Matematik berasal dari Antikuiti. Terima kasih kepadanya, seni bina, pembinaan dan sains ketenteraan memberikan pusingan pembangunan baru, pencapaian yang diperoleh dengan bantuan matematik membawa kepada pergerakan kemajuan. Sehingga hari ini, matematik kekal sebagai sains utama yang terdapat dalam semua cabang lain.
Untuk dididik, kanak-kanak dari darjah satu mula beransur-ansur bergabung ke dalam persekitaran ini. Adalah sangat penting untuk memahami matematik, kerana ia, pada satu tahap atau yang lain, berlaku kepada setiap orang sepanjang hidupnya. Artikel ini akan menganalisis salah satu elemen utama - mencari dan menggunakan derivatif. Tidak semua orang dapat membayangkan betapa meluasnya konsep ini digunakan. Pertimbangkan lebih daripada 10 aplikasi derivatif dalam bidang atau sains tertentu.
Aplikasi terbitan kepada kajian fungsi
Terbitan ialah had sedemikiannisbah pertambahan fungsi kepada pertambahan hujahnya apabila eksponen hujah cenderung kepada sifar. Derivatif adalah perkara yang sangat diperlukan dalam kajian fungsi. Sebagai contoh, ia boleh digunakan untuk menentukan peningkatan dan penurunan yang terakhir, ekstrem, cembung dan lekuk. Kalkulus pembezaan dimasukkan dalam kurikulum wajib untuk pelajar tahun 1 dan 2 universiti matematik.
Skop dan fungsi sifar
Peringkat pertama mana-mana kajian graf bermula dengan mengetahui domain definisi, dalam kes yang lebih jarang berlaku - nilai. Domain definisi ditetapkan di sepanjang paksi abscissa, dengan kata lain, ini adalah nilai berangka pada paksi OX. Selalunya skop sudah ditetapkan, tetapi jika tidak, maka nilai argumen x harus dinilai. Katakan, jika untuk beberapa nilai hujah fungsi itu tidak masuk akal, maka hujah ini dikecualikan daripada skop.
Sifar fungsi ditemui dengan cara yang mudah: fungsi f(x) hendaklah disamakan dengan sifar dan persamaan yang terhasil hendaklah diselesaikan berkenaan dengan satu pembolehubah x. Punca-punca persamaan yang diperolehi ialah sifar bagi fungsi, iaitu, dalam x ini fungsinya ialah 0.
Naik dan kurangkan
Penggunaan derivatif untuk mengkaji fungsi untuk monotonisitas boleh dipertimbangkan dari dua kedudukan. Fungsi monotonik ialah kategori yang hanya mempunyai nilai positif terbitan, atau hanya nilai negatif. Dengan kata mudah, fungsi hanya meningkat atau hanya berkurangan sepanjang keseluruhan selang dalam kajian:
- Tingkatkan parameter. Fungsif(x) akan meningkat jika terbitan f`(x) lebih besar daripada sifar.
- Parameter menurun. Fungsi f(x) akan berkurangan jika terbitan f`(x) kurang daripada sifar.
Tangen dan Cerun
Aplikasi derivatif untuk mengkaji fungsi juga ditentukan oleh tangen (garis lurus yang diarahkan pada sudut) kepada graf fungsi pada titik tertentu. Tangen pada satu titik (x0) - garisan yang melalui titik dan tergolong dalam fungsi yang koordinatnya adalah (x0, f(x 0 )) dan mempunyai cerun f`(x0).
y=f(x0) + f`(x0)(x - x0) - persamaan tangen kepada titik yang diberikan bagi graf fungsi.
Makna geometri bagi terbitan: terbitan bagi fungsi f(x) adalah sama dengan kecerunan tangen yang terbentuk kepada graf fungsi ini pada titik x tertentu. Pekali sudut pula adalah sama dengan tangen sudut kecondongan tangen kepada paksi OX (abscissa) dalam arah positif. Akibat ini adalah asas kepada penggunaan derivatif pada graf fungsi.
Mata melampau
Menggunakan derivatif pada kajian melibatkan pencarian mata tinggi dan rendah.
Untuk mencari dan menentukan mata minimum dan maksimum, anda mesti:
- Cari terbitan bagi fungsi f(x).
- Tetapkan persamaan yang terhasil kepada sifar.
- Cari punca-punca persamaan.
- Cari mata tinggi dan rendah.
Untuk mencari keterlaluanciri:
- Cari mata minimum dan maksimum menggunakan kaedah di atas.
- Gantikan titik ini ke dalam persamaan asal dan hitung ymaks dan ymin
Titik maksimum fungsi ialah nilai terbesar bagi fungsi f(x) pada selang, dengan kata lain xmaks.
Titik minimum fungsi ialah nilai terkecil bagi fungsi f(x) pada selang, dengan kata lain xnama
Mata ekstrem adalah sama dengan mata maksimum dan minimum, dan ekstrem fungsi (ymaks. dan yminimum) - nilai fungsi yang sepadan dengan titik ekstrem.
Kecembungan dan lekuk
Anda boleh menentukan cembung dan cekung dengan menggunakan penggunaan terbitan untuk memplot:
- Fungsi f(x) yang diperiksa pada selang (a, b) adalah cekung jika fungsi itu terletak di bawah semua tangennya dalam selang ini.
- Fungsi f(x) yang dikaji pada selang (a, b) adalah cembung jika fungsi itu terletak di atas semua tangennya di dalam selang ini.
Titik yang memisahkan cembung dan cekung dipanggil titik infleksi fungsi.
Untuk mencari titik bengkok:
- Cari titik kritikal jenis kedua (derivatif kedua).
- Titik bengkok ialah titik kritikal yang memisahkan dua tanda bertentangan.
- Kira nilai fungsi pada titik infleksi fungsi.
Derivatif separa
Permohonanterdapat derivatif jenis ini dalam masalah di mana lebih daripada satu pembolehubah yang tidak diketahui digunakan. Selalunya, derivatif sedemikian ditemui semasa memplot graf fungsi, lebih tepat lagi, permukaan dalam ruang, di mana bukannya dua paksi terdapat tiga, oleh itu, tiga kuantiti (dua pembolehubah dan satu pemalar).
Peraturan asas semasa mengira terbitan separa ialah memilih satu pembolehubah dan menganggap selebihnya sebagai pemalar. Oleh itu, apabila mengira terbitan separa, pemalar menjadi seolah-olah nilai berangka (dalam banyak jadual derivatif, ia ditandakan sebagai C=const). Maksud terbitan tersebut ialah kadar perubahan fungsi z=f(x, y) di sepanjang paksi OX dan OY, iaitu, ia mencirikan kecuraman lekukan dan bonjolan permukaan yang dibina.
Terbitan dalam fizik
Penggunaan terbitan dalam fizik adalah meluas dan penting. Makna fizikal: terbitan laluan berkenaan dengan masa ialah kelajuan, dan pecutan ialah terbitan kelajuan berkenaan dengan masa. Daripada makna fizikal, banyak cabang boleh ditarik ke pelbagai cabang fizik, sambil mengekalkan sepenuhnya makna terbitan.
Dengan bantuan derivatif, nilai berikut ditemui:
- Kelajuan dalam kinematik, di mana terbitan jarak yang dilalui dikira. Jika terbitan kedua laluan atau terbitan pertama kelajuan ditemui, maka pecutan jasad ditemui. Di samping itu, adalah mungkin untuk mencari halaju serta-merta bagi titik bahan, tetapi untuk ini adalah perlu untuk mengetahui kenaikan ∆t dan ∆r.
- Dalam elektrodinamik:pengiraan kekuatan serta-merta arus ulang-alik, serta EMF aruhan elektromagnet. Dengan mengira derivatif, anda boleh mencari kuasa maksimum. Terbitan jumlah cas elektrik ialah kekuatan arus dalam konduktor.
Terbitan dalam kimia dan biologi
Kimia: Derivatif digunakan untuk menentukan kadar tindak balas kimia. Maksud kimia terbitan: fungsi p=p(t), dalam kes ini p ialah jumlah bahan yang memasuki tindak balas kimia dalam masa t. ∆t - kenaikan masa, ∆p - kenaikan kuantiti bahan. Had nisbah ∆p kepada ∆t, di mana ∆t cenderung kepada sifar, dipanggil kadar tindak balas kimia. Nilai purata tindak balas kimia ialah nisbah ∆p/∆t. Apabila menentukan kelajuan, adalah perlu untuk mengetahui dengan tepat semua parameter, keadaan yang diperlukan, untuk mengetahui keadaan agregat bahan dan medium aliran. Ini adalah aspek yang agak besar dalam kimia, yang digunakan secara meluas dalam pelbagai industri dan aktiviti manusia.
Biologi: konsep terbitan digunakan untuk mengira purata kadar pembiakan. Makna biologi: kita mempunyai fungsi y=x(t). ∆t - kenaikan masa. Kemudian, dengan bantuan beberapa transformasi, kita memperoleh fungsi y`=P(t)=x`(t) - aktiviti penting populasi masa t (kadar pembiakan purata). Penggunaan derivatif ini membolehkan anda menyimpan statistik, menjejaki kadar pembiakan dan sebagainya.
Terbitan dalam geografi dan ekonomi
Derivatif membolehkan ahli geografi membuat keputusantugas seperti mencari populasi, mengira nilai dalam seismografi, mengira radioaktiviti penunjuk geofizik nuklear, mengira interpolasi.
Dalam ekonomi, bahagian penting pengiraan ialah kalkulus pembezaan dan pengiraan terbitan. Pertama sekali, ini membolehkan kita menentukan had nilai ekonomi yang diperlukan. Sebagai contoh, produktiviti buruh tertinggi dan terendah, kos, keuntungan. Pada asasnya, nilai ini dikira daripada graf fungsi, di mana mereka mendapati keterlaluan, menentukan monotonisitas fungsi dalam kawasan yang dikehendaki.
Kesimpulan
Peranan kalkulus pembezaan ini terlibat, seperti yang dinyatakan dalam artikel, dalam pelbagai struktur saintifik. Penggunaan fungsi terbitan merupakan elemen penting dalam bahagian praktikal sains dan pengeluaran. Bukan sia-sia kami diajar di sekolah menengah dan universiti untuk membina graf yang kompleks, meneroka dan mengusahakan fungsi. Seperti yang anda lihat, tanpa derivatif dan pengiraan pembezaan, adalah mustahil untuk mengira penunjuk dan kuantiti penting. Manusia telah belajar untuk memodelkan pelbagai proses dan menerokanya, untuk menyelesaikan masalah matematik yang kompleks. Sesungguhnya, matematik adalah ratu kepada semua sains, kerana sains ini mendasari semua disiplin semula jadi dan teknikal yang lain.
