Detik, tangen - semua ini boleh didengar ratusan kali dalam pelajaran geometri. Tetapi tamat pengajian dari sekolah telah berakhir, tahun berlalu, dan semua pengetahuan ini dilupakan. Apakah yang perlu diingat?
Esen
Istilah "tangen kepada bulatan" mungkin biasa kepada semua orang. Tetapi tidak mungkin semua orang dapat merumuskan definisinya dengan cepat. Sementara itu, tangen ialah garis lurus yang terletak dalam satah yang sama dengan bulatan yang bersilang pada satu titik sahaja. Mungkin terdapat pelbagai jenis, tetapi semuanya mempunyai sifat yang sama, yang akan dibincangkan di bawah. Seperti yang anda fikirkan, titik hubungan ialah tempat di mana bulatan dan garisan bersilang. Dalam setiap kes, ia adalah satu, tetapi jika terdapat lebih banyak, maka ia akan menjadi satu bahagian.
Sejarah penemuan dan kajian
Konsep tangen muncul pada zaman dahulu. Pembinaan garis lurus ini, pertama kepada bulatan, dan kemudian kepada elips, parabola dan hiperbola dengan bantuan pembaris dan kompas, telah dijalankan walaupun pada peringkat awal pembangunan geometri. Sudah tentu, sejarah tidak mengekalkan nama penemu, tetapiadalah jelas bahawa walaupun pada masa itu, orang ramai cukup sedar tentang sifat tangen kepada bulatan.
Pada zaman moden, minat terhadap fenomena ini kembali membara - pusingan baharu untuk mengkaji konsep ini bermula, digabungkan dengan penemuan lengkung baharu. Jadi, Galileo memperkenalkan konsep sikloid, dan Fermat dan Descartes membina tangen kepadanya. Bagi kalangan, nampaknya tiada lagi rahsia yang tersisa untuk orang dahulu kala di kawasan ini.
Properties
Jejari yang dilukis ke titik persilangan akan berserenjang dengan garisan. Ini ialah
utama, tetapi bukan satu-satunya sifat yang dimiliki oleh tangen kepada bulatan. Satu lagi ciri penting termasuk sudah dua garis lurus. Jadi, melalui satu titik yang terletak di luar bulatan, dua tangen boleh dilukis, manakala segmennya akan sama. Terdapat satu lagi teorem mengenai topik ini, tetapi ia jarang diliputi dalam rangka kursus sekolah standard, walaupun ia sangat mudah untuk menyelesaikan beberapa masalah. Bunyinya begini. Dari satu titik yang terletak di luar bulatan, tangen dan titik dilukis kepadanya. Segmen AB, AC dan AD terbentuk. A ialah persilangan garis, B ialah titik sentuhan, C dan D ialah persilangan. Dalam kes ini, kesamaan berikut akan sah: panjang tangen kepada bulatan, kuasa dua, akan sama dengan hasil darab segmen AC dan AD.
Daripada perkara di atas terdapat akibat penting. Untuk setiap titik bulatan, anda boleh membina tangen, tetapi hanya satu. Buktinya agak mudah: secara teorinya menjatuhkan serenjang dari jejari ke atasnya, kita dapati bahawa yang terbentuksegi tiga tidak boleh wujud. Dan ini bermakna tangen adalah satu-satunya.
Bangunan
Antara masalah lain dalam geometri, terdapat kategori khas, sebagai peraturan, bukan
disayangi oleh murid dan pelajar. Untuk menyelesaikan tugasan daripada kategori ini, anda hanya memerlukan kompas dan pembaris. Ini adalah tugas membina. Terdapat juga kaedah untuk membina tangen.
Jadi, diberi bulatan dan titik yang terletak di luar sempadannya. Dan adalah perlu untuk menarik tangen melalui mereka. Bagaimana hendak melakukannya? Pertama sekali, anda perlu melukis segmen antara pusat bulatan O dan titik tertentu. Kemudian, dengan menggunakan kompas, bahagikannya kepada dua. Untuk melakukan ini, anda perlu menetapkan jejari - lebih sedikit daripada separuh jarak antara pusat bulatan asal dan titik yang diberikan. Selepas itu, anda perlu membina dua lengkok bersilang. Selain itu, jejari kompas tidak perlu diubah, dan pusat setiap bahagian bulatan akan menjadi titik awal dan O, masing-masing. Persimpangan lengkok mesti disambungkan, yang akan membahagikan segmen kepada separuh. Tetapkan jejari pada kompas yang sama dengan jarak ini. Seterusnya, dengan pusat di titik persilangan, lukis bulatan lain. Kedua-dua titik awal dan O akan terletak di atasnya. Dalam kes ini, akan terdapat dua lagi persimpangan dengan bulatan yang diberikan dalam masalah. Ia akan menjadi titik sentuh untuk mata yang diberikan pada mulanya.
Menarik
Pembinaan tangen pada bulatan itulah yang membawa kepada kelahiran
kalkulus pembezaan. Kerja pertama mengenai topik ini ialahditerbitkan oleh ahli matematik Jerman terkenal Leibniz. Dia memperuntukkan kemungkinan mencari maksima, minima dan tangen, tanpa mengira nilai pecahan dan tidak rasional. Nah, kini ia digunakan untuk banyak pengiraan lain juga.
Selain itu, tangen kepada bulatan adalah berkaitan dengan makna geometri tangen. Dari situlah namanya berasal. Diterjemah dari bahasa Latin, tangens bermaksud "tangen". Oleh itu, konsep ini disambungkan bukan sahaja dengan geometri dan kalkulus pembezaan, tetapi juga dengan trigonometri.
Dua kalangan
Tidak selalu tangen mempengaruhi satu bentuk sahaja. Jika sebilangan besar garis lurus boleh ditarik ke satu bulatan, maka mengapa tidak sebaliknya? boleh. Tetapi tugas dalam kes ini adalah sangat rumit, kerana tangen kepada dua bulatan mungkin tidak melalui mana-mana titik, dan kedudukan relatif semua angka ini boleh menjadi sangat
berbeza.
Jenis dan jenis
Apabila bercakap tentang dua bulatan dan satu atau lebih garis, walaupun diketahui bahawa ini adalah tangen, ia tidak serta-merta menjadi jelas bagaimana semua rajah ini terletak dalam hubungan antara satu sama lain. Berdasarkan ini, terdapat beberapa jenis. Jadi, kalangan boleh mempunyai satu atau dua titik sepunya atau tidak mempunyainya sama sekali. Dalam kes pertama, mereka akan bersilang, dan dalam kes kedua, mereka akan menyentuh. Dan di sini terdapat dua jenis. Jika satu bulatan, seolah-olah, tertanam dalam kedua, maka sentuhan dipanggil dalaman, jika tidak, maka luaran. saling memahamilokasi angka mungkin bukan sahaja berdasarkan lukisan, tetapi juga mempunyai maklumat tentang jumlah jejari mereka dan jarak antara pusat mereka. Jika kedua-dua kuantiti ini sama, maka bulatan bersentuhan. Jika yang pertama lebih besar, mereka bersilang, dan jika lebih kecil, maka mereka tidak mempunyai titik sepunya.
Begitu juga dengan garis lurus. Untuk mana-mana dua kalangan yang tidak mempunyai titik sepunya, anda boleh
bina empat tangen. Dua daripadanya akan bersilang antara angka, mereka dipanggil dalaman. Beberapa yang lain adalah luaran.
Jika kita bercakap tentang kalangan yang mempunyai satu titik persamaan, maka tugas itu sangat dipermudahkan. Hakikatnya ialah untuk sebarang pengaturan bersama dalam kes ini, mereka hanya akan mempunyai satu tangen. Dan ia akan melalui titik persimpangan mereka. Jadi pembinaan kesukaran tidak akan menyebabkan.
Jika rajah-rajah itu mempunyai dua titik persilangan, maka satu garis lurus boleh dibina untuknya, tangen kepada bulatan, kedua-dua satu dan kedua, tetapi hanya yang luar. Penyelesaian kepada masalah ini adalah serupa dengan perkara yang akan dibincangkan di bawah.
Menyelesaikan masalah
Kedua-dua tangen dalaman dan luaran kepada dua bulatan tidak begitu mudah untuk dibina, walaupun masalah ini boleh diselesaikan. Hakikatnya ialah angka tambahan digunakan untuk ini, jadi fikirkan sendiri kaedah ini
agak bermasalah. Jadi, diberi dua bulatan yang berbeza jejari dan berpusat O1 dan O2. Bagi mereka, anda perlu membina dua pasang tangen.
Pertama sekali, berhampiran pusat yang lebih besarbulatan perlu dibina bantu. Dalam kes ini, perbezaan antara jejari dua angka awal mesti diwujudkan pada kompas. Tangen kepada bulatan bantu dibina dari pusat bulatan yang lebih kecil. Selepas itu, dari O1 dan O2, serenjang dilukis ke garisan ini sehingga ia bersilang dengan angka asal. Seperti berikut dari sifat utama tangen, titik yang dikehendaki pada kedua-dua bulatan ditemui. Masalah selesai, sekurang-kurangnya bahagian pertamanya.
Untuk membina tangen dalaman, anda perlu menyelesaikan secara praktikal
tugas yang serupa. Sekali lagi, angka tambahan diperlukan, tetapi kali ini jejarinya akan sama dengan jumlah angka asal. Tangen dibina kepadanya dari pusat salah satu bulatan yang diberikan. Kursus penyelesaian selanjutnya boleh difahami daripada contoh sebelumnya.
Tangent kepada bulatan atau bahkan dua atau lebih bukanlah tugas yang sukar. Sudah tentu, ahli matematik telah lama berhenti menyelesaikan masalah sedemikian secara manual dan mempercayai pengiraan kepada program khas. Tetapi jangan berfikir bahawa sekarang tidak perlu untuk melakukannya sendiri, kerana untuk merumuskan tugas dengan betul untuk komputer, anda perlu melakukan dan memahami banyak perkara. Malangnya, terdapat kebimbangan bahawa selepas peralihan terakhir kepada bentuk ujian kawalan pengetahuan, tugas pembinaan akan menyebabkan lebih banyak kesukaran kepada pelajar.
Mengenai mencari tangen sepunya untuk lebih banyak kalangan, ia tidak selalu boleh dilakukan, walaupun mereka terletak dalam satah yang sama. Tetapi dalam beberapa kes anda boleh menemui garis lurus sedemikian.
Contoh kehidupan
Tangen sepunya kepada dua bulatan sering ditemui dalam amalan, walaupun ia tidak selalu ketara. Penghantar, sistem blok, tali pinggang penghantaran takal, ketegangan benang dalam mesin jahit, dan walaupun hanya rantai basikal - semua ini adalah contoh dari kehidupan. Oleh itu, jangan fikir bahawa masalah geometri kekal hanya dalam teori: dalam kejuruteraan, fizik, pembinaan dan banyak bidang lain, mereka menemui aplikasi praktikal.
