Siri Fourier ialah perwakilan fungsi yang diambil secara sewenang-wenangnya dengan tempoh tertentu sebagai satu siri. Secara umum, penyelesaian ini dipanggil penguraian unsur dalam asas ortogon. Peluasan fungsi dalam siri Fourier ialah alat yang agak berkuasa untuk menyelesaikan pelbagai masalah disebabkan sifat transformasi ini apabila menyepadukan, membezakan, serta mengalihkan ungkapan dalam hujah dan konvolusi.
Seseorang yang tidak biasa dengan matematik yang lebih tinggi, serta dengan karya saintis Perancis Fourier, kemungkinan besar tidak akan memahami apa "baris" ini dan untuk apa ia. Sementara itu, transformasi ini menjadi agak padat dalam kehidupan kita. Ia digunakan bukan sahaja oleh ahli matematik, tetapi juga oleh ahli fizik, ahli kimia, pakar perubatan, ahli astronomi, ahli seismologi, ahli oseanografi dan lain-lain lagi. Mari kita lihat lebih dekat karya saintis Perancis yang hebat, yang membuat penemuan lebih awal daripada zamannya.
Manusia dan Transformasi Fourier
Siri Fourier ialah salah satu kaedah (bersama analisis dan lain-lain) bagi transformasi Fourier. Proses ini berlaku setiap kali seseorang mendengar bunyi. Telinga kita menukar bunyi secara automatikombak. Pergerakan berayun zarah asas dalam medium elastik diuraikan kepada baris (di sepanjang spektrum) nilai berturut-turut tahap volum untuk nada ketinggian yang berbeza. Seterusnya, otak mengubah data ini menjadi bunyi yang biasa bagi kita. Semua ini berlaku sebagai tambahan kepada keinginan atau kesedaran kita, dengan sendirinya, tetapi untuk memahami proses ini, ia akan mengambil masa beberapa tahun untuk mempelajari matematik yang lebih tinggi.
Lagi tentang Transformasi Fourier
Transformasi Fourier boleh dilakukan dengan kaedah analitikal, berangka dan kaedah lain. Siri Fourier merujuk kepada cara nombor untuk mengurai sebarang proses berayun - daripada pasang surut lautan dan gelombang cahaya kepada kitaran aktiviti suria (dan objek astronomi lain). Menggunakan teknik matematik ini, adalah mungkin untuk menganalisis fungsi, mewakili sebarang proses berayun sebagai satu siri komponen sinusoidal yang pergi dari minimum kepada maksimum dan sebaliknya. Transformasi Fourier ialah fungsi yang menerangkan fasa dan amplitud sinusoid yang sepadan dengan frekuensi tertentu. Proses ini boleh digunakan untuk menyelesaikan persamaan yang sangat kompleks yang menerangkan proses dinamik yang berlaku di bawah pengaruh haba, cahaya atau tenaga elektrik. Selain itu, siri Fourier memungkinkan untuk mengasingkan komponen malar dalam isyarat berayun kompleks, yang memungkinkan untuk mentafsir pemerhatian eksperimen yang diperolehi dengan betul dalam perubatan, kimia dan astronomi.
Latar belakang sejarah
Bapa pengasas teori iniJean Baptiste Joseph Fourier ialah seorang ahli matematik Perancis. Transformasi ini kemudiannya dinamakan sempena namanya. Pada mulanya, saintis menggunakan kaedahnya untuk mengkaji dan menerangkan mekanisme pengaliran haba - penyebaran haba dalam pepejal. Fourier mencadangkan bahawa taburan tidak teratur awal gelombang haba boleh diuraikan menjadi sinusoid paling mudah, setiap satunya akan mempunyai suhu minimum dan maksimumnya sendiri, serta fasanya sendiri. Dalam kes ini, setiap komponen tersebut akan diukur dari minimum kepada maksimum dan sebaliknya. Fungsi matematik yang menerangkan puncak atas dan bawah lengkung, serta fasa setiap harmonik, dipanggil transformasi Fourier bagi ungkapan taburan suhu. Pengarang teori itu mengurangkan fungsi taburan umum, yang sukar untuk diterangkan secara matematik, kepada siri kosinus dan fungsi sinus berkala yang sangat mudah dikendalikan yang menjumlahkan sehingga taburan asal.
Prinsip transformasi dan pandangan sezaman
Seangkatan dengan ahli sains - ahli matematik terkemuka pada awal abad kesembilan belas - tidak menerima teori ini. Bantahan utama ialah penegasan Fourier bahawa fungsi tak selanjar yang menggambarkan garis lurus atau lengkung tak selanjar boleh diwakili sebagai jumlah ungkapan sinusoidal yang berterusan. Sebagai contoh, pertimbangkan "langkah" Heaviside: nilainya ialah sifar di sebelah kiri jurang dan satu di sebelah kanan. Fungsi ini menerangkan pergantungan arus elektrik pada pembolehubah masa apabila litar ditutup. Orang sezaman dengan teori pada masa itu tidak pernah menemui seperti itusituasi di mana ungkapan tak selanjar akan diterangkan oleh gabungan fungsi biasa yang berterusan, seperti eksponen, sinusoid, linear atau kuadratik.
Apakah yang mengelirukan ahli matematik Perancis dalam teori Fourier?
Lagipun, jika ahli matematik itu betul dalam pernyataannya, kemudian merumuskan siri Fourier trigonometri tak terhingga, anda boleh mendapatkan perwakilan tepat bagi ungkapan langkah walaupun ia mempunyai banyak langkah yang serupa. Pada awal abad kesembilan belas, kenyataan sedemikian kelihatan tidak masuk akal. Tetapi di sebalik semua keraguan, ramai ahli matematik telah memperluaskan skop kajian fenomena ini, membawanya di luar skop kajian kekonduksian terma. Walau bagaimanapun, kebanyakan saintis terus berasa sedih dengan soalan: "Bolehkah jumlah siri sinusoidal menumpu kepada nilai tepat fungsi tak selanjar?"
Penumpuan siri Fourier: contoh
Persoalan penumpuan dibangkitkan apabila perlu untuk merumuskan siri nombor yang tidak terhingga. Untuk memahami fenomena ini, pertimbangkan contoh klasik. Bolehkah anda mencapai dinding jika setiap langkah berturut-turut adalah separuh saiz sebelumnya? Katakan anda berada dua meter dari matlamat, langkah pertama membawa anda lebih dekat ke titik separuh jalan, langkah seterusnya ke tanda tiga suku, dan selepas yang kelima anda akan meliputi hampir 97 peratus perjalanan. Walau bagaimanapun, tidak kira berapa banyak langkah yang anda ambil, anda tidak akan mencapai matlamat yang dimaksudkan dalam pengertian matematik yang ketat. Dengan menggunakan pengiraan berangka, seseorang boleh membuktikan bahawa pada akhirnya seseorang boleh mendapatkan sedekat yang disukai.jarak tertentu yang kecil. Bukti ini bersamaan dengan menunjukkan bahawa nilai jumlah satu setengah, satu perempat, dsb. akan cenderung kepada satu.
Soalan Penumpuan: Kedatangan Kedua, atau Perkakas Lord Kelvin
Berulang kali persoalan ini dibangkitkan pada penghujung abad kesembilan belas, apabila siri Fourier cuba digunakan untuk meramalkan keamatan pasang surut. Pada masa ini, Lord Kelvin mencipta peranti, yang merupakan peranti pengkomputeran analog yang membolehkan kelasi tentera dan armada saudagar menjejaki fenomena semula jadi ini. Mekanisme ini menentukan set fasa dan amplitud daripada jadual ketinggian air pasang dan momen masa yang sepadan, diukur dengan teliti di pelabuhan tertentu pada tahun itu. Setiap parameter ialah komponen sinusoidal bagi ekspresi ketinggian air pasang dan merupakan salah satu komponen biasa. Keputusan pengukuran telah dimasukkan ke dalam kalkulator Lord Kelvin, yang mensintesis lengkung yang meramalkan ketinggian air sebagai fungsi masa untuk tahun berikutnya. Tidak lama kemudian lengkung yang serupa telah disediakan untuk semua pelabuhan di dunia.
Dan jika proses dipecahkan oleh fungsi terputus?
Pada masa itu, nampak jelas bahawa peramal gelombang pasang surut dengan sejumlah besar elemen pengiraan boleh mengira sejumlah besar fasa dan amplitud dan dengan itu memberikan ramalan yang lebih tepat. Walau bagaimanapun, ia ternyata bahawa ketetapan ini tidak diperhatikan dalam kes-kes di mana ungkapan pasang surut, yang berikutmensintesis, mengandungi lompatan tajam, iaitu, ia tidak berterusan. Sekiranya data dimasukkan ke dalam peranti daripada jadual detik masa, maka ia mengira beberapa pekali Fourier. Fungsi asal dipulihkan terima kasih kepada komponen sinusoidal (mengikut pekali yang ditemui). Percanggahan antara ungkapan asal dan dipulihkan boleh diukur pada bila-bila masa. Apabila melakukan pengiraan dan perbandingan berulang, dapat dilihat bahawa nilai ralat terbesar tidak berkurangan. Walau bagaimanapun, ia disetempatkan di rantau yang sepadan dengan titik ketakselanjaran, dan cenderung kepada sifar pada mana-mana titik lain. Pada tahun 1899, keputusan ini secara teorinya disahkan oleh Joshua Willard Gibbs dari Universiti Yale.
Penumpuan siri Fourier dan perkembangan matematik secara umum
Analisis Fourier tidak boleh digunakan untuk ungkapan yang mengandungi bilangan pecahan yang tidak terhingga dalam selang waktu tertentu. Secara umum, siri Fourier, jika fungsi asal adalah hasil pengukuran fizikal sebenar, sentiasa menumpu. Persoalan penumpuan proses ini untuk kelas fungsi tertentu telah membawa kepada kemunculan bahagian baru dalam matematik, contohnya, teori fungsi umum. Ia dikaitkan dengan nama seperti L. Schwartz, J. Mikusinsky dan J. Temple. Dalam kerangka teori ini, asas teori yang jelas dan tepat telah dicipta untuk ungkapan seperti fungsi delta Dirac (ia menerangkan kawasan satu kawasan yang tertumpu dalam kejiranan yang sangat kecil dari satu titik) dan Heaviside langkah”. Terima kasih kepada kerja ini, siri Fourier boleh digunakan untukmenyelesaikan persamaan dan masalah yang melibatkan konsep intuitif: cas titik, jisim titik, dipol magnet, serta beban tertumpu pada rasuk.
Kaedah Fourier
Siri Fourier, mengikut prinsip gangguan, bermula dengan penguraian bentuk kompleks kepada yang lebih mudah. Sebagai contoh, perubahan dalam aliran haba dijelaskan melalui laluannya melalui pelbagai halangan yang diperbuat daripada bahan penebat haba berbentuk tidak sekata atau perubahan di permukaan bumi - gempa bumi, perubahan dalam orbit benda angkasa - pengaruh planet. Sebagai peraturan, persamaan serupa yang menerangkan sistem klasik mudah diselesaikan secara asas untuk setiap gelombang individu. Fourier menunjukkan bahawa penyelesaian mudah juga boleh dijumlahkan untuk memberikan penyelesaian kepada masalah yang lebih kompleks. Dalam bahasa matematik, siri Fourier ialah teknik untuk mewakili ungkapan sebagai jumlah harmonik - kosinus dan sinusoid. Oleh itu, analisis ini juga dikenali sebagai "analisis harmonik".
Siri Fourier - teknik ideal sebelum "zaman komputer"
Sebelum penciptaan teknologi komputer, teknik Fourier adalah senjata terbaik dalam senjata para saintis apabila bekerja dengan sifat gelombang dunia kita. Siri Fourier dalam bentuk kompleks membolehkan menyelesaikan bukan sahaja masalah mudah yang boleh digunakan secara langsung pada hukum mekanik Newton, tetapi juga persamaan asas. Kebanyakan penemuan sains Newton pada abad kesembilan belas hanya dimungkinkan melalui teknik Fourier.
Siri Fourier hari ini
Dengan pembangunan komputer transformasi Fourierdinaikkan ke tahap yang baru. Teknik ini berakar umbi dalam hampir semua bidang sains dan teknologi. Contohnya ialah isyarat audio dan video digital. Realisasinya menjadi mungkin hanya berkat teori yang dibangunkan oleh seorang ahli matematik Perancis pada awal abad kesembilan belas. Oleh itu, siri Fourier dalam bentuk yang kompleks memungkinkan untuk membuat satu kejayaan dalam kajian angkasa lepas. Selain itu, ia mempengaruhi kajian fizik bahan semikonduktor dan plasma, akustik gelombang mikro, oseanografi, radar, seismologi.
siri Trigonometri Fourier
Dalam matematik, siri Fourier ialah satu cara untuk mewakili fungsi kompleks sewenang-wenangnya sebagai jumlah yang lebih mudah. Dalam kes umum, bilangan ungkapan sedemikian boleh menjadi tidak terhingga. Lebih-lebih lagi, lebih banyak bilangan mereka diambil kira dalam pengiraan, lebih tepat keputusan akhir. Selalunya, fungsi trigonometri kosinus atau sinus digunakan sebagai yang paling mudah. Dalam kes ini, siri Fourier dipanggil trigonometri, dan penyelesaian ungkapan tersebut dipanggil pengembangan harmonik. Kaedah ini memainkan peranan penting dalam matematik. Pertama sekali, siri trigonometri menyediakan cara untuk imej, serta kajian fungsi, ia adalah alat utama teori. Di samping itu, ia membolehkan menyelesaikan beberapa masalah fizik matematik. Akhirnya, teori ini menyumbang kepada pembangunan analisis matematik, menimbulkan beberapa bahagian yang sangat penting dalam sains matematik (teori kamiran, teori fungsi berkala). Di samping itu, ia berfungsi sebagai titik permulaan untuk pembangunan teori berikut: set, fungsipembolehubah sebenar, analisis fungsian dan juga meletakkan asas untuk analisis harmonik.
