Ditulis segiempat dalam bulatan. Segiempat ABCD ditulis dalam bulatan

2024 Pengarang: Angel Austin | [email protected]. Diubah suai terakhir: 2024-01-02 17:53

Dengan pembahagian matematik kepada algebra dan geometri, bahan pendidikan menjadi lebih sukar. Angka baru dan kes khas mereka muncul. Untuk memahami bahan dengan baik, adalah perlu untuk mengkaji konsep, sifat objek dan teorem yang berkaitan.

Konsep umum

Segi empat bermaksud angka geometri. Ia terdiri daripada 4 mata. Selain itu, 3 daripadanya tidak terletak pada garis lurus yang sama. Terdapat segmen yang menghubungkan titik yang ditentukan dalam siri.

Semua segi empat yang dipelajari dalam kursus geometri sekolah ditunjukkan dalam rajah berikut. Kesimpulan: mana-mana objek daripada rajah yang dibentangkan mempunyai sifat rajah sebelumnya.

Segi empat boleh terdiri daripada jenis berikut:

• Paralelogram. Keselarian sisi bertentangannya dibuktikan oleh teorem yang sepadan.
• Trapeze. Segi empat dengan tapak selari. Dua pihak yang lain tidak.
• Segi empat tepat. Rajah yang mempunyai kesemua 4 penjuru=90º.
• Rhombus. Angka dengan semua sisi sama.
• Segi empat. Menggabungkan sifat dua angka terakhir. Ia mempunyai semua sisi sama dan semua sudut adalah betul.

Takrifan utama topik ini ialah segi empat yang tertulis dalam bulatan. Ia terdiri daripada yang berikut. Ini ialah rajah di sekelilingnya diterangkan bulatan. Ia mesti melalui semua bucu. Sudut pedalaman segi empat yang ditulis dalam bulatan berjumlah sehingga 360º.

Tidak setiap segi empat boleh ditulis. Ini disebabkan oleh fakta bahawa pembahagi dua serenjang bagi 4 sisi mungkin tidak bersilang pada satu titik. Ini akan menjadikannya mustahil untuk mencari pusat bulatan yang mengehadkan 4-gon.

Kes khas

Terdapat pengecualian untuk setiap peraturan. Jadi, dalam topik ini terdapat juga kes khas:

• Sebuah segi empat selari, oleh itu, tidak boleh ditulis dalam bulatan. Hanya kes khasnya. Ia adalah segi empat tepat.
• Jika semua bucu ketupat berada pada garis keliling, maka ia adalah segi empat sama.
• Semua bucu trapezium berada pada sempadan bulatan. Dalam kes ini, mereka bercakap tentang angka sama kaki.

Sifat segi empat tertera dalam bulatan

Sebelum menyelesaikan masalah mudah dan kompleks pada topik tertentu, anda perlu mengesahkan pengetahuan anda. Tanpa mempelajari bahan pendidikan, adalah mustahil untuk menyelesaikan satu contoh sahaja.

Teorem 1

Jumlah sudut bertentangan bagi segi empat yang ditulis dalam bulatan ialah 180º.

Bukti

Diberi: segi empat ABCD ditulis dalam bulatan. Pusatnya ialah titik O. Kita perlu membuktikan bahawa _<A + _<C=180º dan _< B + _<D=180º.

Perlu mempertimbangkan angka yang dibentangkan.

1. _{<A ditulis dalam bulatan berpusat pada titik O. Ia diukur melalui ½ BCD (separuh lengkok).}
2. _{<C ditulis dalam bulatan yang sama. Ia diukur melalui ½ BAD (separuh lengkok).}
3. BAD dan BCD membentuk bulatan keseluruhan, iaitu magnitudnya ialah 360º.
4. _<A + _{<C adalah sama dengan separuh jumlah separuh lengkok yang diwakili.}
5. Oleh itu _<A + _{<C=360º / 2=180º.}

Dengan cara yang sama, bukti untuk _<B dan _{<D. Walau bagaimanapun, terdapat penyelesaian kedua untuk masalah itu.}

1. Adalah diketahui bahawa jumlah sudut pedalaman suatu segiempat ialah 360º.
2. Sebab _<A + _<C=180º. Sehubungan itu, _<B + _{<D=360º – 180º=180º.}

Teorem 2

(Ia selalunya dipanggil songsang) Jika dalam segi empat _<A + _<C=180º dan _{<B +} <_{D=180º (jika ia bertentangan), maka bulatan boleh diterangkan di sekeliling rajah tersebut.}

Bukti

Jumlah sudut bertentangan bagi segi empat ABCD bersamaan dengan 180º diberikan. _<A + _<C=180º, _<B +_{<D=180º. Kita perlu membuktikan bahawa bulatan boleh dihadkan di sekeliling ABCD.}

Daripada kursus geometri diketahui bahawa bulatan boleh dilukis melalui 3 titik segiempat. Sebagai contoh, anda boleh menggunakan titik A, B, C. Di manakah titik D akan ditempatkan? Terdapat 3 tekaan:

1. Dia berakhir di dalam bulatan. Dalam kes ini, D tidak menyentuh garisan.
2. Di luar bulatan. Dia melangkah jauh melepasi garis yang digariskan.
3. Ternyata pada kalangan.

Adalah diandaikan bahawa D berada di dalam bulatan. Tempat puncak yang ditunjukkan diduduki oleh D´. Ternyata segi empat ABCD´.

Hasilnya ialah:_<B + _<D´=2h.

Jika kita meneruskan AD´ ke persimpangan dengan bulatan sedia ada yang berpusat di titik E dan menyambungkan E dan C, kita mendapat segiempat ABCE bertulis. Dari teorem pertama berikut kesamaan:

Menurut undang-undang geometri, ungkapan itu tidak sah kerana _<D´ ialah sudut luar segitiga CD´E. Sehubungan itu, ia sepatutnya lebih daripada _{<E. Daripada ini, kita boleh membuat kesimpulan bahawa D mestilah sama ada pada bulatan atau di luarnya.}

Begitu juga, andaian ketiga boleh dibuktikan salah apabila D´´ melampaui sempadan angka yang diterangkan.

Dari dua hipotesis mengikuti satu-satunya hipotesis yang betul. Pucuk D terletak pada garisan bulatan. Dalam erti kata lain, D bertepatan dengan E. Ini berikutan bahawa semua titik segi empat terletak pada garis yang diterangkan.

Daripada inidua teorem, akibatnya berikut:

Sebarang segi empat tepat boleh ditulis dalam bulatan. Ada akibat lain. Satu bulatan boleh dihadkan di sekeliling mana-mana segi empat tepat

Trapezoid dengan pinggul yang sama boleh ditulis dalam bulatan. Dalam erti kata lain, bunyinya seperti ini: bulatan boleh diterangkan mengelilingi trapezoid dengan tepi yang sama

Beberapa contoh

Masalah 1. Segiempat ABCD ditulis dalam bulatan. _<ABC=105º, _<CAD=35º. Perlu mencari _{<ABD. Jawapan mesti ditulis dalam darjah.}

Keputusan. Pada mulanya, mungkin kelihatan sukar untuk mencari jawapannya.

1. Anda perlu mengingati sifat daripada topik ini. Iaitu: jumlah sudut bertentangan=180º.

_<ADC=180º – _{<ABC=180º – 105º=75º}

Dalam geometri, lebih baik berpegang pada prinsip: cari semua yang anda boleh. Berguna kemudian.

2. Langkah seterusnya: gunakan teorem jumlah segi tiga.

_<ACD=180º – _<CAD – _{<ADC=180º – 35º 75º=70º}

_<ABD dan _{<ACD tertera. Dengan syarat, mereka bergantung pada satu arka. Sehubungan itu, mereka mempunyai nilai yang sama:}

_<ABD=_<ACD=70º

Jawapan: _<ABD=70º.

Masalah 2. BCDE ialah segi empat tertera dalam bulatan. _<B=69º, _<C=84º. Pusat bulatan ialah titik E. Cari - _<E.

Keputusan.

1. Perlu cari _{<E mengikut Teorem 1.}

_<E=180º – _{<C=180º – 84º=96º}

Jawapan: _{< E=96º.}

Masalah 3. Diberi segiempat yang tertulis dalam bulatan. Data ditunjukkan dalam rajah. Anda perlu mencari nilai x, y, z yang tidak diketahui.

Penyelesaian:

z=180º – 93º=87º (mengikut Teorem 1)

x=½(58º + 106º)=82º

y=180º – 82º=98º (mengikut Teorem 1)

Jawapan: z=87º, x=82º, y=98º.

Masalah 4. Terdapat segi empat tertera dalam bulatan. Nilai ditunjukkan dalam rajah. Cari x, y.

Penyelesaian:

x=180º – 80º=100º

y=180º – 71º=109º

Jawapan: x=100º, y=109º.

Masalah untuk penyelesaian bebas

Contoh 1. Diberi bulatan. Pusatnya ialah titik O. AC dan BD ialah diameter. _<ACB=38º. Perlu mencari _{<AOD. Jawapan mesti diberikan dalam darjah.}

Contoh 2. Diberi sebuah segiempat ABCD dan bulatan yang dihadkan di sekelilingnya. _<ABC=110º, _<ABD=70º. Cari _{<CAD. Tulis jawapan anda dalam darjah.}

Contoh 3. Diberi bulatan dan segiempat ABCD bertulis. Dua sudutnya ialah 82º dan58º. Anda perlu mencari sudut terbesar yang tinggal dan tulis jawapan dalam darjah.

Contoh 4. Segiempat ABCD diberikan. Sudut A, B, C diberikan dalam nisbah 1:2:3. Adalah perlu untuk mencari sudut D jika segi empat yang ditentukan boleh ditulis dalam bulatan. Jawapan mesti diberikan dalam darjah.

Contoh 5. Segiempat ABCD diberikan. Sisinya membentuk lengkok bagi bulatan yang dikelilingi. Nilai darjah AB, BC, CD dan AD, masing-masing, ialah: 78˚, 107˚, 39˚, 136˚. Anda harus mencari _{<Dari segi empat yang diberikan dan tulis jawapan dalam darjah.}