Salah satu topik matematik universiti yang paling sukar dan tidak dapat difahami ialah penyepaduan dan kalkulus pembezaan. Anda perlu mengetahui dan memahami konsep ini, serta boleh mengaplikasikannya. Banyak disiplin teknikal universiti terikat dengan pembezaan dan kamiran.
Maklumat ringkas tentang persamaan
Persamaan ini merupakan salah satu konsep matematik yang paling penting dalam sistem pendidikan. Persamaan pembezaan ialah persamaan yang mengaitkan pembolehubah bebas, fungsi yang akan ditemui, dan terbitan fungsi itu dengan pembolehubah yang diandaikan bebas. Kalkulus pembezaan untuk mencari fungsi satu pembolehubah dipanggil biasa. Jika fungsi yang diingini bergantung pada beberapa pembolehubah, maka seseorang bercakap tentang persamaan pembezaan separa.
Malah, mencari jawapan tertentu kepada persamaan itu merujuk kepada penyepaduan, dan kaedah penyelesaian ditentukan oleh jenis persamaan.
Persamaan tertib pertama
Persamaan pembezaan tertib pertama ialah persamaan yang boleh menerangkan pembolehubah, fungsi yang diingini dan terbitan pertamanya. Persamaan sedemikian boleh diberikan dalam tiga bentuk: eksplisit, implisit, pembezaan.
Konsep yang diperlukan untuk menyelesaikan
Keadaan awal - menetapkan nilai fungsi yang diingini untuk nilai tertentu pembolehubah yang bebas.
Penyelesaian persamaan pembezaan - sebarang fungsi yang boleh dibezakan, digantikan dengan tepat ke dalam persamaan asal, mengubahnya menjadi sama yang sama. Penyelesaian yang diperolehi, yang tidak jelas, ialah kamiran persamaan.
Penyelesaian umum persamaan pembezaan ialah fungsi y=y(x;C), yang boleh memenuhi pertimbangan berikut:
- Fungsi hanya boleh mempunyai satu pemalar arbitrari С.
- Fungsi yang terhasil mestilah penyelesaian kepada persamaan untuk sebarang nilai arbitrari pemalar arbitrari.
- Dengan keadaan awal yang diberikan, pemalar arbitrari boleh ditakrifkan dengan cara yang unik supaya penyelesaian tertentu yang terhasil akan konsisten dengan keadaan awal awal yang diberikan.
Dalam amalan, masalah Cauchy sering digunakan - mencari penyelesaian yang khusus dan boleh dibandingkan dengan syarat yang ditetapkan pada permulaan.
Teorem Cauchy ialah teorem yang menekankan kewujudan dan keunikan penyelesaian tertentu dalam kalkulus pembezaan.
Deria geometri:
- Penyelesaian am y=y(x;C)persamaan ialah jumlah bilangan lengkung kamiran.
- Kalkulus pembezaan membolehkan anda menyambungkan koordinat titik dalam satah XOY dan tangen yang dilukis ke lengkung kamiran.
- Menetapkan keadaan awal bermakna menetapkan titik pada satah.
- Untuk menyelesaikan masalah Cauchy bermakna daripada keseluruhan set lengkung kamiran yang mewakili penyelesaian persamaan yang sama, adalah perlu untuk memilih satu-satunya yang melalui satu-satunya titik yang mungkin.
- Pemenuhan syarat teorem Cauchy pada satu titik bermakna lengkung kamiran (selain itu, hanya satu) semestinya melalui titik yang dipilih dalam satah.
Persamaan pemboleh ubah boleh dipisahkan
Mengikut takrifan, persamaan pembezaan ialah persamaan di mana bahagian kanannya menerangkan atau dicerminkan sebagai hasil darab (kadangkala nisbah) dua fungsi, satu hanya bergantung pada "x", dan satu lagi - hanya pada "y ". Contoh yang jelas untuk jenis ini: y'=f1(x)f2(y).
Untuk menyelesaikan persamaan bentuk tertentu, anda mesti menukar terbitan y'=dy/dx dahulu. Kemudian, dengan memanipulasi persamaan, anda perlu membawanya ke bentuk di mana anda boleh menyepadukan dua bahagian persamaan. Selepas transformasi yang diperlukan, kami menyepadukan kedua-dua bahagian dan memudahkan hasilnya.
Persamaan homogen
Mengikut takrifan, persamaan pembezaan boleh dipanggil homogen jika ia mempunyai bentuk berikut: y'=g(y/x).
Dalam kes ini, penggantian y/x=paling kerap digunakant(x).
Untuk menyelesaikan persamaan tersebut, adalah perlu untuk mengurangkan persamaan homogen kepada bentuk dengan pembolehubah boleh dipisahkan. Untuk melakukan ini, anda mesti melakukan operasi berikut:
- Paparkan, menyatakan terbitan fungsi asal, daripada mana-mana fungsi asal sebagai persamaan baharu.
- Langkah seterusnya ialah mengubah fungsi yang terhasil ke dalam bentuk f(x;y)=g(y/x). Dalam perkataan yang lebih mudah, jadikan persamaan hanya mengandungi nisbah y/x dan pemalar.
- Buat penggantian berikut: y/x=t(x); y=t(x)x; y'=t'x + t. Penggantian yang dibuat akan membantu membahagikan pembolehubah dalam persamaan, secara beransur-ansur membawanya kepada bentuk yang lebih mudah.
Persamaan linear
Takrifan persamaan tersebut adalah seperti berikut: persamaan pembezaan linear ialah persamaan di mana bahagian kanannya dinyatakan sebagai ungkapan linear berkenaan dengan fungsi asal. Fungsi yang diingini dalam kes ini: y'=a(x)y + b(x).
Mari kita frasa semula definisi seperti berikut: mana-mana persamaan tertib pertama akan menjadi linear dalam bentuknya jika fungsi asal dan terbitannya dimasukkan dalam persamaan darjah pertama dan tidak didarab dengan satu sama lain. "Bentuk klasik" bagi persamaan pembezaan linear mempunyai struktur berikut: y' + P(x)y=Q(x).
Sebelum menyelesaikan persamaan sedemikian, ia hendaklah ditukar kepada "bentuk klasik". Langkah seterusnya ialah pilihan kaedah penyelesaian: kaedah Bernoulli atau kaedah Lagrange.
Menyelesaikan persamaan denganmenggunakan kaedah yang diperkenalkan oleh Bernoulli, membayangkan penggantian dan pengurangan persamaan pembezaan linear kepada dua persamaan dengan pembolehubah berasingan berbanding dengan fungsi U(x) dan V(x), yang diberikan dalam bentuk asalnya.
Kaedah Lagrange ialah mencari penyelesaian umum kepada persamaan asal.
- Adalah perlu untuk mencari penyelesaian yang sama bagi persamaan homogen. Selepas mencari, kita mempunyai fungsi y=y(x, C), di mana C ialah pemalar arbitrari.
- Kami sedang mencari penyelesaian kepada persamaan asal dalam bentuk yang sama, tetapi kami menganggap C=C(x). Kami menggantikan fungsi y=y(x, C(x)) ke dalam persamaan asal, cari fungsi C(x) dan tuliskan penyelesaian bagi persamaan asal am.
Persamaan Bernoulli
Persamaan Bernoulli - jika bahagian kanan kalkulus mengambil bentuk f(x;y)=a(x)y + b(x)yk, dengan k ialah sebarang nilai berangka rasional yang mungkin, bukan mengambil sebagai contoh kes apabila k=0 dan k=1.
Jika k=1, maka kalkulus menjadi boleh dipisahkan, dan apabila k=0, persamaan kekal linear.
Mari kita pertimbangkan kes umum untuk menyelesaikan persamaan jenis ini. Kami mempunyai persamaan Bernoulli piawai. Ia mesti dikurangkan kepada satu linear, untuk ini anda perlu membahagikan persamaan dengan yk. Selepas operasi ini, gantikan z(x)=y1-k. Selepas satu siri transformasi, persamaan akan dikurangkan kepada satu linear, selalunya dengan kaedah penggantian z=UV.
Persamaan dalam jumlah pembezaan
Definisi. Persamaan dengan struktur P(x;y)dx + Q(x;y)dy=0 dipanggil persamaan sepenuhnyapembezaan, jika syarat berikut dipenuhi (dalam keadaan ini, "d" ialah pembezaan separa): dP(x;y)/dy=dQ(x;y)/dx.
Semua persamaan pembezaan tertib pertama yang dipertimbangkan sebelum ini boleh dipaparkan sebagai pembezaan.
Pengiraan sedemikian diselesaikan dalam beberapa cara. Tetapi, bagaimanapun, semuanya bermula dengan pemeriksaan keadaan. Jika keadaan itu dipenuhi, maka kawasan paling kiri bagi persamaan ialah jumlah pembezaan bagi fungsi yang belum diketahui U(x;y). Kemudian, selaras dengan persamaan, dU (x; y) akan sama dengan sifar, dan oleh itu kamiran persamaan yang sama dalam jumlah pembezaan akan dipaparkan dalam bentuk U (x; y) u003d C. Oleh itu, penyelesaian persamaan dikurangkan kepada mencari fungsi U (x; y).
Faktor penyepaduan
Jika keadaan dP(x;y)/dy=dQ(x;y)/dx tidak dipenuhi dalam persamaan, maka persamaan itu tidak mempunyai bentuk yang kami pertimbangkan di atas. Tetapi kadangkala adalah mungkin untuk memilih beberapa fungsi M(x;y), apabila didarab dengan mana persamaan itu mengambil bentuk persamaan dalam "berbeza" penuh. Fungsi M (x;y) dirujuk sebagai faktor penyepaduan.
Sepadu hanya boleh ditemui apabila ia menjadi fungsi hanya satu pembolehubah.
