Planimetri ialah cabang geometri yang mengkaji sifat-sifat rajah satah. Ini termasuk bukan sahaja segi tiga, segi empat sama, segi empat tepat yang terkenal, tetapi juga garis lurus dan sudut. Dalam planimetri, terdapat juga konsep seperti sudut dalam bulatan: tengah dan bertulis. Tetapi apakah maksudnya?
Apakah sudut pusat?
Untuk memahami sudut pusat, anda perlu menentukan bulatan. Bulatan ialah himpunan semua titik yang berjarak sama dari titik tertentu (pusat bulatan).
Adalah sangat penting untuk membezakannya daripada bulatan. Perlu diingat bahawa bulatan adalah garis tertutup, dan bulatan adalah sebahagian daripada satah yang dibatasi olehnya. Poligon atau sudut boleh ditulis dalam bulatan.
Sudut pusat ialah sudut yang bucunya bertepatan dengan pusat bulatan dan sisinya bersilang dengan bulatan pada dua titik. Lengkok, yang sudutnya dihadkan oleh titik persilangan, dipanggil lengkok di mana sudut yang diberikan terletak.
Pertimbangkan contoh 1.
Dalam gambar, sudut AOB ialah pusat, kerana bucu sudut dan pusat bulatan ialah satu titik O. Ia terletak pada lengkok AB, yang tidak mengandungi titik C.
Bagaimanakah sudut tersurat berbeza daripada sudut tengah?
Namun, selain sudut tengah, terdapat juga sudut bertulis. Apakah perbezaan mereka? Sama seperti yang tengah, sudut yang tertulis dalam bulatan terletak pada lengkok tertentu. Tetapi bucunya tidak bertepatan dengan pusat bulatan, tetapi terletak di atasnya.
Mari kita ambil contoh berikut.
Sudut ACB dipanggil sudut yang ditulis dalam bulatan yang berpusat pada titik O. Titik C tergolong dalam bulatan, iaitu terletak di atasnya. Sudut terletak pada lengkok AB.
Apakah sudut pusat
Untuk berjaya mengatasi masalah dalam geometri, tidak cukup untuk membezakan antara sudut tersurat dan sudut pusat. Sebagai peraturan, untuk menyelesaikannya, anda perlu mengetahui dengan tepat cara mencari sudut pusat dalam bulatan dan dapat mengira nilainya dalam darjah.
Jadi, sudut pusat adalah sama dengan ukuran darjah lengkok yang diletakkannya.
Dalam gambar, sudut AOB terletak pada lengkok AB bersamaan 66°. Jadi sudut AOB juga sama dengan 66°.
Oleh itu, sudut pusat berdasarkan lengkok yang sama adalah sama.
Dalam rajah, lengkok DC adalah sama dengan lengkok AB. Jadi sudut AOB adalah sama dengan sudut DOC.
Cara mencari sudut tertera
Nampaknya sudut yang tertulis dalam bulatan adalah sama dengan sudut pusat,yang bergantung pada lengkok yang sama. Walau bagaimanapun, ini adalah kesilapan besar. Malah, walaupun hanya melihat lukisan dan membandingkan sudut ini antara satu sama lain, anda dapat melihat bahawa ukuran darjah mereka akan mempunyai nilai yang berbeza. Jadi apakah sudut yang tertulis dalam bulatan?
Ukuran darjah sudut tersurat ialah satu separuh daripada lengkok yang terletak padanya, atau separuh sudut pusat jika ia bergantung pada lengkok yang sama.
Mari kita pertimbangkan satu contoh. Sudut ACB adalah berdasarkan lengkok bersamaan 66°.
Jadi sudut DIA=66°: 2=33°
Mari kita pertimbangkan beberapa akibat daripada teorem ini.
- Sudut tersurat, jika ia berdasarkan lengkok, kord atau lengkok yang sama, adalah sama.
- Jika sudut-sudut yang tertera adalah berdasarkan kord yang sama, tetapi bucunya terletak pada sisi bertentangan dengannya, jumlah ukuran darjah sudut tersebut ialah 180°, kerana dalam kes ini kedua-dua sudut adalah berdasarkan lengkok, jumlah ukuran darjah yang mana ialah 360 ° (keseluruhan bulatan), 360°: 2=180°
- Jika sudut yang tertera adalah berdasarkan diameter bulatan yang diberikan, ukuran darjahnya ialah 90°, kerana diameternya mencakar lengkok bersamaan dengan 180°, 180°: 2=90°
- Jika sudut tengah dan sudut tersurat dalam bulatan adalah berdasarkan lengkok atau kord yang sama, maka sudut tertera adalah sama dengan separuh daripada sudut tengah.
Di manakah masalah mengenai topik ini boleh ditemui? Jenis dan penyelesaiannya
Memandangkan bulatan dan sifatnya merupakan salah satu bahagian geometri yang paling penting, planimetri khususnya, sudut tertera dan pusat dalam bulatan ialah topik yang meluas dan terperincidipelajari dalam kurikulum sekolah. Tugas yang dikhaskan untuk harta mereka ditemui dalam peperiksaan negeri utama (OGE) dan peperiksaan negeri bersatu (USE). Sebagai peraturan, untuk menyelesaikan masalah ini, anda harus mencari sudut pada bulatan dalam darjah.
Sudut berdasarkan lengkok yang sama
Masalah jenis ini mungkin salah satu yang paling mudah, kerana untuk menyelesaikannya anda perlu mengetahui hanya dua sifat mudah: jika kedua-dua sudut ditulis dan bersandar pada kord yang sama, ia adalah sama, jika salah satu daripadanya adalah pusat, maka sudut tertulis yang sepadan adalah sama dengan separuh daripadanya. Walau bagaimanapun, apabila menyelesaikannya, seseorang mesti berhati-hati: kadang-kadang sukar untuk melihat harta ini, dan pelajar, apabila menyelesaikan masalah mudah seperti itu, menemui jalan buntu. Pertimbangkan contoh.
Masalah 1
Diberi bulatan berpusat pada titik O. Sudut AOB ialah 54°. Cari ukuran darjah sudut DIA.
Tugas ini diselesaikan dalam satu langkah. Satu-satunya perkara yang anda perlukan untuk mencari jawapannya dengan cepat ialah perhatikan bahawa arka di mana kedua-dua sudut terletak adalah yang biasa. Melihat ini, anda boleh menggunakan sifat yang sudah biasa. Sudut ACB ialah separuh sudut AOB. Jadi
1) AOB=54°: 2=27°.
Jawapan: 54°.
Sudut berdasarkan lengkok berbeza bagi bulatan yang sama
Kadangkala saiz lengkok yang terletak pada sudut yang diperlukan tidak dinyatakan secara langsung dalam keadaan masalah. Untuk mengiranya, anda perlu menganalisis magnitud sudut ini dan membandingkannya dengan sifat bulatan yang diketahui.
Masalah 2
Dalam bulatan berpusat O, sudut AOCialah 120°, dan sudut AOB ialah 30°. Cari sudut ANDA.
Sebagai permulaan, adalah wajar untuk mengatakan bahawa adalah mungkin untuk menyelesaikan masalah ini menggunakan sifat segi tiga sama kaki, tetapi ini memerlukan lebih banyak operasi matematik. Oleh itu, di sini kita akan menganalisis penyelesaian menggunakan sifat sudut pusat dan tersurat dalam bulatan.
Jadi, sudut AOC terletak pada lengkok AC dan pusat, yang bermaksud bahawa lengkok AC adalah sama dengan sudut AOC.
AC=120°
Dengan cara yang sama, sudut AOB terletak pada lengkok AB.
AB=30°.
Mengetahui perkara ini dan ukuran darjah keseluruhan bulatan (360°), anda boleh mencari magnitud lengkok BC dengan mudah.
BC=360° - AC - AB
SM=360° - 120° - 30°=210°
Puncak sudut CAB, titik A, terletak pada bulatan. Oleh itu, sudut CAB ditulis dan sama dengan separuh daripada lengkok CB.
Sudut CAB=210°: 2=110°
Jawapan: 110°
Masalah berdasarkan nisbah lengkok
Sesetengah masalah tidak mengandungi data pada sudut sama sekali, jadi ia perlu dicari berdasarkan hanya teorem dan sifat bulatan yang diketahui.
Masalah 1
Cari sudut yang tertera dalam bulatan yang disokong oleh kord yang sama dengan jejari bulatan yang diberikan.
Jika anda melukis garisan mental yang menghubungkan hujung segmen dengan pusat bulatan, anda akan mendapat segi tiga. Setelah menelitinya, anda dapat melihat bahawa garis-garis ini adalah jejari bulatan, yang bermaksud bahawa semua sisi segitiga adalah sama. Kita tahu bahawa semua sudut segitiga sama sisiadalah sama dengan 60°. Oleh itu, lengkok AB yang mengandungi bucu segitiga adalah sama dengan 60°. Dari sini kita dapati lengkok AB, di mana sudut yang diingini berdasarkan.
AB=360° - 60°=300°
Sudut ABC=300°: 2=150°
Jawapan: 150°
Masalah 2
Dalam bulatan berpusat pada titik O, lengkok dikaitkan sebagai 3:7. Cari sudut tersurat yang lebih kecil.
Untuk penyelesaian, kami menandakan satu bahagian sebagai X, kemudian satu lengkok adalah sama dengan 3X, dan yang kedua, masing-masing, 7X. Mengetahui bahawa ukuran darjah bulatan ialah 360°, kita boleh menulis persamaan.
3X + 7X=360°
10X=360°
X=36°
Mengikut syarat, anda perlu mencari sudut yang lebih kecil. Jelas sekali, jika nilai sudut adalah berkadar terus dengan lengkok di mana ia terletak, maka sudut yang diperlukan (lebih kecil) sepadan dengan lengkok bersamaan dengan 3X.
Jadi sudut yang lebih kecil ialah (36°3): 2=108°: 2=54°
Jawapan: 54°
Masalah 3
Dalam bulatan berpusat di titik O, sudut AOB ialah 60° dan panjang lengkok yang lebih kecil ialah 50. Hitung panjang lengkok yang lebih besar.
Untuk mengira panjang lengkok yang lebih besar, anda perlu membuat perkadaran - bagaimana lengkok yang lebih kecil berkaitan dengan lengkok yang lebih besar. Untuk melakukan ini, kami mengira magnitud kedua-dua lengkok dalam darjah. Lengkok yang lebih kecil adalah sama dengan sudut yang terletak di atasnya. Ukuran darjahnya ialah 60°. Lengkok yang lebih besar adalah sama dengan perbezaan antara ukuran darjah bulatan (ia adalah sama dengan 360° tanpa mengira data lain) dan lengkok yang lebih kecil.
Lengkok besar ialah 360° - 60°=300°.
Sejak 300°: 60°=5, lengkok yang lebih besar ialah 5 kali lebih kecil.
Arka besar=505=250
Jawapan: 250
Jadi, sudah tentu, ada yang lainpendekatan untuk menyelesaikan masalah yang serupa, tetapi kesemuanya adalah berdasarkan sifat-sifat sudut pusat dan tersurat, segi tiga dan bulatan. Untuk berjaya menyelesaikannya, anda perlu mengkaji lukisan dengan teliti dan membandingkannya dengan data masalah, serta dapat menggunakan pengetahuan teori anda dalam amalan.
