Bentuk geometri ini mengelilingi kita di mana-mana. Poligon cembung boleh menjadi semula jadi, seperti sarang lebah, atau buatan (buatan manusia). Angka-angka ini digunakan dalam pengeluaran pelbagai jenis salutan, dalam lukisan, seni bina, hiasan, dll. Poligon cembung mempunyai sifat bahawa semua titiknya berada pada sisi yang sama pada garis lurus yang melalui sepasang bucu bersebelahan rajah geometri ini. Terdapat definisi lain juga. Poligon dipanggil cembung jika ia terletak dalam satu setengah satah berkenaan dengan mana-mana garis lurus yang mengandungi salah satu sisinya.
Polygon cembung
Dalam kursus geometri asas, hanya poligon mudah sentiasa dipertimbangkan. Untuk memahami semua sifat-sifat tersebutbentuk geometri, adalah perlu untuk memahami sifatnya. Sebagai permulaan, perlu difahami bahawa mana-mana garis dipanggil tertutup, yang hujungnya bertepatan. Selain itu, angka yang dibentuk olehnya boleh mempunyai pelbagai konfigurasi. Poligon ialah garis putus tertutup mudah, di mana pautan jiran tidak terletak pada garis lurus yang sama. Pautan dan bucunya adalah, masing-masing, sisi dan bucu rajah geometri ini. Garis poli ringkas tidak boleh mempunyai persilangan sendiri.
Bucu poligon dipanggil bersebelahan jika ia mewakili hujung salah satu sisinya. Rajah geometri yang mempunyai nombor ke-n bucu, dan oleh itu nombor ke-n sisi, dipanggil n-gon. Garis putus itu sendiri dipanggil sempadan atau kontur angka geometri ini. Satah poligon atau poligon rata dipanggil bahagian hujung mana-mana satah yang dibatasi olehnya. Sisi bersebelahan rajah geometri ini dipanggil segmen garis putus yang terpancar dari satu bucu. Ia tidak akan bersebelahan jika ia datang dari bucu poligon yang berbeza.
Takrifan lain bagi poligon cembung
Dalam geometri asas, terdapat beberapa lagi takrifan setara yang menunjukkan poligon yang dipanggil cembung. Semua kenyataan ini adalah sama benar. Poligon dianggap cembung jika:
• setiap segmen yang menghubungkan mana-mana dua titik di dalamnya terletak sepenuhnya di dalamnya;
• di dalamnyasemua pepenjurunya terletak;
• mana-mana sudut dalam tidak melebihi 180°.
Sebuah poligon sentiasa membahagikan satah kepada 2 bahagian. Salah satu daripadanya adalah terhad (ia boleh disertakan dalam bulatan), dan satu lagi tidak terhad. Yang pertama dipanggil kawasan dalam, dan yang kedua ialah kawasan luar angka geometri ini. Poligon ini ialah persilangan (dengan kata lain, komponen biasa) bagi beberapa satah separuh. Selain itu, setiap segmen yang mempunyai penghujung pada titik yang tergolong dalam poligon adalah miliknya sepenuhnya.
Pelbagai poligon cembung
Takrif poligon cembung tidak menunjukkan bahawa terdapat banyak jenis poligon. Dan setiap daripada mereka mempunyai kriteria tertentu. Jadi, poligon cembung yang mempunyai sudut pedalaman 180° dipanggil cembung lemah. Rajah geometri cembung yang mempunyai tiga bucu dipanggil segitiga, empat - segi empat, lima - pentagon, dsb. Setiap n-gon cembung memenuhi keperluan penting berikut: n mestilah sama dengan atau lebih besar daripada 3. Setiap segi tiga adalah cembung. Angka geometri jenis ini, di mana semua bucu terletak pada bulatan yang sama, dipanggil tertulis dalam bulatan. Poligon cembung dipanggil berhad jika semua sisinya berhampiran bulatan menyentuhnya. Dua poligon dikatakan sama hanya jika ia boleh ditindih oleh superposisi. Poligon satah dipanggil satah poligon.(sebahagian daripada satah), yang dihadkan oleh rajah geometri ini.
Poligon cembung sekata
Poligon sekata ialah bentuk geometri dengan sudut dan sisi yang sama. Di dalamnya terdapat titik 0, yang berada pada jarak yang sama dari setiap bucunya. Ia dipanggil pusat angka geometri ini. Segmen yang menghubungkan pusat dengan bucu rajah geometri ini dipanggil apotema, dan bahagian yang menghubungkan titik 0 dengan sisi dipanggil jejari.
Segiempat sekata ialah segi empat sama. Segitiga sama sisi dipanggil segitiga sama sisi. Untuk rajah sedemikian, terdapat peraturan berikut: setiap sudut poligon cembung ialah 180°(n-2)/ n, di mana n ialah bilangan bucu bagi rajah geometri cembung ini.
Luas mana-mana poligon sekata ditentukan oleh formula:
S=ph, dengan p ialah separuh hasil tambah semua sisi poligon yang diberi dan h ialah panjang apotema.
Sifat poligon cembung
Poligon cembung mempunyai sifat tertentu. Jadi, segmen yang menghubungkan mana-mana 2 titik rajah geometri sedemikian semestinya terletak di dalamnya. Bukti:
Anggap bahawa P ialah poligon cembung yang diberi. Kami mengambil 2 titik sewenang-wenangnya, sebagai contoh, A, B, yang dimiliki oleh P. Menurut definisi poligon cembung yang sedia ada, titik-titik ini terletak pada sisi garis yang sama, yang mengandungi mana-mana sisi P. Oleh itu, AB juga mempunyai sifat ini dan terkandung dalam P. Poligon cembung sentiasa boleh dibahagikan kepada beberapa segi tiga dengan benar-benar semua pepenjuru yang dilukis daripada salah satu bucunya.
Sudut bentuk geometri cembung
Sudut poligon cembung ialah sudut yang dibentuk oleh sisinya. Sudut dalaman terletak di kawasan dalam bagi rajah geometri tertentu. Sudut yang dibentuk oleh sisinya yang menumpu pada satu bucu dipanggil sudut poligon cembung. Sudut yang bersebelahan dengan sudut dalam bagi rajah geometri tertentu dipanggil luaran. Setiap sudut poligon cembung yang terletak di dalamnya ialah:
180° - x, di mana x ialah nilai sudut luar. Formula ringkas ini berfungsi untuk sebarang bentuk geometri jenis ini.
Secara umum, untuk sudut luar terdapat peraturan berikut: setiap sudut poligon cembung adalah sama dengan perbezaan antara 180° dan nilai sudut dalam. Ia boleh mempunyai nilai antara -180° hingga 180°. Oleh itu, apabila sudut dalam ialah 120°, sudut luar akan menjadi 60°.
Jumlah sudut poligon cembung
Jumlah sudut pedalaman poligon cembung ditetapkan oleh formula:
180°(n-2), di mana n ialah bilangan bucu n-gon.
Jumlah sudut poligon cembung agak mudah untuk dikira. Pertimbangkan mana-mana rajah geometri sedemikian. Untuk menentukan jumlah sudut di dalam poligon cembung, adalah perlusambungkan salah satu bucunya dengan bucu yang lain. Hasil daripada tindakan ini, (n-2) segi tiga diperolehi. Kita tahu bahawa jumlah sudut mana-mana segi tiga sentiasa 180°. Oleh kerana nombor mereka dalam mana-mana poligon ialah (n-2), jumlah sudut pedalaman bagi rajah tersebut ialah 180° x (n-2).
Jumlah sudut poligon cembung, iaitu mana-mana dua sudut luar dalam dan bersebelahan, untuk rajah geometri cembung tertentu akan sentiasa sama dengan 180°. Berdasarkan ini, anda boleh menentukan jumlah semua sudutnya:
180 x n.
Jumlah sudut pedalaman ialah 180°(n-2). Berdasarkan ini, jumlah semua sudut luar angka ini ditetapkan oleh formula:
180°n-180°-(n-2)=360°.
Jumlah sudut luar mana-mana poligon cembung akan sentiasa 360° (tanpa mengira bilangan sisi).
Sudut luar poligon cembung biasanya diwakili oleh perbezaan antara 180° dan nilai sudut dalam.
Sifat lain poligon cembung
Selain sifat asas bentuk geometri ini, ia mempunyai bentuk lain yang timbul apabila memanipulasinya. Jadi, mana-mana poligon boleh dibahagikan kepada beberapa n-gon cembung. Untuk melakukan ini, adalah perlu untuk meneruskan setiap sisinya dan memotong angka geometri ini di sepanjang garis lurus ini. Ia juga mungkin untuk membelah mana-mana poligon kepada beberapa bahagian cembung dengan cara yang bucu setiap kepingan bertepatan dengan semua bucunya. Daripada rajah geometri sedemikian, segitiga boleh dibuat dengan mudah dengan melukis semuapepenjuru dari satu bucu. Oleh itu, mana-mana poligon akhirnya boleh dibahagikan kepada bilangan segi tiga tertentu, yang ternyata sangat berguna dalam menyelesaikan pelbagai masalah yang berkaitan dengan bentuk geometri tersebut.
Perimeter poligon cembung
Segmen garis putus, dipanggil sisi poligon, paling kerap dilambangkan dengan huruf berikut: ab, bc, cd, de, ea. Ini ialah sisi rajah geometri dengan bucu a, b, c, d, e. Jumlah panjang semua sisi poligon cembung ini dipanggil perimeternya.
Lilitan poligon
Polygon cembung boleh ditulis dan dihadkan. Bulatan yang menyentuh semua sisi rajah geometri ini dipanggil tertulis di dalamnya. Poligon sedemikian dipanggil berhad. Pusat bulatan yang ditulis dalam poligon ialah titik persilangan pembahagi dua semua sudut dalam rajah geometri tertentu. Luas poligon tersebut ialah:
S=pr, di mana r ialah jejari bulatan tersurat dan p ialah separuh perimeter poligon yang diberi.
Bulatan yang mengandungi bucu poligon dipanggil dihadkan di sekelilingnya. Selain itu, angka geometri cembung ini dipanggil bertulis. Pusat bulatan, yang dikelilingi oleh poligon sedemikian, ialah titik persilangan bagi apa yang dipanggil pembahagi dua serenjang bagi semua sisi.
Diagonal bagi bentuk geometri cembung
Diagonal poligon cembung ialah segmen yangsambung bucu bukan bersebelahan. Setiap daripada mereka terletak di dalam rajah geometri ini. Bilangan pepenjuru bagi n-gon sedemikian ditetapkan oleh formula:
N=n (n – 3)/ 2.
Bilangan pepenjuru poligon cembung memainkan peranan penting dalam geometri asas. Bilangan segi tiga (K) yang boleh membahagikan setiap poligon cembung dikira dengan formula berikut:
K=n – 2.
Bilangan pepenjuru poligon cembung sentiasa bergantung pada bilangan bucunya.
Penguraian poligon cembung
Dalam sesetengah kes, untuk menyelesaikan masalah geometri, adalah perlu untuk membahagikan poligon cembung kepada beberapa segi tiga dengan pepenjuru tidak bersilang. Masalah ini boleh diselesaikan dengan mendapatkan formula khusus.
Definisi masalah: mari kita panggil partisi yang betul bagi n-gon cembung kepada beberapa segi tiga dengan pepenjuru yang bersilang hanya pada bucu rajah geometri ini.
Penyelesaian: Katakan bahawa Р1, Р2, Р3 …, Pn ialah bucu bagi n-gon ini. Nombor Xn ialah bilangan partitionnya. Mari kita pertimbangkan dengan teliti pepenjuru yang diperolehi bagi rajah geometri Pi Pn. Dalam mana-mana partition biasa P1 Pn tergolong dalam segi tiga tertentu P1 Pi Pn, yang mempunyai 1<i<n. Teruskan daripada ini dan mengandaikan bahawa i=2, 3, 4 …, n-1, kita mendapat (n-2) kumpulan partition ini, yang merangkumi semua kemungkinan kes tertentu.
Biar i=2 menjadi satu kumpulan partition biasa, sentiasa mengandungi pepenjuru Р2 Pn. Bilangan partition yang memasukinya adalah sama dengan bilangan partition(n-1)-gon P2 P3 P4… Pn. Dalam erti kata lain, ia sama dengan Xn-1.
Jika i=3, maka kumpulan partition yang lain ini akan sentiasa mengandungi pepenjuru Р3 Р1 dan Р3 Pn. Dalam kes ini, bilangan partition biasa yang terkandung dalam kumpulan ini akan bertepatan dengan bilangan partition (n-2)-gon P3 P4 … Pn. Dalam erti kata lain, ia akan sama dengan Xn-2.
Biar i=4, maka di antara segi tiga sekatan biasa pasti akan mengandungi segi tiga P1 P4 Pn, dengan segi empat P1 P2 P3 P4, (n-3)-gon P4 P5 … Pn akan bersambung. Bilangan sekatan sekata bagi segiempat tersebut ialah X4, dan bilangan sekatan bagi suatu (n-3)-gon ialah Xn-3. Berdasarkan perkara di atas, kita boleh mengatakan bahawa jumlah bilangan partition betul yang terkandung dalam kumpulan ini ialah Xn-3 X4. Kumpulan lain dengan i=4, 5, 6, 7… akan mengandungi Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7 … sekatan biasa.
Biar i=n-2, maka bilangan pemisahan yang betul dalam kumpulan ini akan sama dengan bilangan pemisahan dalam kumpulan di mana i=2 (dengan kata lain, sama dengan Xn-1).
Memandangkan X1=X2=0, X3=1, X4=2…, maka bilangan semua sekatan poligon cembung ialah:
Xn=Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + … + X 5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.
Contoh:
X5=X4 + X3 + X4=5
X6=X5 + X4 + X4 + X5=14
X7=X6 + X5 + X4X4 + X5 + X6=42
X8=X7 + X6 + X5X4 + X4X5 + X6 + X7=132
Bilangan sekatan yang betul bersilang satu pepenjuru di dalam
Apabila memeriksa kes khas, seseorang boleh tiba diandaian bahawa bilangan pepenjuru n-gon cembung adalah sama dengan hasil darab semua sekatan rajah ini dengan (n-3).
Bukti andaian ini: bayangkan bahawa P1n=Xn(n-3), maka mana-mana n-gon boleh dibahagikan kepada (n-2)-segitiga. Selain itu, (n-3)-sisi empat boleh terdiri daripada mereka. Bersama-sama dengan ini, setiap segi empat akan mempunyai pepenjuru. Oleh kerana dua pepenjuru boleh dilukis dalam rajah geometri cembung ini, ini bermakna pepenjuru tambahan (n-3) boleh dilukis dalam mana-mana (n-3)-segi empat. Berdasarkan ini, kita boleh membuat kesimpulan bahawa dalam mana-mana partition biasa adalah mungkin untuk melukis (n-3)-pepenjuru yang memenuhi syarat masalah ini.
Kawasan poligon cembung
Selalunya, apabila menyelesaikan pelbagai masalah geometri asas, ia menjadi perlu untuk menentukan luas poligon cembung. Andaikan bahawa (Xi. Yi), i=1, 2, 3… n ialah jujukan koordinat semua bucu jiran poligon yang tidak mempunyai persilangan sendiri. Dalam kes ini, luasnya dikira menggunakan formula berikut:
S=½ (∑ (Xi + Xi + 1) (Yi + Yi + 1)), di mana (X1, Y1)=(Xn +1, Yn + 1).
