Polyhedra bukan sahaja menduduki tempat yang menonjol dalam geometri, tetapi juga berlaku dalam kehidupan seharian setiap orang. Apatah lagi barangan rumah buatan buatan dalam bentuk pelbagai poligon, bermula dengan kotak mancis dan diakhiri dengan elemen seni bina, kristal berbentuk kiub (garam), prisma (kristal), piramid (scheelite), oktahedron (berlian), dll. e.
Konsep polyhedron, jenis polyhedra dalam geometri
Geometri sebagai sains mengandungi bahagian stereometri yang mengkaji ciri dan sifat rajah tiga dimensi. Badan geometri, sisi yang dalam ruang tiga dimensi dibentuk oleh satah terhad (muka), dipanggil "polyhedra". Jenis polyhedra termasuk lebih daripada sedozen wakil, berbeza dalam bilangan dan bentuk muka.
Walau bagaimanapun, semua polyhedra mempunyai sifat yang sama:
- Semuanya mempunyai 3 komponen penting: muka(permukaan poligon), bucu (bucu terbentuk pada persimpangan muka), tepi (sisi rajah atau segmen terbentuk pada persimpangan dua muka).
- Setiap tepi poligon menghubungkan dua dan hanya dua muka yang bersebelahan antara satu sama lain.
- Convexity bermaksud badan terletak sepenuhnya hanya pada satu sisi pesawat di mana salah satu muka terletak. Peraturan ini digunakan untuk semua muka polihedron. Angka geometri sedemikian dalam stereometri dipanggil polyhedra cembung. Pengecualian ialah polyhedra berbentuk bintang, yang merupakan terbitan pepejal geometri polihedral biasa.
Polyhedra boleh dibahagikan secara bersyarat kepada:
- Jenis polyhedra cembung, yang terdiri daripada kelas berikut: biasa atau klasik (prisma, piramid, selari), sekata (juga dipanggil pepejal Platonik), separa sekata (nama kedua - pepejal Archimedean).
- Polyhedra tidak cembung (berbentuk bintang).
Prisma dan sifatnya
Stereometri sebagai cabang geometri mengkaji sifat rajah tiga dimensi, jenis polyhedra (prisma adalah salah satu daripadanya). Prisma ialah jasad geometri yang semestinya mempunyai dua muka yang sama mutlak (ia juga dipanggil tapak) yang terletak dalam satah selari, dan nombor ke-n muka sisi dalam bentuk segi empat selari. Sebaliknya, prisma juga mempunyai beberapa jenis, termasuk jenis polyhedra seperti:
- Parallelepiped - terbentuk jika tapaknya ialah selari -poligon dengan 2 pasang sudut bertentangan yang sama dan 2 pasang sisi bertentangan kongruen.
- Prisma lurus mempunyai tepi berserenjang dengan tapak.
- Prisma senget dicirikan oleh kehadiran sudut bukan tegak (selain daripada 90) antara muka dan tapak.
- Prisma sekata dicirikan oleh tapak dalam bentuk poligon sekata dengan muka sisi yang sama.
Sifat asas prisma:
- Asas kongruen.
- Semua tepi prisma adalah sama dan selari antara satu sama lain.
- Semua muka sisi berbentuk selari.
Piramid
Pyramid ialah badan geometri, yang terdiri daripada satu tapak dan nombor ke-n muka segi tiga, disambungkan pada satu titik - bahagian atas. Perlu diingatkan bahawa jika muka sisi piramid semestinya diwakili oleh segi tiga, maka tapaknya boleh sama ada poligon segi tiga, atau segi empat, atau pentagon, dan seterusnya ad infinitum. Dalam kes ini, nama piramid akan sepadan dengan poligon di pangkalan. Contohnya, jika segitiga terletak di dasar piramid, ia ialah piramid segi tiga, segiempat ialah segiempat, dsb.
Piramid ialah polyhedra seperti kon. Jenis polyhedra kumpulan ini, sebagai tambahan kepada yang disenaraikan di atas, juga termasuk wakil berikut:
- Piramid sekata mempunyai poligon sekata di pangkalnya dan ketinggiannya diunjurkan ke tengahbulatan yang tertulis di pangkalnya atau dikelilingi di sekelilingnya.
- Piramid segi empat tepat terbentuk apabila salah satu tepi sisi bersilang dengan tapak pada sudut tepat. Dalam kes ini, adalah wajar untuk memanggil tepi ini sebagai ketinggian piramid.
Sifat piramid:
- Jika semua tepi sisi piramid adalah kongruen (dengan ketinggian yang sama), maka kesemuanya bersilang dengan tapak pada sudut yang sama, dan di sekeliling tapak anda boleh melukis bulatan dengan pusat bertepatan dengan unjuran bahagian atas piramid.
- Jika tapak piramid ialah poligon sekata, maka semua tepi sisi adalah kongruen dan mukanya ialah segi tiga sama kaki.
Polihedron biasa: jenis dan sifat polyhedra
Dalam stereometri, tempat istimewa diduduki oleh badan geometri dengan muka yang sama rata, pada bucunya di mana bilangan tepi yang sama disambungkan. Pepejal ini dipanggil pepejal Platonik, atau polyhedra biasa. Jenis polyhedra dengan sifat sedemikian hanya mempunyai lima bentuk:
- Tetrahedron.
- Hexahedron.
- Octahedron.
- Dodecahedron.
- Icosahedron.
Polihedra biasa berhutang namanya kepada ahli falsafah Yunani kuno Plato, yang menggambarkan badan geometri ini dalam tulisannya dan menghubungkannya dengan unsur-unsur semula jadi: tanah, air, api, udara. Angka kelima dianugerahkan persamaan dengan struktur alam semesta. Pada pendapat beliau, atom unsur semula jadi dalam bentuk menyerupai jenis polyhedra biasa. Oleh kerana hartanya yang paling menarik -simetri, badan geometri ini sangat diminati bukan sahaja kepada ahli matematik dan ahli falsafah purba, tetapi juga kepada arkitek, artis dan pengukir sepanjang zaman. Kehadiran hanya 5 jenis polyhedra dengan simetri mutlak dianggap sebagai penemuan asas, malah mereka dianugerahkan hubungan dengan prinsip ketuhanan.
Hexahedron dan sifatnya
Dalam bentuk heksagon, pengganti Plato menganggap persamaan dengan struktur atom-atom bumi. Sudah tentu, pada masa ini, hipotesis ini telah disangkal sepenuhnya, yang, bagaimanapun, tidak menghalang tokoh-tokoh daripada menarik minda tokoh terkenal dengan estetika mereka pada zaman moden.
Dalam geometri, hexahedron, juga dikenali sebagai kubus, dianggap sebagai kes khas bagi selari, yang seterusnya, adalah sejenis prisma. Sehubungan itu, sifat kubus adalah berkaitan dengan sifat prisma, dengan satu-satunya perbezaan ialah semua muka dan sudut kubus adalah sama antara satu sama lain. Sifat berikut mengikuti daripada ini:
- Semua tepi kubus adalah kongruen dan terletak dalam satah selari antara satu sama lain.
- Semua muka ialah segi empat sama yang kongruen (terdapat 6 kesemuanya dalam kubus), mana-mana daripadanya boleh diambil sebagai tapak.
- Semua sudut antara muka ialah 90.
- Bilangan tepi yang sama terpancar dari setiap bucu, iaitu 3.
- Kubus mempunyai 9 paksi simetri, yang kesemuanya bersilang pada titik persilangan pepenjuru heksaedron, dipanggil pusat simetri.
Tetrahedron
Tetrahedron ialah tetrahedron dengan muka yang sama dalam bentuk segi tiga, setiap bucunyaialah titik simpang tiga muka.
Sifat tetrahedron biasa:
- Semua muka tetrahedron ialah segi tiga sama sisi, yang bermaksud bahawa semua muka tetrahedron adalah kongruen.
- Memandangkan tapak diwakili oleh rajah geometri sekata, iaitu mempunyai sisi yang sama, muka tetrahedron menumpu pada sudut yang sama, iaitu, semua sudut adalah sama.
- Jumlah sudut rata pada setiap bucu ialah 180, kerana semua sudut adalah sama, maka mana-mana sudut tetrahedron sekata ialah 60.
- Setiap bucu diunjurkan ke titik persilangan ketinggian muka bertentangan (orthocenter).
Oktahedron dan sifatnya
Menghuraikan jenis polyhedra sekata, seseorang tidak boleh gagal untuk mencatat objek seperti oktahedron, yang boleh diwakili secara visual sebagai dua piramid sekata empat segi yang dilekatkan bersama oleh tapak.
Sifat oktahedron:
- Nama badan geometri menunjukkan bilangan mukanya. Oktahedron terdiri daripada 8 segi tiga sama sisi yang kongruen, dalam setiap bucu yang mempunyai bilangan muka yang sama menumpu, iaitu 4.
- Memandangkan semua muka oktahedron adalah sama, sudut antara mukanya juga sama, setiap satunya adalah sama dengan 60, dan jumlah sudut satah mana-mana bucu itu ialah 240.
Dodecahedron
Jika kita membayangkan bahawa semua muka badan geometri adalah pentagon biasa, maka kita mendapat dodekahedron -angka 12 poligon.
Sifat dodecahedron:
- Tiga muka bersilang pada setiap bucu.
- Semua muka adalah sama dan mempunyai panjang tepi yang sama dan luas yang sama.
- Dodecahedron mempunyai 15 paksi dan satah simetri, dan mana-mana daripadanya melalui bucu muka dan tengah tepi bertentangan.
Icosahedron
Tidak kurang menarik daripada dodecahedron, rajah ikosahedron ialah jasad geometri tiga dimensi dengan 20 muka yang sama. Antara sifat dua puluh hedron biasa, perkara berikut boleh diperhatikan:
- Semua muka ikosahedron ialah segi tiga sama kaki.
- Lima muka menumpu pada setiap bucu polihedron, dan hasil tambah sudut bersebelahan bucu itu ialah 300.
- Ikosahedron, seperti dodekahedron, mempunyai 15 paksi dan satah simetri yang melalui titik tengah muka bertentangan.
poligon separa biasa
Selain pepejal Platonik, kumpulan polyhedra cembung juga termasuk pepejal Archimedean, yang merupakan polyhedra biasa terpotong. Jenis polyhedra kumpulan ini mempunyai sifat berikut:
- Badan geometri mempunyai beberapa jenis muka yang sama berpasangan, contohnya, tetrahedron terpenggal mempunyai 8 muka, seperti tetrahedron biasa, tetapi dalam kes pepejal Archimedean, 4 muka akan menjadi segi tiga dan 4 akan menjadi heksagon.
- Semua sudut satu bucu adalah kongruen.
Polihedra Bintang
Wakil jenis bukan volumetrik jasad geometri ialah polyhedra berbintang yang mukanya bersilang antara satu sama lain. Ia boleh dibentuk dengan menggabungkan dua pepejal 3D biasa atau dengan memanjangkan muka mereka.
Oleh itu, polyhedra berbintang tersebut dikenali sebagai: bentuk berbintang bagi oktahedron, dodekahedron, icosahedron, kuboctahedron, icosododecahedron.
