Sistem mekanikal yang terdiri daripada titik bahan (badan) yang tergantung pada benang tanpa berat yang tidak dapat dipanjangkan (jisimnya boleh diabaikan berbanding dengan berat badan) dalam medan graviti seragam dipanggil bandul matematik (nama lain ialah pengayun). Terdapat jenis lain peranti ini. Daripada benang, rod tanpa berat boleh digunakan. Bandul matematik boleh mendedahkan dengan jelas intipati banyak fenomena menarik. Dengan amplitud ayunan yang kecil, pergerakannya dipanggil harmonik.
Ikhtisar sistem mekanikal
Formula untuk tempoh ayunan bandul ini diperolehi oleh saintis Belanda Huygens (1629-1695). Orang sezaman dengan I. Newton ini sangat menyukai sistem mekanikal ini. Pada tahun 1656 beliau mencipta jam bandul pertama. Mereka mengukur masa dengan luar biasauntuk ketepatan masa tersebut. Ciptaan ini telah menjadi peristiwa penting dalam pembangunan eksperimen fizikal dan aktiviti praktikal.
Jika bandul berada dalam keseimbangan (bergantung menegak), maka daya graviti akan diseimbangkan oleh daya tegangan benang. Bandul rata pada benang tidak boleh dipanjangkan ialah sistem dengan dua darjah kebebasan dengan sambungan. Apabila anda menukar hanya satu komponen, ciri semua bahagiannya berubah. Jadi, jika benang digantikan dengan rod, maka sistem mekanikal ini hanya mempunyai 1 darjah kebebasan. Apakah sifat bandul matematik? Dalam sistem paling mudah ini, huru-hara timbul di bawah pengaruh gangguan berkala. Dalam kes apabila titik ampaian tidak bergerak, tetapi berayun, bandul mempunyai kedudukan keseimbangan yang baru. Dengan ayunan naik dan turun yang pantas, sistem mekanikal ini memperoleh kedudukan terbalik yang stabil. Dia juga mempunyai nama sendiri. Ia dipanggil bandul Kapitza.
Sifat bandul
Pendulum matematik mempunyai sifat yang sangat menarik. Kesemuanya disahkan oleh undang-undang fizikal yang diketahui. Tempoh ayunan mana-mana bandul lain bergantung kepada pelbagai keadaan, seperti saiz dan bentuk badan, jarak antara titik ampaian dan pusat graviti, taburan jisim berbanding titik ini. Itulah sebabnya menentukan tempoh mayat tergantung adalah tugas yang agak sukar. Adalah lebih mudah untuk mengira tempoh bandul matematik, formula yang akan diberikan di bawah. Hasil daripada pemerhatian yang serupasistem mekanikal boleh mewujudkan corak berikut:
• Jika, sambil mengekalkan panjang bandul yang sama, kita menggantung pemberat yang berbeza, maka tempoh ayunannya akan sama, walaupun jisimnya akan berbeza-beza. Oleh itu, tempoh bandul sedemikian tidak bergantung pada jisim beban.
• Apabila memulakan sistem, jika bandul terpesong tidak terlalu besar, tetapi sudut yang berbeza, ia akan mula berayun dengan tempoh yang sama, tetapi dengan amplitud yang berbeza. Selagi sisihan dari pusat keseimbangan tidak terlalu besar, ayunan dalam bentuknya akan agak hampir dengan harmonik. Tempoh bandul sedemikian tidak bergantung pada amplitud ayunan dalam apa jua cara. Sifat sistem mekanikal ini dipanggil isokronisme (diterjemahkan daripada bahasa Yunani "chronos" - masa, "isos" - sama).
Tempoh bandul matematik
Penunjuk ini mewakili tempoh ayunan semula jadi. Walaupun kata-kata yang rumit, proses itu sendiri sangat mudah. Jika panjang benang bandul matematik ialah L, dan pecutan jatuh bebas ialah g, maka nilai ini ialah:
T=2π√L/g
Tempoh ayunan semula jadi yang kecil sama sekali tidak bergantung pada jisim bandul dan amplitud ayunan. Dalam kes ini, bandul bergerak seperti bandul matematik dengan panjang yang dikurangkan.
Ayunan bandul matematik
Pendulum matematik berayun, yang boleh diterangkan dengan persamaan pembezaan mudah:
x + ω2 sin x=0, di mana x (t) ialah fungsi yang tidak diketahui (ini ialah sudut sisihan dari bahagian bawahkedudukan keseimbangan pada masa t, dinyatakan dalam radian); ω ialah pemalar positif, yang ditentukan daripada parameter bandul (ω=√g/L, dengan g ialah pecutan jatuh bebas dan L ialah panjang bandul matematik (gantungan).
Persamaan turun naik kecil berhampiran kedudukan keseimbangan (persamaan harmonik) kelihatan seperti ini:
x + ω2 sin x=0
Pergerakan berayun bandul
Pendulum matematik yang membuat ayunan kecil bergerak di sepanjang sinusoid. Persamaan pembezaan tertib kedua memenuhi semua keperluan dan parameter bagi gerakan tersebut. Untuk menentukan trajektori, anda mesti menentukan kelajuan dan koordinat, daripada mana pemalar bebas kemudian ditentukan:
x=Dosa (θ0 + ωt), di mana θ0 ialah fasa awal, A ialah amplitud ayunan, ω ialah frekuensi kitaran yang ditentukan daripada persamaan gerakan.
Pendulum matematik (formula untuk amplitud besar)
Sistem mekanikal ini, yang membuat ayunannya dengan amplitud yang ketara, mematuhi undang-undang gerakan yang lebih kompleks. Untuk bandul sedemikian, ia dikira dengan formula:
sin x/2=usn(ωt/u), di mana sn ialah sinus Jacobi, yang bagi u < 1 ialah fungsi berkala, dan untuk u kecil ia bertepatan dengan sinus trigonometri mudah. Nilai u ditentukan oleh ungkapan berikut:
u=(ε + ω2)/2ω2, di mana ε=E/mL2 (mL2 ialah tenaga bandul).
Menentukan tempoh ayunan bandul bukan lineardijalankan mengikut formula:
T=2π/Ω, di mana Ω=π/2ω/2K(u), K ialah kamiran elips, π - 3, 14.
Pergerakan bandul di sepanjang separatrix
Separatrix ialah trajektori sistem dinamik dengan ruang fasa dua dimensi. Bandul matematik bergerak di sepanjangnya secara tidak berkala. Pada masa yang jauh tidak terhingga, ia jatuh dari kedudukan atas yang melampau ke sisi dengan halaju sifar, kemudian secara beransur-ansur mengambilnya. Ia akhirnya berhenti, kembali ke kedudukan asalnya.
Jika amplitud ayunan bandul menghampiri nombor π, ini menunjukkan bahawa gerakan pada satah fasa menghampiri pemisah. Dalam kes ini, di bawah tindakan daya pemacu berkala yang kecil, sistem mekanikal mempamerkan tingkah laku huru-hara.
Apabila bandul matematik menyimpang daripada kedudukan keseimbangan dengan sudut tertentu φ, daya tangen graviti Fτ=–mg sin φ timbul. Tanda tolak bermaksud komponen tangen ini diarahkan ke arah yang bertentangan dari pesongan bandul. Apabila anjakan bandul di sepanjang lengkok bulatan dengan jejari L dilambangkan dengan x, sesaran sudutnya adalah sama dengan φ=x/L. Undang-undang kedua Isaac Newton, direka untuk unjuran vektor pecutan dan daya, akan memberikan nilai yang diingini:
mg τ=Fτ=–mg sin x/L
Berdasarkan nisbah ini, jelas bahawa bandul ini adalah sistem bukan linear, kerana daya yang berusaha untuk kembaliia dengan kedudukan keseimbangan, sentiasa berkadar bukan dengan sesaran x, tetapi dengan sin x/L.
Hanya apabila bandul matematik membuat ayunan kecil, ia adalah pengayun harmonik. Dengan kata lain, ia menjadi sistem mekanikal yang mampu melakukan getaran harmonik. Anggaran ini boleh dikatakan sah untuk sudut 15–20°. Ayunan bandul dengan amplitud besar tidak harmonik.
Hukum Newton untuk ayunan kecil bandul
Jika sistem mekanikal ini melakukan getaran kecil, hukum ke-2 Newton akan kelihatan seperti ini:
mg τ=Fτ=–m g/L x.
Berdasarkan ini, kita boleh membuat kesimpulan bahawa pecutan tangensial bandul matematik adalah berkadar dengan sesarannya dengan tanda tolak. Ini adalah keadaan yang menyebabkan sistem menjadi pengayun harmonik. Modulus keuntungan berkadar antara sesaran dan pecutan adalah sama dengan kuasa dua frekuensi bulat:
ω02=g/L; ω0=√ g/L.
Formula ini mencerminkan frekuensi semula jadi ayunan kecil jenis bandul ini. Berdasarkan ini, T=2π/ ω0=2π√ g/L.
Pengiraan berdasarkan hukum pengekalan tenaga
Sifat-sifat pergerakan ayunan bandul juga boleh diterangkan dengan menggunakan hukum pemuliharaan tenaga. Dalam kes ini, perlu diambil kira bahawa tenaga keupayaan bandul dalam medan graviti ialah:
E=mg∆h=mgL(1 – cos α)=mgL2sin2 α/2
Jumlah tenaga mekanikalsama dengan potensi kinetik atau maksimum: Epmax=Ekmsx=E
Selepas undang-undang pengekalan tenaga ditulis, ambil terbitan bagi sisi kanan dan kiri persamaan:
Ep + Ek=const
Oleh kerana terbitan nilai malar ialah 0, maka (Ep + Ek)'=0. Terbitan hasil tambah adalah sama dengan hasil tambah terbitan:
Ep'=(mg/Lx2/2)'=mg/2L2xx'=mg/Lv + Ek'=(mv2/2)=m/2(v2)'=m/22vv'=mv α, maka:
Mg/Lxv + mva=v (mg/Lx + m α)=0.
Berdasarkan formula terakhir, kita dapati: α=- g/Lx.
Aplikasi praktikal bandul matematik
Pecutan jatuh bebas berbeza mengikut latitud geografi, kerana ketumpatan kerak bumi di seluruh planet tidak sama. Di mana batu dengan ketumpatan yang lebih tinggi berlaku, ia akan menjadi lebih tinggi. Pecutan bandul matematik sering digunakan untuk penerokaan geologi. Ia digunakan untuk mencari pelbagai mineral. Hanya dengan mengira bilangan ayunan bandul, anda boleh menemui arang batu atau bijih di dalam perut Bumi. Ini disebabkan oleh fakta bahawa fosil tersebut mempunyai ketumpatan dan jisim yang lebih besar daripada batu longgar di bawahnya.
Pendulum matematik digunakan oleh saintis terkemuka seperti Socrates, Aristotle, Plato, Plutarch, Archimedes. Ramai daripada mereka percaya bahawa sistem mekanikal ini boleh mempengaruhi nasib dan kehidupan seseorang. Archimedes menggunakan bandul matematik dalam pengiraannya. Pada masa kini, ramai ahli ghaib dan psikikgunakan sistem mekanikal ini untuk memenuhi nubuatan mereka atau mencari orang yang hilang.
Ahli astronomi dan naturalis Perancis terkenal K. Flammarion juga menggunakan bandul matematik untuk penyelidikannya. Dia mendakwa bahawa dengan bantuannya dia dapat meramalkan penemuan planet baru, kemunculan meteorit Tunguska dan peristiwa penting lain. Semasa Perang Dunia Kedua di Jerman (Berlin) sebuah Institut Pendulum khusus bekerja. Hari ini, Institut Parapsikologi Munich terlibat dalam penyelidikan serupa. Pekerja institusi ini memanggil kerja mereka dengan bandul "radiesthesia."
