 1908, Akademi menerbitkan sembilan peraturan anugerah. Antara lain, peraturan ini memerlukan bukti untuk diterbitkan dalam jurnal semakan rakan sebaya. Hadiah itu akan diberikan hanya dua tahun selepas diterbitkan. Pertandingan itu sepatutnya tamat pada 13 September 2007 - kira-kira satu abad selepas ia bermula. Pada 27 Jun 1997, Wiles menerima hadiah wang Wolfschel dan kemudian $50,000 lagi. Pada Mac 2016, beliau menerima €600,000 daripada kerajaan Norway sebagai sebahagian daripada Hadiah Abel untuk "bukti menakjubkan teorem terakhir Fermat dengan bantuan sangkaan modulariti untuk lengkung elips separuh stabil, membuka era baharu dalam teori nombor." Ia adalah kejayaan dunia orang Inggeris yang rendah hati.
Sebelum pembuktian Wiles, teorem Fermat, seperti yang dinyatakan sebelum ini, dianggap sama sekali tidak boleh diselesaikan selama berabad-abad. Beribu-ribu bukti yang tidak betul pada pelbagai masa telah dikemukakan kepada jawatankuasa Wolfskell, berjumlah kira-kira 10 kaki (3 meter) surat-menyurat. Hanya pada tahun pertama kewujudan hadiah (1907-1908) 621 permohonan telah dikemukakan untuk menyelesaikan teorem, walaupun pada tahun 1970-an bilangan mereka telah menurun kepada kira-kira 3-4 permohonan sebulan. Menurut F. Schlichting, pengulas Wolfschel, kebanyakan bukti adalah berdasarkan kaedah asas yang diajar di sekolah dan sering dikemukakan sebagai "orang yang mempunyai latar belakang teknikal tetapi kerjaya yang tidak berjaya". Menurut ahli sejarah matematik Howard Aves, yang terakhirTeorem Fermat telah menetapkan sejenis rekod - ini ialah teorem dengan bilangan pembuktian salah yang paling banyak.
Kejayaan ladang menjadi milik orang Jepun
Seperti yang dinyatakan sebelum ini, sekitar tahun 1955, ahli matematik Jepun Goro Shimura dan Yutaka Taniyama menemui kemungkinan hubungan antara dua cabang matematik yang nampaknya berbeza sepenuhnya - lengkung elips dan bentuk modular. Teorem modulariti yang terhasil (kemudian dikenali sebagai konjektur Taniyama-Shimura) menyatakan bahawa setiap lengkung elips adalah modular, bermakna ia boleh dikaitkan dengan bentuk modular yang unik.
Teori itu pada mulanya ditolak sebagai tidak mungkin atau sangat spekulatif, tetapi diambil lebih serius apabila ahli teori nombor André Weil menemui bukti untuk menyokong kesimpulan Jepun. Akibatnya, hipotesis sering dirujuk sebagai hipotesis Taniyama-Shimura-Weil. Dia menjadi sebahagian daripada program Langlands, yang merupakan senarai hipotesis penting yang perlu dibuktikan pada masa hadapan.
Walaupun selepas penelitian yang serius, sangkaan itu telah diakui oleh ahli matematik moden sebagai amat sukar, atau mungkin tidak dapat dibuktikan. Sekarang teorem khusus ini sedang menunggu Andrew Wilesnya, yang boleh mengejutkan seluruh dunia dengan penyelesaiannya.
Teorem Fermat: Bukti Perelman
Walaupun mitos yang popular, ahli matematik Rusia Grigory Perelman, dengan segala kepandaiannya, tidak ada kena mengena dengan teorem Fermat. Yang, bagaimanapun, sama sekali tidak menjejaskannya.banyak sumbangan kepada komuniti saintifik.
