Leonhard Euler (1707-1783) - ahli matematik Switzerland dan Rusia yang terkenal, ahli Akademi Sains St. Petersburg, tinggal hampir sepanjang hayatnya di Rusia. Yang paling terkenal dalam analisis matematik, statistik, sains komputer dan logik ialah bulatan Euler (gambar rajah Euler-Venn), digunakan untuk menandakan skop konsep dan set elemen.
John Venn (1834-1923) - Ahli falsafah dan logik Inggeris, pengarang bersama rajah Euler-Venn.
Konsep yang serasi dan tidak serasi
Di bawah konsep dalam logik bermaksud satu bentuk pemikiran yang mencerminkan ciri-ciri penting kelas objek homogen. Ia dilambangkan dengan satu atau sekumpulan perkataan: “peta dunia”, “kord kelima-ketujuh dominan”, “Isnin”, dsb.
Dalam kes apabila unsur-unsur skop satu konsep sepenuhnya atau sebahagiannya tergolong dalam skop yang lain, seseorang bercakap tentang konsep yang serasi. Walau bagaimanapun, jika tiada unsur skop konsep tertentu tergolong dalam skop yang lain, kami mempunyai konsep yang tidak serasi.
Seterusnya, setiap jenis konsep mempunyai set perhubungan yang mungkin tersendiri. Untuk konsep yang serasi, ini ialah:
- identiti (kesetaraan) jilid;
- lintas (separa perlawanan)jilid;
- subordination (subordination).
Untuk tidak serasi:
- subordination (penyelarasan);
- bertentangan (pertentangan);
- percanggahan (percanggahan).
Secara skematik, hubungan antara konsep dalam logik biasanya dilambangkan menggunakan bulatan Euler-Venn.
Hubungan setara
Dalam kes ini, konsep bermaksud subjek yang sama. Sehubungan itu, jumlah konsep ini adalah sama sepenuhnya. Contohnya:
A - Sigmund Freud;
B ialah pengasas psikoanalisis.
Atau:
A ialah segi empat sama;
B ialah segi empat sama sama;
C ialah belah ketupat sama.
Kalangan Euler yang bertepatan sepenuhnya digunakan untuk penetapan.
Persimpangan (separa padanan)
Kategori ini termasuk konsep yang mempunyai elemen umum yang berkaitan dengan persimpangan. Iaitu, isipadu satu daripada konsep sebahagiannya termasuk dalam isipadu yang lain:
A - cikgu;
B ialah pencinta muzik.
Seperti yang dapat dilihat daripada contoh ini, jilid konsep sebahagiannya bertepatan: kumpulan guru tertentu mungkin menjadi pencinta muzik, dan sebaliknya - mungkin terdapat wakil profesion perguruan dalam kalangan pencinta muzik. Sikap yang sama akan berlaku dalam kes apabila konsep A, sebagai contoh, "warganegara", dan B ialah "pemandu".
Tundukan (subordination)
Secara skematik dilambangkan sebagai bulatan Euler dengan skala yang berbeza. perhubunganantara konsep dalam kes ini dicirikan oleh fakta bahawa konsep subordinat (lebih kecil dalam jumlah) sepenuhnya termasuk dalam subordinat (lebih besar dalam jumlah). Pada masa yang sama, konsep bawahan tidak sepenuhnya meletihkan orang bawahan.
Contohnya:
A - pokok;
B - pain.
Konsep B akan menjadi subordinat kepada konsep A. Memandangkan pain kepunyaan pokok, konsep A dalam contoh ini menjadi subordinat, "menyerap" skop konsep B.
Koordinasi (penyelarasan)
Perkaitan mencirikan dua atau lebih konsep yang mengecualikan satu sama lain, tetapi tergolong dalam kalangan generik biasa tertentu. Contohnya:
A – klarinet;
B - gitar;
C - biola;
D ialah alat muzik.
Konsep A, B, C tidak bersilang antara satu sama lain, namun, semuanya tergolong dalam kategori alat muzik (konsep D).
Bertentangan (bertentangan)
Hubungan bertentangan antara konsep membayangkan bahawa konsep ini tergolong dalam genus yang sama. Pada masa yang sama, salah satu konsep mempunyai sifat (ciri) tertentu, manakala yang lain menafikannya, menggantikannya dengan sifat yang bertentangan. Oleh itu, kita berurusan dengan antonim. Contohnya:
A kerdil;
B ialah gergasi.
Bulatan Euler dengan hubungan bertentangan antara konsepdibahagikan kepada tiga segmen, yang pertama sepadan dengan konsep A, yang kedua dengan konsep B dan yang ketiga untuk semua konsep lain yang mungkin.
Percanggahan (percanggahan)
Dalam kes ini, kedua-dua konsep adalah spesies daripada genus yang sama. Seperti dalam contoh sebelumnya, salah satu konsep menunjukkan kualiti tertentu (ciri), manakala yang lain menafikannya. Walau bagaimanapun, berbeza dengan hubungan yang bertentangan, konsep kedua yang bertentangan tidak menggantikan sifat yang dinafikan dengan yang lain, yang alternatif. Contohnya:
A ialah tugas yang sukar;
B ialah tugas yang mudah (bukan-A).
Menyatakan isipadu konsep seperti ini, bulatan Euler dibahagikan kepada dua bahagian - pautan ketiga, perantaraan dalam kes ini tidak wujud. Oleh itu, konsep juga adalah antonim. Pada masa yang sama, salah satu daripada mereka (A) menjadi positif (menegaskan beberapa ciri), dan yang kedua (B atau bukan A) menjadi negatif (menafikan ciri yang sepadan): "kertas putih" - "bukan kertas putih", " sejarah negara” – “sejarah asing”, dsb.
Oleh itu, nisbah isipadu konsep berhubung antara satu sama lain ialah ciri utama yang mentakrifkan bulatan Euler.
Hubungan antara set
Ia juga perlu untuk membezakan antara konsep unsur dan set, yang isipadunya dipaparkan oleh bulatan Euler. Konsep set dipinjam daripada sains matematik dan mempunyai maksud yang agak luas. Contoh dalam logik dan matematik memaparkannya sebagai satu set objek tertentu. Objek itu sendiri adalahelemen set ini. "Many is many thoughts as one" (Georg Kantor, pengasas teori set).
Set ditetapkan dalam huruf besar: A, B, C, D… dsb., elemen set ditetapkan dalam huruf kecil: a, b, c, d… dll. Contoh set boleh pelajar yang berada di dalam satu bilik darjah, buku di rak tertentu (atau, sebagai contoh, semua buku di perpustakaan tertentu), halaman dalam diari, buah beri dalam pembukaan hutan, dsb.
Sebaliknya, jika set tertentu tidak mengandungi satu elemen, maka ia dipanggil kosong dan dilambangkan dengan tanda Ø. Contohnya, set titik persilangan garis selari, set penyelesaian kepada persamaan x2=-5.
Menyelesaikan masalah
Kalangan Euler digunakan secara aktif untuk menyelesaikan sejumlah besar masalah. Contoh dalam logik jelas menunjukkan hubungan antara operasi logik dan teori set. Dalam kes ini, jadual kebenaran konsep digunakan. Sebagai contoh, bulatan berlabel A mewakili kawasan kebenaran. Jadi kawasan di luar bulatan akan mewakili palsu. Untuk menentukan kawasan rajah untuk operasi logik, anda harus menaungi kawasan yang mentakrifkan bulatan Euler, di mana nilainya untuk unsur A dan B adalah benar.
Penggunaan bulatan Euler telah menemui aplikasi praktikal yang meluas dalam pelbagai industri. Sebagai contoh, dalam situasi dengan pilihan profesional. Jika subjek mengambil berat tentang pilihan profesion masa depan, dia boleh dibimbing oleh kriteria berikut:
W – apakah yang saya suka lakukan?
D – apa yang saya lakukan?
P– bagaimana saya boleh menjana wang yang lumayan?
Mari lukis ini sebagai gambar rajah: Bulatan Euler (contoh dalam logik - hubungan persilangan):
Hasilnya ialah profesion yang akan berada di persimpangan ketiga-tiga kalangan.
Bulatan Euler-Venn menduduki tempat yang berasingan dalam matematik (teori set) apabila mengira gabungan dan sifat. Bulatan Euler bagi set elemen disertakan dalam imej segi empat tepat yang menandakan set universal (U). Daripada bulatan, angka tertutup lain juga boleh digunakan, tetapi intipati ini tidak berubah. Angka-angka itu bersilang antara satu sama lain, mengikut keadaan masalah (dalam kes yang paling umum). Juga, angka-angka ini harus dilabelkan dengan sewajarnya. Unsur-unsur set yang sedang dipertimbangkan boleh menjadi titik yang terletak di dalam segmen rajah yang berlainan. Berdasarkan itu, anda boleh menaungi kawasan tertentu, dengan itu menetapkan set yang baru dibentuk.
Dengan set ini adalah mungkin untuk melaksanakan operasi matematik asas: penambahan (jumlah set unsur), penolakan (perbezaan), pendaraban (hasil). Di samping itu, terima kasih kepada gambar rajah Euler-Venn, adalah mungkin untuk membandingkan set dengan bilangan elemen yang disertakan di dalamnya, tanpa mengiranya.
