Konsep penting dalam matematik ialah fungsi. Dengan bantuannya, anda boleh memvisualisasikan banyak proses yang berlaku di alam semula jadi, mencerminkan hubungan antara kuantiti tertentu menggunakan formula, jadual dan imej pada graf. Contohnya ialah pergantungan tekanan lapisan cecair pada badan pada kedalaman rendaman, pecutan - pada tindakan daya tertentu pada objek, peningkatan suhu - pada tenaga yang dihantar, dan banyak proses lain. Kajian fungsi melibatkan pembinaan graf, penjelasan sifatnya, skop dan nilai, selang kenaikan dan penurunan. Perkara penting dalam proses ini ialah mencari titik ekstrem. Mengenai cara melakukannya dengan betul dan perbualan akan diteruskan.
Mengenai konsep itu sendiri pada contoh tertentu
Dalam bidang perubatan, memplot graf fungsi boleh memberitahu tentang perkembangan penyakit dalam badan pesakit, mencerminkan keadaannya secara visual. Mari kita anggap bahawa masa dalam hari diplot di sepanjang paksi OX, dan suhu badan manusia diplot di sepanjang paksi OY. Angka itu jelas menunjukkan bagaimana penunjuk ini meningkat dengan mendadak, dankemudian ia jatuh. Ia juga mudah untuk melihat titik tunggal yang mencerminkan detik apabila fungsi, setelah meningkat sebelum ini, mula berkurangan, dan sebaliknya. Ini adalah titik ekstrem, iaitu, nilai kritikal (maksimum dan minimum) dalam kes suhu pesakit ini, selepas itu perubahan dalam keadaannya berlaku.
Sudut condong
Adalah mudah untuk menentukan daripada rajah bagaimana derivatif sesuatu fungsi berubah. Jika garis lurus graf naik dari semasa ke semasa, maka ia adalah positif. Dan semakin curam mereka, semakin besar nilai terbitan, apabila sudut kecenderungan meningkat. Semasa tempoh penurunan, nilai ini mengambil nilai negatif, bertukar kepada sifar pada titik ekstrem dan graf terbitan dalam kes kedua dilukis selari dengan paksi OX.
Sebarang proses lain hendaklah dirawat dengan cara yang sama. Tetapi perkara terbaik tentang konsep ini boleh memberitahu pergerakan pelbagai badan, ditunjukkan dengan jelas pada graf.
Pergerakan
Andaikan sesetengah objek bergerak dalam garis lurus, memperoleh kelajuan sama rata. Dalam tempoh ini, perubahan dalam koordinat badan secara grafik mewakili lengkung tertentu, yang akan dipanggil oleh ahli matematik sebagai cabang parabola. Pada masa yang sama, fungsi ini sentiasa meningkat, kerana penunjuk koordinat berubah lebih cepat dan lebih pantas dengan setiap saat. Graf kelajuan menunjukkan tingkah laku terbitan, yang nilainya juga meningkat. Ini bermakna pergerakan itu tidak mempunyai titik kritikal.
Ia akan berterusan selama-lamanya. Tetapi jika badan tiba-tiba memutuskan untuk memperlahankan, berhenti dan mula bergerak dalam yang lainarah tuju? Dalam kes ini, penunjuk koordinat akan mula berkurangan. Dan fungsi akan melepasi nilai kritikal dan bertukar daripada meningkat kepada menurun.
Dalam contoh ini, anda sekali lagi boleh memahami bahawa titik ekstrem pada graf fungsi muncul pada saat ia tidak lagi membosankan.
Makna fizikal terbitan
Diterangkan sebelum ini dengan jelas menunjukkan bahawa derivatif pada asasnya ialah kadar perubahan fungsi. Penghalusan ini mengandungi makna fizikalnya. Titik melampau ialah kawasan kritikal pada carta. Anda boleh mengetahui dan mengesannya dengan mengira nilai terbitan, yang ternyata sama dengan sifar.
Ada satu lagi tanda, yang merupakan syarat yang mencukupi untuk ekstrem. Derivatif di tempat infleksi sedemikian menukar tandanya: daripada "+" kepada "-" dalam kawasan maksimum dan daripada "-" kepada "+" dalam rantau minimum.
Pergerakan di bawah pengaruh graviti
Mari bayangkan situasi lain. Kanak-kanak, bermain bola, melemparkannya sedemikian rupa sehingga ia mula bergerak pada sudut ke ufuk. Pada saat awal, kelajuan objek ini adalah yang terbesar, tetapi di bawah pengaruh graviti ia mula berkurangan, dan dengan setiap saat dengan nilai yang sama, bersamaan dengan kira-kira 9.8 m/s2. Ini adalah nilai pecutan yang berlaku di bawah pengaruh graviti bumi semasa jatuh bebas. Di Bulan, ia akan menjadi kira-kira enam kali lebih kecil.
Graf yang menerangkan pergerakan badan ialah parabola dengan cabang,ke bawah. Bagaimana untuk mencari titik ekstrem? Dalam kes ini, ini ialah puncak fungsi, di mana kelajuan badan (bola) mengambil nilai sifar. Terbitan fungsi menjadi sifar. Dalam kes ini, arah, dan oleh itu nilai kelajuan, berubah kepada sebaliknya. Badan terbang ke bawah dengan setiap saat lebih pantas dan lebih pantas, dan memecut dengan jumlah yang sama - 9.8 m/s2.
Terbitan kedua
Dalam kes sebelumnya, graf modulus halaju dilukis sebagai garis lurus. Baris ini mula-mula diarahkan ke bawah, memandangkan nilai kuantiti ini sentiasa berkurangan. Setelah mencapai sifar pada salah satu titik dalam masa, maka penunjuk nilai ini mula meningkat, dan arah perwakilan grafik modul kelajuan berubah secara dramatik. Garisan kini menghala ke atas.
Halaju, sebagai terbitan masa bagi koordinat, juga mempunyai titik kritikal. Di rantau ini, fungsi, pada mulanya berkurangan, mula meningkat. Ini ialah tempat titik ekstrem terbitan fungsi. Dalam kes ini, cerun tangen menjadi sifar. Dan pecutan, sebagai terbitan kedua koordinat berkenaan dengan masa, menukar tanda daripada "-" kepada "+". Dan pergerakan dari seragam perlahan menjadi seragam dipercepatkan.
Carta pecutan
Sekarang pertimbangkan empat gambar. Setiap daripadanya memaparkan graf perubahan sepanjang masa bagi kuantiti fizik seperti pecutan. Dalam kes "A", nilainya kekal positif dan malar. Ini bermakna kelajuan badan, seperti koordinatnya, sentiasa meningkat. Sekiranyabayangkan bahawa objek akan bergerak dengan cara ini untuk masa yang tidak terhingga, fungsi yang mencerminkan pergantungan koordinat pada masa akan berubah menjadi sentiasa meningkat. Ia berikutan daripada ini bahawa ia tidak mempunyai kawasan kritikal. Juga tiada titik ekstrem pada graf terbitan, iaitu kelajuan berubah secara linear.
Perkara yang sama berlaku untuk kes "B" dengan pecutan positif dan sentiasa meningkat. Benar, plot untuk koordinat dan kelajuan akan menjadi lebih rumit di sini.
Apabila pecutan cenderung kepada sifar
Melihat gambar "B", anda boleh melihat gambar yang sama sekali berbeza yang mencirikan pergerakan badan. Kelajuannya akan digambarkan secara grafik sebagai parabola dengan cabang mengarah ke bawah. Jika kita meneruskan garis yang menerangkan perubahan dalam pecutan sehingga ia bersilang dengan paksi OX, dan seterusnya, maka kita boleh bayangkan bahawa sehingga nilai kritikal ini, di mana pecutan ternyata sama dengan sifar, kelajuan objek akan meningkat. semakin perlahan. Titik ekstrem terbitan fungsi koordinat akan berada di bahagian atas parabola, selepas itu badan akan mengubah secara radikal sifat pergerakan dan mula bergerak ke arah lain.
Dalam kes kedua, "G", sifat pergerakan tidak dapat ditentukan dengan tepat. Di sini kita hanya tahu bahawa tiada pecutan untuk beberapa tempoh yang sedang dipertimbangkan. Ini bermakna objek boleh kekal di tempatnya atau pergerakan berlaku pada kelajuan tetap.
Selaraskan tugas tambahan
Mari kita beralih kepada tugasan yang sering ditemui dalam pengajian algebra di sekolah dan ditawarkan untukpersediaan menghadapi peperiksaan. Rajah di bawah menunjukkan graf bagi fungsi tersebut. Ia diperlukan untuk mengira jumlah mata ekstrem.
Mari kita lakukan ini untuk paksi-y dengan menentukan koordinat kawasan kritikal di mana perubahan dalam ciri fungsi diperhatikan. Ringkasnya, kita dapati nilai di sepanjang paksi-x untuk titik infleksi, dan kemudian teruskan untuk menambah istilah yang terhasil. Menurut graf, adalah jelas bahawa mereka mengambil nilai berikut: -8; -7; -5; -3; -2; satu; 3. Ini menambah sehingga -21, iaitu jawapannya.
Penyelesaian optimum
Tidak perlu menjelaskan betapa pentingnya pilihan penyelesaian optimum dalam pelaksanaan tugas praktikal. Lagipun, terdapat banyak cara untuk mencapai matlamat, dan jalan keluar terbaik, sebagai peraturan, hanya satu. Ini amat diperlukan, contohnya, semasa mereka bentuk kapal, kapal angkasa dan pesawat, struktur seni bina untuk mencari bentuk optimum objek buatan manusia ini.
Kelajuan kenderaan sebahagian besarnya bergantung pada pengecilan cekap rintangan yang mereka alami semasa bergerak melalui air dan udara, daripada beban berlebihan yang timbul di bawah pengaruh daya graviti dan banyak penunjuk lain. Kapal di laut memerlukan kualiti seperti kestabilan semasa ribut; untuk kapal sungai, draf minimum adalah penting. Apabila mengira reka bentuk optimum, titik ekstrem pada graf secara visual boleh memberikan idea penyelesaian terbaik kepada masalah yang kompleks. Tugas seperti ini selalunyadiselesaikan dalam ekonomi, dalam bidang ekonomi, dalam banyak situasi kehidupan lain.
Dari sejarah kuno
Masalah yang melampau diduduki walaupun orang bijak purba. Para saintis Yunani berjaya merungkai misteri kawasan dan isipadu melalui pengiraan matematik. Mereka adalah orang pertama yang memahami bahawa pada satah pelbagai rajah dengan perimeter yang sama, bulatan sentiasa mempunyai luas terbesar. Begitu juga, bola dikurniakan isipadu maksimum antara objek lain di angkasa dengan luas permukaan yang sama. Personaliti terkenal seperti Archimedes, Euclid, Aristotle, Apollonius menumpukan diri mereka untuk menyelesaikan masalah tersebut. Heron berjaya dengan sangat baik dalam mencari titik ekstrem, yang, setelah menggunakan pengiraan, membina peranti yang bijak. Ini termasuk mesin automatik yang bergerak melalui stim, pam dan turbin yang beroperasi pada prinsip yang sama.
Pembinaan Carthage
Ada legenda, plotnya berdasarkan penyelesaian salah satu masalah yang melampau. Hasil daripada pendekatan perniagaan yang ditunjukkan oleh puteri Phoenicia, yang berpaling kepada orang bijak untuk mendapatkan bantuan, adalah pembinaan Carthage. Plot tanah untuk bandar purba dan terkenal ini telah dipersembahkan kepada Dido (itulah nama pemerintah) oleh ketua salah satu puak Afrika. Kawasan peruntukan itu pada mulanya tidak kelihatan sangat besar, kerana mengikut kontrak ia mesti ditutup dengan kulit oxhide. Tetapi puteri memerintahkan tenteranya untuk memotongnya menjadi jalur nipis dan membuat tali pinggang daripadanya. Ternyata terlalu lama sehingga meliputi tapak,di mana seluruh bandar sesuai.
Asal-usul kalkulus
Dan sekarang mari kita beralih dari zaman purba ke era kemudian. Menariknya, pada abad ke-17, Kepler telah digesa untuk memahami asas analisis matematik dengan pertemuan dengan penjual wain. Peniaga itu sangat mahir dalam profesionnya sehingga dia boleh dengan mudah menentukan isipadu minuman di dalam tong dengan hanya menurunkan tourniquet besi ke dalamnya. Menggambarkan rasa ingin tahu itu, saintis terkenal itu berjaya menyelesaikan dilema ini untuk dirinya sendiri. Ternyata kooper yang mahir pada masa itu terbiasa membuat kapal sedemikian rupa sehingga pada ketinggian dan jejari tertentu lilitan cincin pengikat mereka akan mempunyai kapasiti maksimum.
Ini atas sebab Kepler untuk renungan selanjutnya. Bochars mencapai penyelesaian yang optimum melalui pencarian yang panjang, kesilapan dan percubaan baharu, mewariskan pengalaman mereka dari generasi ke generasi. Tetapi Kepler mahu mempercepatkan proses dan belajar cara melakukan perkara yang sama dalam masa yang singkat melalui pengiraan matematik. Semua perkembangannya, diambil oleh rakan sekerja, bertukar menjadi teorem Fermat dan Newton yang kini diketahui - Leibniz.
Masalah kawasan maksimum
Mari bayangkan kita mempunyai wayar dengan panjang 50 cm. Bagaimana cara membuat segi empat tepat daripadanya dengan luas yang paling besar?
Memulakan keputusan, seseorang harus meneruskan dari kebenaran yang mudah dan diketahui. Adalah jelas bahawa perimeter rajah kita ialah 50 cm. Ia juga terdiri daripada dua kali panjang kedua-dua belah. Ini bermakna, setelah menetapkan salah satu daripadanya sebagai "X", yang lain boleh dinyatakan sebagai (25 - X).
Dari sini kita dapatluas sama dengan X (25 - X). Ungkapan ini boleh diwakili sebagai fungsi yang mengambil banyak nilai. Penyelesaian masalah memerlukan mencari maksimum daripada mereka, yang bermakna anda harus mengetahui titik melampau.
Untuk melakukan ini, kami mencari terbitan pertama dan menyamakannya dengan sifar. Hasilnya ialah persamaan mudah: 25 - 2X=0.
Daripadanya kita mengetahui bahawa salah satu sisi X=12, 5.
Oleh itu, satu lagi: 25 – 12, 5=12, 5.
Ternyata penyelesaian kepada masalah adalah segi empat sama dengan sisi 12.5 cm.
Cara mencari kelajuan maksimum
Mari kita pertimbangkan satu lagi contoh. Bayangkan ada jasad yang pergerakan rectilinearnya digambarkan oleh persamaan S=- t3 + 9t2 – 24t – 8, di mana jarak dilalui dinyatakan dalam meter, dan masa dalam saat. Ia diperlukan untuk mencari kelajuan maksimum. Bagaimana hendak melakukannya? Dimuat turun cari kelajuan, iaitu terbitan pertama.
Kami mendapat persamaan: V=- 3t2 + 18t – 24. Sekarang, untuk menyelesaikan masalah, kita sekali lagi perlu mencari titik ekstrem. Ini mesti dilakukan dengan cara yang sama seperti dalam tugasan sebelumnya. Cari terbitan pertama bagi kelajuan dan samakannya dengan sifar.
Kita dapat: - 6t + 18=0. Maka t=3 s. Ini adalah masa apabila kelajuan badan mengambil nilai kritikal. Kami menggantikan data yang diperoleh ke dalam persamaan halaju dan mendapat: V=3 m/s.
Tetapi bagaimana untuk memahami bahawa ini adalah kelajuan maksimum, kerana titik kritikal sesuatu fungsi boleh menjadi nilai maksimum atau minimumnya? Untuk menyemak, anda perlu mencari keduaterbitan kelajuan. Ia dinyatakan sebagai nombor 6 dengan tanda tolak. Ini bermakna titik yang ditemui adalah maksimum. Dan dalam kes nilai positif terbitan kedua, akan ada minimum. Jadi, penyelesaian yang ditemui ternyata betul.
Tugas yang diberikan sebagai contoh hanyalah sebahagian daripada tugasan yang boleh diselesaikan dengan dapat mencari titik ekstrem sesuatu fungsi. Sebenarnya banyak lagi. Dan pengetahuan seperti itu membuka kemungkinan tanpa had untuk tamadun manusia.
