Teorem Pythagoras: kuasa dua hipotenus sama dengan jumlah kaki kuasa dua

2024 Pengarang: Angel Austin | [email protected]. Diubah suai terakhir: 2023-12-17 05:36

Setiap pelajar tahu bahawa kuasa dua hipotenus sentiasa sama dengan jumlah kaki, setiap satunya adalah kuasa dua. Pernyataan ini dipanggil teorem Pythagoras. Ia adalah salah satu teorem yang paling terkenal dalam trigonometri dan matematik secara umum. Pertimbangkan dengan lebih terperinci.

Konsep segi tiga tepat

Sebelum meneruskan untuk mempertimbangkan teorem Pythagoras, di mana kuasa dua hipotenus adalah sama dengan jumlah kaki yang kuasa dua, kita harus mempertimbangkan konsep dan sifat segitiga bersudut tegak, yang mana teoremnya adalah sah.

Segitiga ialah rajah rata dengan tiga sudut dan tiga sisi. Segi tiga tepat, seperti namanya, mempunyai satu sudut tegak, iaitu, sudut ini ialah 90o.

Daripada sifat umum untuk semua segi tiga, diketahui bahawa jumlah ketiga-tiga sudut rajah ini ialah 180^o, yang bermaksud bahawa bagi segi tiga tepat jumlah dua sudut yang tidak betul, ialah 180^o -90^o=90^o. Fakta terakhir bermakna mana-mana sudut dalam segi tiga tegak yang bukan sudut tegak akan sentiasa kurang daripada 90^o.

Sisi yang terletak bertentangan dengan sudut tegak dipanggil hipotenus. Dua sisi yang lain ialah kaki segi tiga, mereka boleh sama antara satu sama lain, atau mereka boleh berbeza. Dari trigonometri diketahui bahawa semakin besar sudut terhadap mana sisi terletak dalam segitiga, semakin besar panjang sisi ini. Ini bermakna bahawa dalam segi tiga tepat hipotenus (bertentang dengan sudut 90^o) akan sentiasa lebih besar daripada mana-mana kaki (bertentang dengan sudut < 90^o).

Notasi matematik bagi teorem Pythagoras

Teorem ini mengatakan bahawa kuasa dua hipotenus adalah sama dengan jumlah kaki, setiap satunya adalah kuasa dua sebelumnya. Untuk menulis rumusan ini secara matematik, pertimbangkan segi tiga tegak di mana sisi a, b, dan c ialah dua kaki dan hipotenus, masing-masing. Dalam kes ini, teorem, yang dinyatakan sebagai kuasa dua hipotenus adalah sama dengan hasil tambah kuasa dua kaki, boleh diwakili oleh formula berikut: c²=a 2 ^{+ b} 2^{. Dari sini, formula lain yang penting untuk latihan boleh diperolehi: a=√(c}2 ^{- b}2^{), b=√(c} 2 ^{- a}2^{) dan c=√(a}2 ^{+ b}2^).

Perhatikan bahawa dalam kes segitiga sama sisi bersudut tegak, iaitu, a=b, rumusan: kuasa dua hipotenus adalah sama dengan jumlah kaki, setiap satunyakuasa dua, ditulis secara matematik sebagai: c²=a² + b²=2a ^{2, yang membayangkan kesamaan: c=a√2.}

Latar belakang sejarah

Teorem Pythagoras, yang mengatakan bahawa kuasa dua hipotenus adalah sama dengan jumlah kaki, setiap satunya adalah kuasa dua, telah diketahui lama sebelum ahli falsafah Yunani yang terkenal memberi perhatian kepadanya. Banyak papirus Mesir kuno, serta tablet tanah liat orang Babylon, mengesahkan bahawa orang-orang ini menggunakan sifat tercatat pada sisi segi tiga tepat. Sebagai contoh, salah satu daripada piramid Mesir pertama, Piramid Khafre, yang pembinaannya bermula pada abad ke-26 SM (2000 tahun sebelum hayat Pythagoras), dibina berdasarkan pengetahuan nisbah aspek dalam segi tiga tepat 3x4x5.

Kenapa teorem itu kini dinamakan sempena nama Yunani? Jawapannya mudah: Pythagoras adalah yang pertama membuktikan secara matematik teorem ini. Tulisan Babylon dan Mesir yang masih hidup hanya menyebut penggunaannya, tetapi tidak memberikan sebarang bukti matematik.

Adalah dipercayai bahawa Pythagoras membuktikan teorem yang sedang dipertimbangkan dengan menggunakan sifat segi tiga yang serupa, yang diperolehinya dengan melukis ketinggian dalam segi tiga tepat dari sudut 90o hingga hipotenus.

Contoh penggunaan teorem Pythagoras

Pertimbangkan masalah mudah: adalah perlu untuk menentukan panjang tangga condong L, jika diketahui bahawa ia mempunyai ketinggian H=3meter, dan jarak dari dinding di mana tangga terletak di kakinya ialah P=2.5 meter.

Dalam kes ini, H dan P ialah kaki, dan L ialah hipotenus. Oleh kerana panjang hipotenus adalah sama dengan jumlah segi empat sama kaki, kita dapat: L²=H² + P 2^{, dari mana L=√(H}2 ^{+ P}2^)=√(3 2 ^{+ 2, 5} 2^{)=3.905 meter atau 3 meter dan 90.5 sm.}