Salah satu rajah yang berlaku semasa menyelesaikan masalah geometri dalam ruang ialah kon. Ia, tidak seperti polyhedra, tergolong dalam kelas angka putaran. Mari kita pertimbangkan dalam artikel apa yang dimaksudkan dengannya dalam geometri, dan terokai ciri-ciri pelbagai bahagian kon.
Kon dalam geometri
Anggap bahawa terdapat beberapa lengkung pada pesawat. Ia boleh menjadi parabola, bulatan, elips, dan sebagainya. Ambil satu titik yang bukan milik satah yang ditentukan, dan sambungkan semua titik lengkung kepadanya. Permukaan yang terhasil dipanggil kon atau hanya kon.
Jika lengkung asal ditutup, maka permukaan kon boleh diisi dengan jirim. Angka yang diperoleh dengan cara ini ialah jasad tiga dimensi. Ia juga dipanggil kon. Beberapa kon kertas ditunjukkan di bawah.
Permukaan kon terdapat dalam kehidupan seharian. Sebagai contoh, kon ais krim atau kon lalu lintas berjalur mempunyai bentuk ini, yang direka untuk menarik perhatian pemandu danpejalan kaki.
Jenis kon
Seperti yang anda fikirkan, angka yang dipertimbangkan berbeza antara satu sama lain mengikut jenis lengkung di mana ia terbentuk. Sebagai contoh, terdapat kon bulat atau elips. Lengkung ini dipanggil asas rajah. Walau bagaimanapun, bentuk tapak bukan satu-satunya ciri yang membenarkan pengelasan kon.
Ciri penting kedua ialah kedudukan ketinggian berbanding tapak. Ketinggian kon ialah segmen garis lurus, yang diturunkan dari bahagian atas rajah ke satah tapak dan berserenjang dengan satah ini. Jika ketinggian bersilang dengan tapak di pusat geometri (contohnya, di tengah bulatan), maka kon akan lurus, jika segmen serenjang jatuh ke mana-mana titik lain tapak atau di luarnya, maka angka itu akan menjadi serong.
Selanjutnya dalam artikel kami akan mempertimbangkan hanya kon lurus bulat sebagai wakil terang bagi kelas angka yang dipertimbangkan.
Nama geometri unsur kon
Di atas dikatakan bahawa kon mempunyai tapak. Ia dibatasi oleh bulatan, yang dipanggil panduan kon. Segmen yang menghubungkan panduan ke titik yang tidak terletak pada satah tapak dipanggil penjana. Set semua titik penjana dipanggil permukaan kon atau sisi rajah. Untuk kon bulat kanan, semua penjana mempunyai panjang yang sama.
Titik di mana penjana bersilang dipanggil bahagian atas rajah. Tidak seperti polyhedra, kon mempunyai satu bucu dan tidaktepi.
Garis lurus yang melalui bahagian atas rajah dan pusat bulatan dipanggil paksi. Paksi mengandungi ketinggian kon lurus, jadi ia membentuk sudut tepat dengan satah tapak. Maklumat ini penting semasa mengira luas bahagian paksi kon.
Kon lurus bulat - angka putaran
Kon yang dipertimbangkan ialah angka yang agak simetri, yang boleh diperolehi hasil daripada putaran segi tiga. Katakan kita mempunyai segitiga dengan sudut tegak. Untuk mendapatkan kon, cukup dengan memutarkan segi tiga ini mengelilingi salah satu kaki seperti yang ditunjukkan dalam rajah di bawah.
Ia boleh dilihat bahawa paksi putaran ialah paksi kon. Salah satu kaki akan sama dengan ketinggian angka itu, dan kaki kedua akan menjadi jejari pangkalan. Hipotenus segi tiga akibat putaran akan menerangkan permukaan kon. Ia akan menjadi generatrik kon.
Kaedah mendapatkan kon lurus bulat ini mudah digunakan untuk mengkaji hubungan matematik antara parameter linear rajah: ketinggian h, jejari tapak bulat r dan panduan g. Formula yang sepadan mengikut daripada sifat segi tiga tepat. Ia disenaraikan di bawah:
g2=h2+ r2.
Memandangkan kita mempunyai satu persamaan dan tiga pembolehubah, ini bermakna untuk menetapkan parameter kon bulat secara unik, anda perlu mengetahui mana-mana dua kuantiti.
Bahagian kon oleh satah yang tidak mengandungi bucu rajah
Persoalan membina bahagian rajah bukanlahremeh. Hakikatnya adalah bahawa bentuk bahagian kon oleh permukaan bergantung pada kedudukan relatif rajah dan sekan.
Anggap bahawa kita bersilang kon dengan satah. Apakah hasil operasi geometri ini? Pilihan bentuk bahagian ditunjukkan dalam rajah di bawah.
Bahagian merah jambu ialah bulatan. Ia terbentuk hasil daripada persilangan rajah dengan satah yang selari dengan tapak kon. Ini adalah bahagian yang berserenjang dengan paksi rajah. Rajah yang terbentuk di atas satah pemotongan ialah kon yang serupa dengan yang asal, tetapi mempunyai bulatan yang lebih kecil di pangkalan.
Bahagian hijau ialah elips. Ia diperoleh jika satah pemotongan tidak selari dengan tapak, tetapi ia hanya bersilang dengan permukaan sisi kon. Angka yang terpotong di atas satah dipanggil kon serong elips.
Bahagian biru dan oren masing-masing adalah parabola dan hiperbolik. Seperti yang anda boleh lihat daripada rajah, ia diperoleh jika satah pemotongan secara serentak bersilang permukaan sisi dan pangkal rajah.
Untuk menentukan kawasan bahagian kon yang dipertimbangkan, perlu menggunakan formula untuk angka yang sepadan pada satah. Contohnya, untuk bulatan, ini ialah nombor Pi didarab dengan kuasa dua jejari, dan untuk elips, ini ialah hasil darab Pi dan panjang separuh paksi kecil dan besar:
bulatan: S=pir2;
elips: S=piab.
Bahagian yang mengandungi bahagian atas kon
Sekarang pertimbangkan pilihan untuk bahagian yang timbul jika satah pemotonganmelalui bahagian atas kon. Tiga kes mungkin:
- Bahagian ialah satu titik. Contohnya, satah yang melalui bucu dan selari dengan tapak memberikan bahagian sedemikian sahaja.
- Bahagian ialah garis lurus. Keadaan ini berlaku apabila satah bertangen pada permukaan kon. Garis lurus bahagian dalam kes ini akan menjadi generatriks kon.
- Bahagian paksi. Ia terbentuk apabila satah mengandungi bukan sahaja bahagian atas rajah, tetapi juga keseluruhan paksinya. Dalam kes ini, satah akan berserenjang dengan tapak bulat dan akan membahagikan kon kepada dua bahagian yang sama.
Jelas sekali, luas dua jenis bahagian pertama adalah sama dengan sifar. Bagi luas keratan rentas kon untuk jenis ke-3, isu ini dibincangkan dengan lebih terperinci dalam perenggan seterusnya.
Bahagian paksi
Telah dinyatakan di atas bahawa keratan paksi kon ialah rajah yang terbentuk apabila kon itu bersilang dengan satah yang melalui paksinya. Adalah mudah untuk meneka bahawa bahagian ini akan mewakili angka yang ditunjukkan dalam rajah di bawah.
Ini ialah segi tiga sama kaki. Puncak bahagian paksi kon ialah puncak segi tiga ini, dibentuk oleh persilangan sisi yang sama. Yang terakhir adalah sama dengan panjang generatriks kon. Tapak segi tiga ialah diameter tapak kon.
Mengira luas keratan paksi kon dikurangkan untuk mencari luas segi tiga yang terhasil. Jika jejari tapak r dan ketinggian h kon pada mulanya diketahui, maka luas S bahagian yang sedang dipertimbangkan ialah:
S=hr.
Iniungkapan itu adalah akibat daripada menggunakan formula piawai untuk luas segi tiga (separuh hasil darab ketinggian darab tapak).
Perhatikan bahawa jika generatriks kon adalah sama dengan diameter tapak bulatnya, maka bahagian paksi kon itu ialah segi tiga sama sisi.
Keratan segi tiga terbentuk apabila satah pemotong berserenjang dengan dasar kon dan melalui paksinya. Mana-mana satah lain yang selari dengan yang dinamakan akan memberikan hiperbola dalam bahagian. Walau bagaimanapun, jika satah itu mengandungi bucu kon dan bersilang tapaknya bukan melalui diameter, maka bahagian yang terhasil juga akan menjadi segi tiga sama kaki.
Masalah menentukan parameter linear kon
Mari tunjukkan cara menggunakan formula yang ditulis untuk luas keratan paksi untuk menyelesaikan masalah geometri.
Adalah diketahui bahawa luas keratan paksi kon ialah 100 cm2. Segitiga yang terhasil ialah sama sisi. Berapakah ketinggian kon dan jejari tapaknya?
Memandangkan segi tiga adalah sama sisi, tingginya h berkaitan dengan panjang sisi a seperti berikut:
j=√3/2a.
Memandangkan sisi segi tiga ialah dua kali jejari tapak kon, dan menggantikan ungkapan ini ke dalam formula untuk luas keratan rentas, kita dapat:
S=hr=√3/22rr=>
r=√(S/√3).
Maka tinggi kon itu ialah:
h=√3/22r=√3√(S/√3)=√(√3S).
Ia kekal untuk menggantikan nilai kawasan daripada keadaan masalahdan dapatkan jawapannya:
r=√(100/√3) ≈ 7.60 sm;
h=√(√3100) ≈ 13, 16 sm.
Di kawasan apakah penting untuk mengetahui parameter bahagian yang dipertimbangkan?
Kajian pelbagai jenis bahagian kon bukan sahaja mempunyai kepentingan teori, tetapi juga mempunyai aplikasi praktikal.
Pertama, perlu diperhatikan kawasan aerodinamik, di mana dengan bantuan bahagian kon adalah mungkin untuk mencipta bentuk licin badan pepejal yang ideal.
Kedua, bahagian kon ialah trajektori di mana objek angkasa bergerak dalam medan graviti. Jenis bahagian tertentu yang mewakili trajektori pergerakan badan kosmik sistem ditentukan oleh nisbah jisimnya, halaju mutlak dan jarak antaranya.
