Ketaksamaan dan sistem ketaksamaan adalah salah satu topik yang diajar dalam algebra sekolah menengah. Dari segi kesukaran, ia bukanlah yang paling sukar, kerana ia mempunyai peraturan mudah (tentang mereka sedikit kemudian). Sebagai peraturan, pelajar sekolah mempelajari penyelesaian sistem ketidaksamaan dengan mudah. Ini juga disebabkan guru hanya "melatih" pelajar mereka mengenai topik ini. Dan mereka tidak boleh tidak melakukan ini, kerana ia dikaji pada masa hadapan dengan menggunakan kuantiti matematik lain, dan juga diperiksa untuk OGE dan Peperiksaan Negeri Bersepadu. Dalam buku teks sekolah, topik ketidaksamaan dan sistem ketidaksamaan dibincangkan dengan sangat terperinci, jadi jika anda akan mempelajarinya, maka sebaiknya gunakannya. Artikel ini hanyalah parafrasa daripada banyak bahan dan mungkin mengandungi beberapa peninggalan.
Konsep sistem ketaksamaan
Jika kita beralih kepada bahasa saintifik, kita boleh menentukan konsep "sistemketaksamaan". Ini adalah model matematik yang mewakili beberapa ketaksamaan. Sudah tentu, model ini memerlukan penyelesaian, dan ia akan menjadi jawapan umum untuk semua ketaksamaan sistem yang dicadangkan dalam tugasan (biasanya ia ditulis seperti ini, untuk contoh: "Selesaikan sistem ketaksamaan 4 x + 1 > 2 dan 30 - x > 6… ").
Sistem ketaksamaan dan sistem persamaan
Dalam proses mempelajari topik baharu, salah faham sering timbul. Di satu pihak, semuanya jelas dan saya lebih suka mula menyelesaikan tugas, tetapi sebaliknya, beberapa saat kekal dalam "bayangan", mereka tidak difahami dengan baik. Selain itu, beberapa elemen pengetahuan yang telah diperoleh boleh dikaitkan dengan yang baharu. Kesilapan sering berlaku akibat pertindihan ini.
Oleh itu, sebelum meneruskan analisis topik kita, kita harus mengingati perbezaan antara persamaan dan ketaksamaan, sistem mereka. Untuk melakukan ini, adalah perlu untuk menjelaskan sekali lagi apakah konsep matematik ini. Persamaan sentiasa persamaan, dan ia sentiasa sama dengan sesuatu (dalam matematik, perkataan ini dilambangkan dengan tanda "="). Ketaksamaan ialah model di mana satu nilai sama ada lebih besar atau kurang daripada yang lain, atau mengandungi penegasan bahawa mereka tidak sama. Oleh itu, dalam kes pertama, adalah sesuai untuk bercakap tentang kesaksamaan, dan dalam kedua, tidak kira betapa jelasnya ia mungkin terdengar darinama itu sendiri, tentang ketidaksamaan data awal. Sistem persamaan dan ketaksamaan secara praktikalnya tidak berbeza antara satu sama lain dan kaedah penyelesaiannya adalah sama. Satu-satunya perbezaan ialah yang pertama menggunakan kesamaan manakala yang kedua menggunakan ketaksamaan.
Jenis ketaksamaan
Terdapat dua jenis ketaksamaan: berangka dan dengan pembolehubah yang tidak diketahui. Jenis pertama diberikan nilai (nombor) yang tidak sama antara satu sama lain, contohnya, 8 > 10. Jenis kedua ialah ketaksamaan yang mengandungi pembolehubah yang tidak diketahui (ditunjukkan oleh beberapa huruf abjad Latin, selalunya X). Pembolehubah ini perlu dicari. Bergantung pada bilangannya, model matematik membezakan antara ketaksamaan dengan satu (ia membentuk sistem ketaksamaan dengan satu pembolehubah) atau beberapa pembolehubah (mereka membentuk sistem ketaksamaan dengan beberapa pembolehubah).
Dua jenis terakhir, mengikut tahap pembinaannya dan tahap kerumitan penyelesaian, dibahagikan kepada mudah dan kompleks. Yang mudah juga dipanggil ketaksamaan linear. Mereka pula dibahagikan kepada ketat dan tidak ketat. Tegaskan secara khusus "katakan" bahawa satu nilai mestilah sama ada kurang atau lebih, jadi ini adalah ketidaksamaan tulen. Terdapat beberapa contoh: 8 x + 9 > 2, 100 - 3 x > 5, dsb. Yang tidak ketat juga termasuk kesaksamaan. Iaitu, satu nilai boleh lebih besar daripada atau sama dengan nilai lain (tanda "≧") atau kurang daripada atau sama dengan nilai lain (tanda "≦"). Masih dalam barisanDalam ketaksamaan, pembolehubah tidak berdiri di akar, persegi, tidak boleh dibahagikan dengan apa-apa, itulah sebabnya ia dipanggil "mudah". Yang kompleks termasuk pembolehubah yang tidak diketahui, yang penemuannya memerlukan lebih banyak operasi matematik. Mereka selalunya dalam segi empat sama, kubus atau di bawah punca, mereka boleh menjadi modular, logaritma, pecahan, dll. Tetapi oleh kerana tugas kita adalah untuk memahami penyelesaian sistem ketaksamaan, kita akan bercakap tentang sistem ketaksamaan linear. Walau bagaimanapun, sebelum itu, beberapa perkataan harus dikatakan tentang sifat mereka.
Sifat ketaksamaan
Sifat ketaksamaan termasuk peruntukan berikut:
- Tanda ketaksamaan diterbalikkan jika operasi menukar jujukan sisi digunakan (contohnya, jika t1 ≦ t2, kemudian t 2 ≧ t1).
- Kedua-dua bahagian ketaksamaan membolehkan anda menambah nombor yang sama kepada diri sendiri (contohnya, jika t1 ≦ t2, kemudian t 1 + nombor ≦ t2 + nombor).
- Dua atau lebih ketaksamaan dengan tanda arah yang sama membolehkan anda menambah bahagian kiri dan kanannya (contohnya, jika t1 ≧ t2 , t3 ≧ t4, kemudian t1 + t 3 ≧ t2 + t4).
- Kedua-dua bahagian ketaksamaan membenarkan diri mereka didarab atau dibahagikan dengan nombor positif yang sama (contohnya, jika t1 ≦ t2dan nombor ≦ 0, kemudian nombor t1 ≧ nombor t2).
- Dua atau lebih ketaksamaan yang mempunyai istilah positif dan tanda arah yang sama membolehkandarab antara satu sama lain (contohnya, jika t1 ≦ t2, t3 ≦ t4, t1, t2, t3, t 4 ≧ 0 kemudian t1 t3 ≦ t2 t4).
- Kedua-dua bahagian ketaksamaan membenarkan diri mereka didarab atau dibahagikan dengan nombor negatif yang sama, tetapi tanda ketaksamaan berubah (contohnya, jika t1 ≦ t2 dan nombor ≦ 0, kemudian nombor t1 ≧ nombor t2).
- Semua ketaksamaan adalah transitif (contohnya, jika t1 ≦ t2 dan t2≦ t3, kemudian t1 ≦ t3).
Sekarang, selepas mengkaji peruntukan utama teori yang berkaitan dengan ketidaksamaan, kita boleh meneruskan terus kepada pertimbangan peraturan untuk menyelesaikan sistem mereka.
Penyelesaian sistem ketidaksamaan. Maklumat am. Penyelesaian
Seperti yang dinyatakan di atas, penyelesaiannya ialah nilai pembolehubah yang sesuai dengan semua ketaksamaan sistem yang diberikan. Penyelesaian sistem ketaksamaan ialah pelaksanaan operasi matematik yang akhirnya membawa kepada penyelesaian keseluruhan sistem atau membuktikan bahawa ia tidak mempunyai penyelesaian. Dalam kes ini, pembolehubah dikatakan merujuk kepada set nombor kosong (ditulis seperti berikut: huruf yang menandakan pembolehubah ∈ (tanda "kepunyaan") ø (tanda "set kosong"), contohnya, x ∈ ø (ia dibaca seperti ini: "Pembolehubah "x" tergolong dalam set kosong"). Terdapat beberapa cara untuk menyelesaikan sistem ketaksamaan:kaedah grafik, algebra, penggantian. Perlu diingat bahawa mereka merujuk kepada model matematik yang mempunyai beberapa pembolehubah yang tidak diketahui. Dalam kes di mana hanya terdapat satu, kaedah jarak akan berfungsi.
Kaedah grafik
Membolehkan anda menyelesaikan sistem ketaksamaan dengan beberapa yang tidak diketahui (daripada dua atau lebih). Terima kasih kepada kaedah ini, sistem ketaksamaan linear diselesaikan dengan agak mudah dan cepat, jadi ia adalah kaedah yang paling biasa. Ini kerana memplot mengurangkan jumlah penulisan operasi matematik. Ia menjadi sangat menyenangkan untuk berehat sedikit dari pena, mengambil pensel dengan pembaris dan meneruskan tindakan selanjutnya dengan bantuan mereka apabila banyak kerja telah dilakukan dan anda mahukan sedikit kelainan. Walau bagaimanapun, ada yang tidak menyukai kaedah ini kerana hakikat bahawa anda perlu melepaskan diri daripada tugas dan menukar aktiviti mental anda kepada melukis. Walau bagaimanapun, ia adalah cara yang sangat berkesan.
Untuk menyelesaikan sistem ketaksamaan menggunakan kaedah grafik, adalah perlu untuk memindahkan semua ahli setiap ketaksamaan ke sebelah kiri mereka. Tanda-tanda akan diterbalikkan, sifar hendaklah ditulis di sebelah kanan, kemudian setiap ketaksamaan hendaklah ditulis secara berasingan. Akibatnya, fungsi akan diperoleh daripada ketaksamaan. Selepas itu, anda boleh mendapatkan pensel dan pembaris: kini anda perlu melukis graf bagi setiap fungsi yang diperolehi. Seluruh set nombor yang akan berada dalam selang persilangannya akan menjadi penyelesaian kepada sistem ketaksamaan.
Cara algebra
Membolehkan anda menyelesaikan sistem ketaksamaan dengan dua pembolehubah yang tidak diketahui. Ketaksamaan juga mesti mempunyai tanda ketaksamaan yang sama (iaitu, ia mesti mengandungi sama ada hanya tanda "lebih besar daripada", atau hanya tanda "kurang daripada", dll.) Walaupun terdapat batasannya, kaedah ini juga lebih rumit. Ia digunakan dalam dua langkah.
Yang pertama melibatkan menyingkirkan salah satu pembolehubah yang tidak diketahui. Mula-mula anda perlu memilihnya, kemudian semak kehadiran nombor di hadapan pembolehubah ini. Jika tidak ada (maka pembolehubah akan kelihatan seperti satu huruf), maka kita tidak mengubah apa-apa, jika ada (jenis pembolehubah akan menjadi, sebagai contoh, 5y atau 12y), maka perlu untuk memastikan bahawa dalam setiap ketaksamaan nombor di hadapan pembolehubah yang dipilih adalah sama. Untuk melakukan ini, anda perlu mendarabkan setiap ahli ketaksamaan dengan faktor sepunya, contohnya, jika 3y ditulis dalam ketaksamaan pertama, dan 5y dalam kedua, maka anda perlu mendarabkan semua ahli ketaksamaan pertama dengan 5, dan yang kedua dengan 3. Anda mendapat 15y dan 15y, masing-masing.
Peringkat kedua keputusan. Ia adalah perlu untuk memindahkan bahagian kiri setiap ketaksamaan ke bahagian kanan mereka dengan perubahan dalam tanda setiap istilah ke sebaliknya, tulis sifar di sebelah kanan. Kemudian datang bahagian yang menyeronokkan: menyingkirkan pembolehubah yang dipilih (atau dikenali sebagai "pengurangan") sambil menambah ketaksamaan. Anda akan mendapat ketidaksamaan dengan satu pembolehubah yang perlu diselesaikan. Selepas itu, anda harus melakukan perkara yang sama, hanya dengan pembolehubah lain yang tidak diketahui. Keputusan yang diperolehi akan menjadi penyelesaian sistem.
Kaedah penggantian
Membolehkan anda menyelesaikan sistem ketaksamaan apabila anda berpeluang memperkenalkan pembolehubah baharu. Biasanya kaedah ini digunakan apabila pembolehubah yang tidak diketahui dalam satu sebutan ketaksamaan dinaikkan kepada kuasa keempat, dan dalam istilah lain ia kuasa dua. Oleh itu, kaedah ini bertujuan untuk mengurangkan tahap ketidaksamaan dalam sistem. Ketaksamaan sampel x4 - x2 - 1 ≦ 0 diselesaikan dengan cara ini seperti berikut. Pembolehubah baru diperkenalkan, contohnya t. Mereka menulis: "Biar t=x2", kemudian model itu ditulis semula dalam bentuk baharu. Dalam kes kami, kami mendapat t2 - t - 1 ≦0. Ketaksamaan ini perlu diselesaikan dengan kaedah selang (kira-kira sedikit kemudian), kemudian kembali ke pembolehubah X, kemudian lakukan perkara yang sama dengan ketaksamaan yang lain. Jawapan yang diterima akan menjadi keputusan sistem.
Kaedah selang
Ini adalah cara paling mudah untuk menyelesaikan sistem ketidaksamaan, dan pada masa yang sama ia adalah universal dan meluas. Ia digunakan di sekolah menengah, dan juga di sekolah menengah. Intipatinya terletak pada fakta bahawa pelajar mencari selang ketaksamaan pada garis nombor, yang dilukis dalam buku nota (ini bukan graf, tetapi hanya garis lurus biasa dengan nombor). Di mana selang ketaksamaan bersilang, penyelesaian sistem ditemui. Untuk menggunakan kaedah jarak, ikut langkah berikut:
- Semua ahli setiap ketaksamaan dipindahkan ke sebelah kiri dengan perubahan tanda ke sebaliknya (sifar ditulis di sebelah kanan).
- Ketaksamaan ditulis secara berasingan, penyelesaian setiap satunya ditentukan.
- Persilangan ketaksamaan pada berangkalurus. Semua nombor di persimpangan ini akan menjadi penyelesaiannya.
Cara yang manakah hendak digunakan?
Jelas sekali yang nampaknya paling mudah dan senang, tetapi ada kalanya tugas memerlukan kaedah tertentu. Selalunya, mereka mengatakan bahawa anda perlu menyelesaikan sama ada menggunakan graf atau menggunakan kaedah selang. Kaedah algebra dan penggantian digunakan sangat jarang atau tidak sama sekali, kerana ia agak rumit dan mengelirukan, dan selain itu, ia lebih digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan daripada ketaksamaan, jadi anda harus menggunakan graf dan selang waktu. Ia membawa keterlihatan, yang tidak boleh tidak menyumbang kepada pengendalian operasi matematik yang cekap dan pantas.
Jika sesuatu tidak berfungsi
Semasa mempelajari topik tertentu dalam algebra, sudah tentu, mungkin terdapat masalah dengan pemahamannya. Dan ini adalah perkara biasa, kerana otak kita direka sedemikian rupa sehingga ia tidak dapat memahami bahan yang kompleks dalam satu masa. Selalunya anda perlu membaca semula perenggan, mendapatkan bantuan guru, atau berlatih menyelesaikan masalah biasa. Dalam kes kami, mereka kelihatan, sebagai contoh, seperti ini: "Selesaikan sistem ketaksamaan 3 x + 1 ≧ 0 dan 2 x - 1 > 3". Oleh itu, usaha peribadi, bantuan daripada orang luar dan amalan membantu dalam memahami sebarang topik yang rumit.
Reshebnik?
Dan buku penyelesaian juga sangat bagus, tetapi bukan untuk menipu kerja rumah, tetapi untuk membantu diri sendiri. Di dalamnya anda boleh menemui sistem ketidaksamaan dengan penyelesaian, lihatmereka (seperti templat), cuba fahami dengan tepat cara pengarang penyelesaian mengatasi tugasan itu, dan kemudian cuba lakukannya sendiri.
Kesimpulan
Algebra ialah salah satu mata pelajaran yang paling sukar di sekolah. Nah, apa yang boleh anda lakukan? Matematik sentiasa seperti ini: bagi sesetengahnya ia datang dengan mudah, dan bagi yang lain ia sukar. Tetapi dalam apa jua keadaan, harus diingat bahawa program pendidikan umum direka sedemikian rupa sehingga mana-mana pelajar dapat mengatasinya. Di samping itu, anda perlu mengingati sejumlah besar pembantu. Sebahagian daripadanya telah disebutkan di atas.
