Dalam matematik dan pemprosesan, konsep isyarat analitik (pendek kata - C, AC) ialah fungsi kompleks yang tidak mempunyai komponen frekuensi negatif. Bahagian sebenar dan khayalan fenomena ini adalah fungsi sebenar yang berkaitan antara satu sama lain oleh transformasi Hilbert. Isyarat analisis ialah fenomena yang agak biasa dalam kimia, intipatinya serupa dengan takrifan matematik konsep ini.
Persembahan
Perwakilan analitik bagi fungsi sebenar ialah isyarat analitik yang mengandungi fungsi asal dan transformasi Hilbertnya. Perwakilan ini memudahkan banyak manipulasi matematik. Idea utama ialah komponen frekuensi negatif transformasi Fourier (atau spektrum) bagi fungsi sebenar adalah berlebihan disebabkan oleh simetri Hermitian spektrum sedemikian. Komponen frekuensi negatif ini boleh dibuang tanpakehilangan maklumat, dengan syarat anda mahu berurusan dengan fungsi yang kompleks sebaliknya. Ini menjadikan atribut ciri tertentu lebih mudah diakses dan menjadikannya lebih mudah untuk memperoleh teknik modulasi dan penyahmodulatan seperti SSB.
Komponen negatif
Selagi fungsi yang dimanipulasi tidak mempunyai komponen frekuensi negatif (iaitu ia masih analitik), menukar daripada kompleks kembali kepada nyata hanyalah masalah membuang bahagian khayalan. Perwakilan analitik ialah generalisasi konsep vektor: manakala vektor dihadkan kepada amplitud, fasa dan kekerapan invarian masa, analisis kualitatif bagi isyarat analitik membolehkan parameter yang berubah-ubah masa.
Amplitud serta-merta, fasa serta-merta dan kekerapan digunakan dalam beberapa aplikasi untuk mengukur dan mengesan ciri tempatan C. Satu lagi aplikasi perwakilan analitik berkaitan dengan penyahmodulasian isyarat termodulat. Koordinat kutub memisahkan kesan modulasi AM dan fasa (atau frekuensi) dengan mudah serta menyahmodulasi jenis tertentu dengan berkesan.
Kemudian penapis laluan rendah mudah dengan pekali sebenar boleh memotong bahagian yang diminati. Motif lain adalah untuk menurunkan frekuensi maksimum, yang menurunkan frekuensi minimum untuk pensampelan bukan alias. Anjakan kekerapan tidak menjejaskan kegunaan matematik perwakilan. Oleh itu, dalam pengertian ini, downconverted masih analitik. Walau bagaimanapun, pemulihan perwakilan sebenarbukan lagi perkara mudah untuk mengekstrak komponen sebenar. Penukaran atas mungkin diperlukan dan jika isyarat diambil sampel (masa diskret), interpolasi (pensampelan naik) mungkin juga diperlukan untuk mengelakkan pengalianan.
Pembolehubah
Konsep ini ditakrifkan dengan baik untuk fenomena pembolehubah tunggal, yang biasanya bersifat sementara. Temporal ini mengelirukan ramai ahli matematik permulaan. Untuk dua atau lebih pembolehubah, analitik C boleh ditakrifkan dalam cara yang berbeza dan dua pendekatan dibentangkan di bawah.
Bahagian sebenar dan khayalan fenomena ini sepadan dengan dua elemen isyarat monogenik bernilai vektor, seperti yang ditakrifkan untuk fenomena serupa dengan satu pembolehubah. Walau bagaimanapun, monogenik boleh diperluaskan kepada bilangan pembolehubah arbitrari dengan cara yang mudah, mewujudkan fungsi vektor dimensi (n + 1) untuk kes isyarat n-pembolehubah.
Penukaran isyarat
Anda boleh menukar isyarat sebenar kepada isyarat analitik dengan menambahkan komponen khayalan (Q), iaitu transformasi Hilbert bagi komponen sebenar.
Omong-omong, ini bukan perkara baharu dalam pemprosesan digitalnya. Salah satu cara tradisional untuk menjana jalur sisi tunggal (SSB) AM, kaedah berfasa, melibatkan mencipta isyarat dengan menjana transformasi Hilbert bagi isyarat audio dalam rangkaian perintang-kapasitor analog. Memandangkan ia hanya mempunyai frekuensi positif, ia adalah mudah untuk menukarnya kepada isyarat RF termodulat dengan hanya satu jalur sisi.
Formula definisi
Ekspresi isyarat analitik ialah fungsi kompleks holomorfik yang ditakrifkan pada sempadan separuh satah kompleks atas. Sempadan separuh satah atas bertepatan dengan rawak, jadi C diberikan oleh pemetaan fa: R → C. Sejak pertengahan abad yang lalu, apabila Denis Gabor mencadangkan pada tahun 1946 untuk menggunakan fenomena ini untuk mengkaji amplitud dan fasa malar, isyarat telah menemui banyak aplikasi. Keistimewaan fenomena ini ditekankan [Vak96], di mana ia menunjukkan bahawa hanya analisis kualitatif isyarat analisis sepadan dengan keadaan fizikal untuk amplitud, fasa dan kekerapan.
Pencapaian terkini
Dalam beberapa dekad yang lalu, terdapat minat dalam kajian isyarat dalam banyak dimensi, didorong oleh masalah yang timbul dalam bidang daripada pemprosesan imej / video kepada proses ayunan berbilang dimensi dalam fizik, seperti seismik, elektromagnet dan gelombang graviti. Secara amnya telah diterima bahawa, untuk membuat generalisasi C analitik (analisis kualitatif) dengan betul kepada kes beberapa dimensi, seseorang mesti bergantung pada pembinaan algebra yang memanjangkan nombor kompleks biasa dengan cara yang mudah. Binaan sedemikian biasanya dipanggil nombor hiperkompleks [SKE].
Akhir sekali, adalah mungkin untuk membina isyarat analitik hiperkompleks fh: Rd → S, di mana beberapa sistem algebra hiperkompleks am diwakili, yang secara semula jadi memanjangkan semua sifat yang diperlukan untuk mendapatkan amplitud serta-merta danfasa.
Kajian
Sebilangan kertas ditumpukan kepada pelbagai isu yang berkaitan dengan pilihan yang betul bagi sistem nombor hiperkompleks, takrif penjelmaan Fourier hiperkompleks dan penjelmaan Hilbert pecahan untuk mengkaji amplitud dan fasa serta-merta. Kebanyakan kerja ini adalah berdasarkan sifat pelbagai ruang seperti Cd, kuaternion, algebra Clearon dan pembinaan Cayley-Dixon.
Seterusnya, kami akan menyenaraikan hanya beberapa karya yang dikhaskan untuk mengkaji isyarat dalam banyak dimensi. Setakat yang kita tahu, kerja pertama pada kaedah multivariate diperoleh pada awal 1990-an. Ini termasuk kerja Ell [Ell92] mengenai transformasi hiperkompleks; Kerja Bulow mengenai generalisasi kaedah tindak balas analitik (isyarat analisis) kepada banyak ukuran [BS01] dan kerja Felsberg dan Sommer pada isyarat monogenik.
Prospek lanjut
Isyarat hiperkompleks dijangka memanjangkan semua sifat berguna yang kita ada dalam kes 1D. Pertama sekali, kita mesti dapat mengekstrak dan menyamaratakan amplitud dan fasa serta-merta kepada pengukuran. Kedua, spektrum Fourier bagi isyarat analitik kompleks dikekalkan hanya pada frekuensi positif, jadi kami menjangkakan transformasi Fourier hiperkompleks mempunyai spektrum hipernilai sendiri, yang hanya akan dikekalkan dalam beberapa kuadran positif ruang hiperkompleks. Kerana ia sangat penting.
Ketiga, gabungkan bahagian konsep yang kompleksdaripada isyarat analitik adalah berkaitan dengan transformasi Hilbert, dan kita boleh menjangkakan bahawa komponen konjugat dalam ruang hiperkompleks juga mesti berkaitan dengan beberapa gabungan transformasi Hilbert. Dan akhirnya, sesungguhnya, isyarat hiperkompleks mesti ditakrifkan sebagai lanjutan daripada beberapa fungsi holomorfik hiperkompleks daripada beberapa pembolehubah hiperkompleks yang ditakrifkan pada sempadan beberapa bentuk dalam ruang hiperkompleks.
Kami sedang menangani isu ini dalam susunan berurutan. Pertama sekali, kita mulakan dengan melihat formula kamiran Fourier dan menunjukkan bahawa transformasi Hilbert kepada 1-D adalah berkaitan dengan formula kamiran Fourier yang diubah suai. Fakta ini membolehkan kami mentakrifkan amplitud, fasa dan kekerapan serta-merta tanpa merujuk kepada sistem nombor hiperkompleks dan fungsi holomorfik.
Pengubahsuaian kamiran
Kami meneruskan dengan memanjangkan formula kamiran Fourier yang diubah suai kepada beberapa dimensi, dan menentukan semua komponen anjakan fasa yang diperlukan yang boleh kami kumpulkan kepada amplitud dan fasa serta-merta. Kedua, kita beralih kepada persoalan kewujudan fungsi holomorphic beberapa pembolehubah hiperkompleks. Selepas [Sch93] ternyata algebra hiperkompleks komutatif dan bersekutu yang dijana oleh set penjana elips (e2i=−1) ialah ruang yang sesuai untuk isyarat analitik hiperkompleks untuk hidup, kami memanggil algebra hiperkompleks sedemikian sebagai ruang Schaefers dan menandakan iaSd.
Oleh itu, hiperkompleks isyarat analitik ditakrifkan sebagai fungsi holomorfik pada sempadan polidisk / separuh atas satah dalam beberapa ruang hiperkompleks, yang kita panggil ruang Schaefers am, dan dilambangkan dengan Sd. Kami kemudian memerhatikan kesahihan formula kamiran Cauchy untuk fungsi Sd → Sd, yang dikira di atas permukaan hiper di dalam cakera poli dalam Sd dan memperoleh transformasi Hilbert pecahan sepadan yang mengaitkan komponen konjugat hiperkompleks. Akhirnya, ternyata transformasi Fourier dengan nilai dalam ruang Schaefers hanya disokong pada frekuensi bukan negatif. Terima kasih kepada artikel ini, anda telah mempelajari apa itu isyarat analitik.
