Saya fikir kita harus bermula dengan sejarah alat matematik yang begitu mulia seperti persamaan pembezaan. Seperti semua kalkulus pembezaan dan kamiran, persamaan ini dicipta oleh Newton pada akhir abad ke-17. Dia menganggap penemuannya ini sangat penting sehingga dia menyulitkan mesej itu, yang hari ini boleh diterjemahkan seperti ini: "Semua undang-undang alam diterangkan oleh persamaan pembezaan." Ini mungkin kelihatan seperti keterlaluan, tetapi ia benar. Mana-mana undang-undang fizik, kimia, biologi boleh diterangkan oleh persamaan ini.
Ahli Matematik Euler dan Lagrange memberi sumbangan besar kepada pembangunan dan penciptaan teori persamaan pembezaan. Sudah pada abad ke-18, mereka menemui dan membangunkan perkara yang sedang mereka pelajari sekarang dalam kursus senior universiti.
Pencapaian baharu dalam kajian persamaan pembezaan bermula berkat Henri Poincare. Beliau mencipta "teori kualitatif persamaan pembezaan", yang, dalam kombinasi dengan teori fungsi pembolehubah kompleks, memberikan sumbangan penting kepada asas topologi - sains ruang danhartanah.
Apakah persamaan pembezaan?
Ramai orang takut dengan satu frasa "persamaan pembezaan". Walau bagaimanapun, dalam artikel ini kami akan memperincikan keseluruhan intipati alat matematik yang sangat berguna ini, yang sebenarnya tidak begitu rumit seperti yang kelihatan dari namanya. Untuk mula bercakap tentang persamaan pembezaan tertib pertama, anda harus terlebih dahulu membiasakan diri dengan konsep asas yang sememangnya berkaitan dengan takrifan ini. Dan kita akan mulakan dengan pembezaan.
Perbezaan
Ramai yang tahu konsep ini dari sekolah. Walau bagaimanapun, mari kita lihat dengan lebih dekat. Bayangkan graf bagi suatu fungsi. Kita boleh meningkatkannya sehingga satu tahap sehingga mana-mana segmennya akan berbentuk garis lurus. Di atasnya kita mengambil dua mata yang hampir tidak terhingga antara satu sama lain. Perbezaan antara koordinat mereka (x atau y) akan menjadi nilai yang sangat kecil. Ia dipanggil pembezaan dan dilambangkan dengan tanda dy (berbeza daripada y) dan dx (berbeza daripada x). Adalah sangat penting untuk memahami bahawa pembezaan bukanlah nilai terhingga, dan ini adalah makna serta fungsi utamanya.
Dan sekarang kita perlu mempertimbangkan elemen seterusnya, yang akan berguna kepada kita dalam menerangkan konsep persamaan pembezaan. Ini ialah terbitan.
Derivatif
Kita semua mungkin pernah mendengar di sekolah dan konsep ini. Derivatif dikatakan sebagai kadar pertumbuhan atau penurunan fungsi. Namun, daripada definisi inibanyak yang menjadi tidak jelas. Mari cuba terangkan terbitan dari segi pembezaan. Mari kita kembali kepada segmen tak terhingga fungsi dengan dua titik yang berada pada jarak minimum antara satu sama lain. Tetapi walaupun untuk jarak ini, fungsi berjaya berubah dengan beberapa jumlah. Dan untuk menerangkan perubahan ini, mereka menghasilkan derivatif, yang sebaliknya boleh ditulis sebagai nisbah pembezaan: f(x)'=df/dx.
Kini adalah wajar mempertimbangkan sifat asas terbitan. Terdapat hanya tiga daripadanya:
- Terbitan jumlah atau perbezaan boleh diwakili sebagai jumlah atau perbezaan derivatif: (a+b)'=a'+b' dan (a-b)'=a'-b'.
- Sifat kedua berkaitan dengan pendaraban. Terbitan produk ialah hasil tambah hasil satu fungsi dan terbitan yang lain: (ab)'=a'b+ab'.
- Terbitan perbezaan boleh ditulis sebagai kesamaan berikut: (a/b)'=(a'b-ab')/b2.
Semua sifat ini berguna untuk mencari penyelesaian kepada persamaan pembezaan tertib pertama.
Terdapat juga terbitan separa. Katakan kita mempunyai fungsi z yang bergantung pada pembolehubah x dan y. Untuk mengira terbitan separa bagi fungsi ini, katakan, berkenaan dengan x, kita perlu mengambil pembolehubah y sebagai pemalar dan hanya membezakan.
Integral
Konsep penting lain ialah kamiran. Sebenarnya, ini adalah lawan langsung dari derivatif. Terdapat beberapa jenis kamiran, tetapi untuk menyelesaikan persamaan pembezaan termudah, kami memerlukan kamiran tak tentu yang paling remeh.
Jadi apakah kamiran? Katakan kita mempunyai sedikit pergantungan fdaripada x. Kami mengambil kamiran daripadanya dan mendapatkan fungsi F (x) (sering dipanggil antiterbitan), terbitan yang sama dengan fungsi asal. Oleh itu F(x)'=f(x). Ia juga berikutan daripada ini bahawa kamiran terbitan adalah sama dengan fungsi asal.
Apabila menyelesaikan persamaan pembezaan, adalah sangat penting untuk memahami maksud dan fungsi kamiran, kerana anda perlu mengambilnya dengan kerap untuk mencari penyelesaiannya.
Persamaan adalah berbeza bergantung pada sifatnya. Dalam bahagian seterusnya, kami akan mempertimbangkan jenis persamaan pembezaan tertib pertama, dan kemudian belajar cara menyelesaikannya.
Kelas persamaan pembezaan
"Diffury" dibahagikan mengikut susunan derivatif yang terlibat di dalamnya. Oleh itu, terdapat urutan pertama, kedua, ketiga dan lebih banyak lagi. Mereka juga boleh dibahagikan kepada beberapa kelas: terbitan biasa dan separa.
Dalam artikel ini kita akan mempertimbangkan persamaan pembezaan biasa bagi tertib pertama. Kami juga akan membincangkan contoh dan cara untuk menyelesaikannya dalam bahagian berikut. Kami akan mempertimbangkan hanya ODE, kerana ini adalah jenis persamaan yang paling biasa. Biasa dibahagikan kepada subspesies: dengan pembolehubah boleh dipisahkan, homogen dan heterogen. Seterusnya, anda akan belajar bagaimana ia berbeza antara satu sama lain, dan belajar cara menyelesaikannya.
Selain itu, persamaan ini boleh digabungkan, supaya selepas kita mendapat sistem persamaan pembezaan tertib pertama. Kami juga akan mempertimbangkan sistem sedemikian dan belajar cara menyelesaikannya.
Mengapa kami hanya mempertimbangkan pesanan pertama? Kerana anda perlu bermula dengan yang mudah, dan menerangkan semua yang berkaitan dengan pembezaanpersamaan, dalam satu artikel adalah mustahil.
Persamaan pemboleh ubah boleh dipisahkan
Ini mungkin persamaan pembezaan tertib pertama yang paling mudah. Ini termasuk contoh yang boleh ditulis seperti ini: y'=f(x)f(y). Untuk menyelesaikan persamaan ini, kita memerlukan formula untuk mewakili terbitan sebagai nisbah pembezaan: y'=dy/dx. Menggunakannya, kita mendapat persamaan berikut: dy/dx=f(x)f(y). Sekarang kita boleh beralih kepada kaedah untuk menyelesaikan contoh standard: kita akan membahagikan pembolehubah kepada bahagian, iaitu kita akan memindahkan segala-galanya dengan pembolehubah y ke bahagian di mana dy terletak, dan kita akan melakukan perkara yang sama dengan pembolehubah x. Kami memperoleh persamaan bentuk: dy/f(y)=f(x)dx, yang diselesaikan dengan mengambil kamiran kedua-dua bahagian. Jangan lupa tentang pemalar yang mesti ditetapkan selepas mengambil kamiran.
Penyelesaian kepada mana-mana "diffurans" ialah fungsi pergantungan x pada y (dalam kes kami) atau, jika terdapat keadaan berangka, maka jawapannya adalah dalam bentuk nombor. Mari analisa keseluruhan penyelesaian menggunakan contoh khusus:
y'=2ysin(x)
Alihkan pembolehubah ke arah yang berbeza:
dy/y=2sin(x)dx
Kini kami mengambil kamiran. Kesemuanya boleh didapati dalam jadual kamiran khas. Dan kami mendapat:
ln(y)=-2cos(x) + C
Jika perlu, kita boleh menyatakan "y" sebagai fungsi "x". Sekarang kita boleh mengatakan bahawa persamaan pembezaan kita diselesaikan jika tiada syarat diberikan. Satu syarat boleh diberikan, contohnya, y(n/2)=e. Kemudian kita hanya menggantikan nilai pembolehubah ini ke dalam penyelesaian dancari nilai pemalar. Dalam contoh kami, ia sama dengan 1.
Persamaan pembezaan homogen tertib pertama
Sekarang ke bahagian yang lebih sukar. Persamaan pembezaan homogen tertib pertama boleh ditulis dalam bentuk umum seperti berikut: y'=z(x, y). Perlu diingatkan bahawa fungsi betul dua pembolehubah adalah homogen, dan ia tidak boleh dibahagikan kepada dua kebergantungan: z pada x dan z pada y. Memeriksa sama ada persamaan itu homogen atau tidak agak mudah: kita membuat penggantian x=kx dan y=ky. Sekarang kita batalkan semua k. Jika semua huruf ini dikurangkan, maka persamaannya adalah homogen dan anda boleh meneruskan untuk menyelesaikannya dengan selamat. Memandang ke hadapan, katakan: prinsip menyelesaikan contoh ini juga sangat mudah.
Kita perlu membuat penggantian: y=t(x)x, dengan t ialah beberapa fungsi yang juga bergantung pada x. Kemudian kita boleh menyatakan terbitan: y'=t'(x)x+t. Menggantikan semua ini ke dalam persamaan asal kami dan memudahkannya, kami mendapat contoh dengan pembolehubah boleh dipisahkan t dan x. Kami menyelesaikannya dan mendapatkan pergantungan t(x). Apabila kami mendapatnya, kami hanya menggantikan y=t(x)x ke dalam penggantian kami yang terdahulu. Kemudian kita mendapat pergantungan y pada x.
Untuk menjadikannya lebih jelas, mari lihat contoh: xy'=y-xey/x.
Apabila menyemak dengan penggantian, semuanya berkurangan. Jadi persamaan itu benar-benar homogen. Sekarang kita membuat penggantian lain yang kita bincangkan: y=t(x)x dan y'=t'(x)x+t(x). Selepas dipermudahkan, kita mendapat persamaan berikut: t'(x)x=-et. Kami menyelesaikan contoh yang terhasil dengan pembolehubah yang dipisahkan dan dapatkan: e-t=ln(Cx). Kita hanya perlu menggantikan t dengan y/x (lagipun, jika y=tx, maka t=y/x), dan kita dapatjawapan: e-y/x=ln(xC).
Persamaan Pembezaan Linear Susunan Pertama
Sudah tiba masanya untuk topik besar yang lain. Kami akan menganalisis persamaan pembezaan tak homogen bagi susunan pertama. Bagaimanakah mereka berbeza daripada dua sebelumnya? Mari kita fikirkan. Persamaan pembezaan linear tertib pertama dalam bentuk umum boleh ditulis seperti berikut: y' + g(x)y=z(x). Perlu dijelaskan bahawa z(x) dan g(x) boleh menjadi pemalar.
Dan kini contoh: y' - yx=x2.
Terdapat dua cara untuk menyelesaikannya, dan kami akan menangani kedua-duanya mengikut urutan. Yang pertama ialah kaedah variasi pemalar arbitrari.
Untuk menyelesaikan persamaan dengan cara ini, anda mesti terlebih dahulu menyamakan bahagian kanan dengan sifar dan menyelesaikan persamaan yang terhasil, yang selepas memindahkan bahagian-bahagian itu akan mengambil bentuk:
y'=yx;
dy/dx=yx;
dy/y=xdx;
ln|y|=x2/2 + C;
y=ex2/2yC=C1ex2/2.
Kini kita perlu menggantikan pemalar C1 dengan fungsi v(x) yang perlu kita cari.
y=vex2/2.
Mari kita tukar derivatif:
y'=v'ex2/2-xvex2/2.
Dan gantikan ungkapan ini ke dalam persamaan asal:
v'ex2/2 - xvex2/2 + xvex2 /2 =x2.
Anda dapat melihat bahawa dua istilah dibatalkan di sebelah kiri. Jika dalam beberapa contoh ini tidak berlaku, maka anda melakukan sesuatu yang salah. Teruskan:
v'ex2/2 =x2.
Sekarang kita menyelesaikan persamaan biasa di mana kita perlu memisahkan pembolehubah:
dv/dx=x2/ex2/2;
dv=x2e-x2/2dx.
Untuk mengekstrak kamiran, kami perlu menggunakan penyepaduan mengikut bahagian di sini. Walau bagaimanapun, ini bukan topik artikel kami. Jika anda berminat, anda boleh belajar cara melakukan tindakan sedemikian sendiri. Ia tidak sukar, dan dengan kemahiran serta perhatian yang mencukupi tidak mengambil banyak masa.
Mari kita beralih kepada kaedah kedua untuk menyelesaikan persamaan tak homogen: kaedah Bernoulli. Pendekatan mana yang lebih pantas dan lebih mudah terpulang kepada anda.
Jadi, apabila menyelesaikan persamaan dengan kaedah ini, kita perlu membuat penggantian: y=kn. Di sini k dan n ialah beberapa fungsi yang bergantung kepada x. Kemudian terbitan akan kelihatan seperti ini: y'=k'n+kn'. Gantikan kedua-dua penggantian ke dalam persamaan:
k'n+kn'+xkn=x2.
Kumpulan:
k'n+k(n'+xn)=x2.
Kini kita perlu samakan dengan sifar apa yang ada dalam kurungan. Sekarang, jika anda menggabungkan dua persamaan yang terhasil, anda mendapat sistem persamaan pembezaan tertib pertama yang anda perlu selesaikan:
n'+xn=0;
k'n=x2.
Kesamaan pertama diselesaikan seperti persamaan biasa. Untuk melakukan ini, anda perlu memisahkan pembolehubah:
dn/dx=xv;
dn/n=xdx.
Ambil kamiran dan dapatkan: ln(n)=x2/2. Kemudian, jika kita menyatakan n:
n=ex2/2.
Sekarang kita menggantikan kesamaan yang terhasil ke dalam persamaan kedua sistem:
k'ex2/2=x2.
Dan mengubah, kita mendapat kesaksamaan yang sama seperti dalam kaedah pertama:
dk=x2/ex2/2.
Kami juga tidak akan pergi ke langkah selanjutnya. Perlu dikatakan bahawa pada mulanya penyelesaian persamaan pembezaan urutan pertama menyebabkan kesukaran yang ketara. Walau bagaimanapun, apabila anda menyelami topik ini dengan lebih mendalam, topik itu mula menjadi lebih baik dan lebih baik.
Di manakah persamaan pembezaan digunakan?
Persamaan pembezaan sangat aktif digunakan dalam fizik, kerana hampir semua hukum asas ditulis dalam bentuk pembezaan, dan formula yang kita lihat adalah penyelesaian persamaan ini. Dalam kimia, ia digunakan untuk alasan yang sama: undang-undang asas diperoleh daripadanya. Dalam biologi, persamaan pembezaan digunakan untuk memodelkan tingkah laku sistem, seperti mangsa-pemangsa. Ia juga boleh digunakan untuk mencipta model pembiakan, katakan, koloni mikroorganisma.
Bagaimanakah persamaan pembezaan akan membantu dalam kehidupan?
Jawapan untuk soalan ini adalah mudah: tidak mungkin. Jika anda bukan seorang saintis atau jurutera, maka mereka tidak mungkin berguna kepada anda. Walau bagaimanapun, untuk pembangunan umum, tidak ada salahnya untuk mengetahui apakah persamaan pembezaan dan bagaimana ia diselesaikan. Dan kemudian soalan anak lelaki atau perempuan "apakah persamaan pembezaan?" tidak akan mengelirukan anda. Nah, jika anda seorang saintis atau jurutera, maka anda sendiri memahami kepentingan topik ini dalam mana-mana sains. Tetapi perkara yang paling penting ialah sekarang soalan "bagaimana untuk menyelesaikan persamaan pembezaan tertib pertama?" anda sentiasa boleh menjawab. Setuju, ia sentiasa bagusapabila anda memahami perkara yang orang takut faham.
Masalah pembelajaran utama
Masalah utama dalam memahami topik ini ialah kemahiran yang lemah dalam menyepadukan dan membezakan fungsi. Jika anda mahir dalam mengambil terbitan dan kamiran, maka anda mungkin perlu mempelajari lebih lanjut, menguasai kaedah penyepaduan dan pembezaan yang berbeza, dan kemudian mula mengkaji bahan yang diterangkan dalam artikel.
Sesetengah orang terkejut apabila mengetahui bahawa dx boleh dipindahkan, kerana sebelum ini (di sekolah) telah dinyatakan bahawa pecahan dy/dx tidak boleh dibahagikan. Di sini anda perlu membaca literatur tentang terbitan dan memahami bahawa nisbah kuantiti tak terhingga yang boleh dimanipulasi semasa menyelesaikan persamaan.
Ramai yang tidak segera menyedari bahawa penyelesaian persamaan pembezaan tertib pertama selalunya merupakan fungsi atau kamiran yang tidak boleh diambil, dan khayalan ini memberi mereka banyak masalah.
Apa lagi yang boleh dipelajari untuk pemahaman yang lebih baik?
Adalah yang terbaik untuk memulakan lebih mendalam dalam dunia kalkulus pembezaan dengan buku teks khusus, contohnya, dalam kalkulus untuk pelajar kepakaran bukan matematik. Kemudian anda boleh beralih kepada kesusasteraan yang lebih khusus.
Perlu dikatakan bahawa, sebagai tambahan kepada persamaan pembezaan, terdapat juga persamaan kamiran, jadi anda akan sentiasa mempunyai sesuatu untuk diusahakan dan sesuatu untuk dipelajari.
Kesimpulan
Kami berharap selepas membacaArtikel ini memberi anda idea tentang persamaan pembezaan dan cara menyelesaikannya dengan betul.
Walau bagaimanapun, matematik entah bagaimana berguna kepada kita dalam kehidupan. Ia mengembangkan logik dan perhatian, tanpanya setiap orang seperti tanpa tangan.
