Teorem Steiner atau teorem paksi selari untuk mengira momen inersia

2024 Pengarang: Angel Austin | [email protected]. Diubah suai terakhir: 2023-12-17 05:36

Dalam penerangan matematik gerakan putaran, adalah penting untuk mengetahui momen inersia sistem mengenai paksi. Dalam kes umum, prosedur untuk mencari kuantiti ini melibatkan pelaksanaan proses penyepaduan. Teorem Steiner yang dipanggil menjadikannya lebih mudah untuk dikira. Mari pertimbangkan dengan lebih terperinci dalam artikel.

Apakah itu momen inersia?

Sebelum memberikan rumusan teorem Steiner, adalah perlu untuk menangani konsep momen inersia. Katakan terdapat beberapa badan dengan jisim tertentu dan bentuk sewenang-wenangnya. Badan ini boleh sama ada titik material atau mana-mana objek dua dimensi atau tiga dimensi (rod, silinder, bola, dll.). Jika objek berkenaan membuat gerakan membulat mengelilingi beberapa paksi dengan pecutan sudut malar α, maka persamaan berikut boleh ditulis:

M=Iα

Di sini, nilai M mewakili jumlah momen daya, yang memberikan pecutan α kepada keseluruhan sistem. Pekali perkadaran antara mereka - I, dipanggilmomen inersia. Kuantiti fizik ini dikira menggunakan formula am berikut:

Saya=∫_m (r²dm)

Di sini r ialah jarak antara unsur dengan jisim dm dan paksi putaran. Ungkapan ini bermakna bahawa adalah perlu untuk mencari hasil tambah bagi jarak kuasa dua r² dan jisim asas dm. Iaitu, momen inersia bukanlah ciri tulen badan, yang membezakannya daripada inersia linear. Ia bergantung kepada pengagihan jisim di seluruh objek yang berputar, serta pada jarak ke paksi dan pada orientasi badan berbanding dengannya. Sebagai contoh, sebatang rod akan mempunyai I yang berbeza jika ia diputarkan mengenai pusat jisim dan kira-kira hujungnya.

Momen inersia dan teorem Steiner

Ahli matematik Switzerland yang terkenal, Jakob Steiner, membuktikan teorem pada paksi selari dan momen inersia, yang kini menyandang namanya. Teorem ini mengandaikan bahawa momen inersia untuk mana-mana jasad tegar geometri sewenang-wenang secara mutlak berbanding dengan beberapa paksi putaran adalah sama dengan jumlah momen inersia mengenai paksi yang bersilang dengan pusat jisim jasad dan selari dengan yang pertama., dan hasil darab jisim badan kuasa dua jarak antara paksi ini. Secara matematik, rumusan ini ditulis seperti berikut:

I_Z=I_O + ml²

I_Z dan I_O - momen inersia mengenai paksi-Z dan paksi-O selari dengannya, yang melepasi melalui pusat jisim badan, l - jarak antara garis Z dan O.

Teorem membenarkan, mengetahui nilai I_O, untuk mengirabila-bila masa lain saya_Z tentang paksi yang selari dengan O.

Bukti teorem

Formula teorem Steiner boleh diperolehi sendiri dengan mudah. Untuk melakukan ini, pertimbangkan badan sewenang-wenangnya pada satah xy. Biarkan asal koordinat melalui pusat jisim badan ini. Mari kita hitung momen inersia I_O yang melalui asalan berserenjang dengan satah xy. Oleh kerana jarak ke mana-mana titik badan dinyatakan dengan formula r=√ (x² + y²), maka kita mendapat kamiran:

I_O=∫_m (r²dm)=∫ m _((x2^+y2^{) dm)}

Sekarang mari kita gerakkan paksi selari sepanjang paksi-x dengan jarak l, contohnya, dalam arah positif, maka pengiraan untuk paksi baharu momen inersia akan kelihatan seperti ini:

I_Z=∫_m(((x+l)²+y ²)dm)

Kembangkan petak penuh dalam kurungan dan bahagikan kamiran, kita dapat:

I_Z=∫_m ((x²+l ²+2xl+y²)dm)=∫_m ((x² +y²)dm) + 2l∫_m (xdm) + l ²∫_mdm

Yang pertama daripada istilah ini ialah nilai I_O, sebutan ketiga, selepas penyepaduan, memberikan istilah l²m, dan di sini sebutan kedua ialah sifar. Pensifaran kamiran yang ditentukan adalah disebabkan oleh fakta bahawa ia diambil daripada hasil darab x dan unsur jisim dm, yang dalampurata memberikan sifar, kerana pusat jisim adalah pada asalan. Hasilnya, formula teorem Steiner diperolehi.

Kes yang dipertimbangkan di dalam pesawat boleh digeneralisasikan kepada badan tiga dimensi.

Menyemak formula Steiner pada contoh rod

Mari kita berikan contoh mudah untuk menunjukkan cara menggunakan teorem di atas.

Adalah diketahui bahawa untuk rod dengan panjang L dan berjisim m, momen inersia I_O(paksi melalui pusat jisim) adalah sama dengan m L² /12, dan saat I_Z(paksi melalui hujung rod) adalah sama dengan mL 2^{/3. Mari kita semak data ini menggunakan teorem Steiner. Oleh kerana jarak antara dua gandar ialah L/2, maka kita mendapat momen I}Z_:

I_Z=I_O+ m(L/2)²=mL²/12 + mL²/4=4mL² /12=mL²/3

Iaitu, kami menyemak formula Steiner dan mendapat nilai yang sama untuk I_Z seperti dalam sumber.

Pengiraan yang serupa boleh dilakukan untuk badan lain (silinder, bola, cakera), sambil memperoleh momen inersia yang diperlukan, dan tanpa melakukan penyepaduan.

Momen inersia dan paksi serenjang

Teorem yang dipertimbangkan berkenaan dengan paksi selari. Untuk kelengkapan maklumat, ia juga berguna untuk memberikan teorem untuk paksi serenjang. Ia dirumuskan seperti berikut: untuk objek rata dengan bentuk sewenang-wenangnya, momen inersia tentang paksi yang berserenjang dengannya akan sama dengan jumlah dua momen inersia kira-kira dua saling berserenjang dan berbaring.dalam satah objek paksi, dengan ketiga-tiga paksi melalui titik yang sama. Secara matematik, ini ditulis seperti berikut:

I_z=I_x + I_y

Di sini z, x, y ialah tiga paksi putaran yang saling berserenjang.

Perbezaan penting antara teorem ini dan teorem Steiner ialah ia hanya terpakai kepada objek pepejal rata (dua dimensi). Walau bagaimanapun, dalam amalan ia digunakan secara meluas, memotong badan secara mental ke dalam lapisan yang berasingan, dan kemudian menambah momen inersia yang diperolehi.