Matriks: Kaedah Gauss. Pengiraan Matriks Gauss: Contoh

2024 Pengarang: Angel Austin | [email protected]. Diubah suai terakhir: 2023-12-17 05:36

Algebra linear, yang diajar di universiti dalam pelbagai kepakaran, menggabungkan banyak topik yang kompleks. Sebahagian daripadanya berkaitan dengan matriks, serta penyelesaian sistem persamaan linear dengan kaedah Gauss dan Gauss-Jordan. Tidak semua pelajar berjaya memahami topik ini, algoritma untuk menyelesaikan pelbagai masalah. Mari kita fahami bersama matriks dan kaedah Gauss dan Gauss-Jordan.

Konsep asas

Matriks dalam algebra linear ialah susunan segi empat tepat bagi unsur (jadual). Di bawah ialah set elemen yang disertakan dalam kurungan. Ini adalah matriks. Daripada contoh di atas, dapat dilihat bahawa unsur-unsur dalam tatasusunan segi empat tepat bukan sahaja nombor. Matriks boleh terdiri daripada fungsi matematik, simbol algebra.

Untuk memahami beberapa konsep, mari kita buat matriks A daripada unsur a_ij. Indeks bukan sekadar huruf: i ialah nombor baris dalam jadual, dan j ialah nombor lajur, dalam kawasan persimpangan di mana unsur itu terletak.a_ij. Jadi, kita melihat bahawa kita mempunyai matriks elemen seperti a₁₁, a₂₁, a₁₂, a ₂₂ dan seterusnya. Huruf n menandakan bilangan lajur dan huruf m menandakan bilangan baris. Simbol m × n menandakan dimensi matriks. Ini ialah konsep yang mentakrifkan bilangan baris dan lajur dalam tatasusunan unsur segi empat tepat.

Secara pilihan, matriks mesti mempunyai beberapa lajur dan baris. Dengan dimensi 1 × n, tatasusunan elemen adalah baris tunggal, dan dengan dimensi m × 1, ia adalah tatasusunan lajur tunggal. Apabila bilangan baris dan bilangan lajur adalah sama, matriks dipanggil segi empat sama. Setiap matriks segi empat sama mempunyai penentu (det A). Istilah ini merujuk kepada nombor yang diberikan kepada matriks A.

Beberapa lagi konsep penting untuk diingat untuk berjaya menyelesaikan matriks ialah pepenjuru utama dan sekunder. pepenjuru utama matriks ialah pepenjuru yang turun ke sudut kanan meja dari sudut kiri atas. Diagonal sisi pergi ke sudut kanan ke atas dari sudut kiri dari bawah.

Paparan matriks berlangkah

Lihat gambar di bawah. Di atasnya anda akan melihat matriks dan gambar rajah. Mari kita berurusan dengan matriks dahulu. Dalam algebra linear, matriks jenis ini dipanggil matriks langkah. Ia mempunyai satu sifat: jika a_ij ialah elemen bukan sifar pertama dalam baris ke-i, maka semua elemen lain dari matriks di bawah dan di sebelah kiri a_ij , adalah batal (iaitu, semua elemen yang boleh diberi sebutan huruf a_kl, di mana k>i danl<j).

Sekarang pertimbangkan rajah. Ia mencerminkan bentuk berperingkat matriks. Skim menunjukkan 3 jenis sel. Setiap jenis menandakan elemen tertentu:

sel kosong - sifar elemen matriks;
sel berlorek ialah unsur arbitrari yang boleh menjadi sifar dan bukan sifar;
segi empat sama hitam ialah unsur bukan sifar, yang dipanggil elemen sudut, “langkah” (dalam matriks yang ditunjukkan di sebelahnya, unsur tersebut ialah nombor –1, 5, 3, 8).

Apabila menyelesaikan matriks, kadangkala hasilnya ialah "panjang" langkah lebih besar daripada 1. Ini dibenarkan. Hanya "ketinggian" anak tangga yang penting. Dalam matriks langkah, parameter ini mesti sentiasa sama dengan satu.

Pengurangan matriks kepada bentuk langkah

Mana-mana matriks segi empat tepat boleh ditukar kepada bentuk bertingkat. Ini dilakukan melalui transformasi asas. Ia termasuk:

menyusun semula rentetan;
Menambah baris lain pada satu baris, jika perlu didarab dengan beberapa nombor (anda juga boleh melakukan operasi tolak).

Mari kita pertimbangkan transformasi asas dalam menyelesaikan masalah tertentu. Rajah di bawah menunjukkan matriks A, yang perlu dikurangkan kepada bentuk berperingkat.

Masalah mengurangkan matriks kepada bentuk berperingkat

Untuk menyelesaikan masalah, kami akan mengikuti algoritma:

Adalah mudah untuk melakukan transformasi pada matriks denganelemen pertama di penjuru kiri sebelah atas (iaitu, elemen "terkemuka") ialah 1 atau -1. Dalam kes kita, elemen pertama dalam baris atas ialah 2, jadi mari kita tukar baris pertama dan kedua.
Mari kita laksanakan operasi tolak, mempengaruhi baris 2, 3 dan 4. Kita seharusnya mendapat sifar dalam lajur pertama di bawah elemen "terutama". Untuk mencapai hasil ini: daripada unsur baris No. 2, kita tolak secara berurutan unsur baris No. 1, didarab dengan 2; daripada unsur-unsur baris No. 3 kita tolak secara berurutan unsur-unsur garis No. 1, didarab dengan 4; daripada unsur baris No. 4 kita tolak secara berurutan unsur baris No. 1.
Seterusnya, kami akan bekerja dengan matriks terpotong (tanpa lajur 1 dan tanpa baris 1). Elemen "teraju" baharu, berdiri di persimpangan lajur kedua dan baris kedua, adalah sama dengan -1. Tidak perlu menyusun semula baris, jadi kami menulis semula lajur pertama dan baris pertama dan kedua tanpa perubahan. Mari kita lakukan operasi tolak untuk mendapatkan sifar dalam lajur kedua di bawah elemen "terutama": daripada unsur baris ketiga kita tolak secara berurutan unsur baris kedua, didarab dengan 3; tolak unsur baris kedua didarab dengan 2 daripada unsur baris keempat.
Ia kekal untuk menukar baris terakhir. Daripada unsur-unsurnya kita tolak berturut-turut unsur-unsur baris ketiga. Oleh itu, kami mendapat matriks berperingkat.

Pengurangan matriks kepada bentuk langkah digunakan dalam menyelesaikan sistem persamaan linear (SLE) dengan kaedah Gauss. Sebelum melihat kaedah ini, mari kita fahami beberapa istilah yang berkaitan dengan SLN.

Matriks dan sistem persamaan linear

Matriks digunakan dalam pelbagai sains. Menggunakan jadual nombor, anda boleh, sebagai contoh, menyelesaikan persamaan linear digabungkan ke dalam sistem menggunakan kaedah Gauss. Mula-mula, mari kita berkenalan dengan beberapa istilah dan takrifannya, dan juga lihat bagaimana matriks terbentuk daripada sistem yang menggabungkan beberapa persamaan linear.

SLU – beberapa gabungan persamaan algebra dengan kuasa pertama tidak diketahui dan tiada istilah produk.

Penyelesaian SLE – menemukan nilai yang tidak diketahui, menggantikan mana persamaan dalam sistem menjadi identiti.

SLE bersama ialah sistem persamaan yang mempunyai sekurang-kurangnya satu penyelesaian.

SLE tidak konsisten ialah sistem persamaan yang tidak mempunyai penyelesaian.

Bagaimanakah matriks dibentuk berdasarkan sistem yang menggabungkan persamaan linear? Terdapat konsep seperti matriks utama dan lanjutan sistem. Untuk mendapatkan matriks utama sistem, adalah perlu untuk meletakkan dalam jadual semua pekali untuk yang tidak diketahui. Matriks yang diperluaskan diperoleh dengan menambahkan lajur sebutan bebas pada matriks utama (ia termasuk elemen yang diketahui yang mana setiap persamaan dalam sistem disamakan). Anda boleh memahami keseluruhan proses ini dengan mengkaji gambar di bawah.

Perkara pertama yang kita lihat dalam gambar ialah sistem yang merangkumi persamaan linear. Elemennya: a_ij – pekali berangka, x_j – nilai tidak diketahui, b_i – sebutan tetap (di mana i=1, 2, …, m, dan j=1, 2, …, n). Unsur kedua dalam gambar ialah matriks utama pekali. Daripada setiap persamaan, pekali ditulis dalam satu baris. Akibatnya, terdapat banyak baris dalam matriks kerana terdapat persamaan dalam sistem. Bilangan lajur adalah sama dengan bilangan pekali terbesar dalam mana-mana persamaan. Elemen ketiga dalam gambar ialah matriks tambahan dengan lajur istilah bebas.

Maklumat am tentang kaedah Gauss

Dalam algebra linear, kaedah Gauss ialah cara klasik untuk menyelesaikan SLE. Ia membawa nama Carl Friedrich Gauss, yang hidup pada abad ke-18-19. Ini adalah salah seorang ahli matematik terhebat sepanjang zaman. Intipati kaedah Gauss adalah untuk melakukan transformasi asas pada sistem persamaan algebra linear. Dengan bantuan transformasi, SLE dikurangkan kepada sistem yang setara dalam bentuk segi tiga (berlangkah), yang daripadanya semua pembolehubah boleh ditemui.

Perlu diingat bahawa Carl Friedrich Gauss bukanlah penemu kaedah klasik untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Kaedah itu dicipta lebih awal. Penerangan pertamanya terdapat dalam ensiklopedia pengetahuan ahli matematik Cina purba, yang dipanggil "Matematik dalam 9 buku".

Contoh penyelesaian SLE dengan kaedah Gauss

Mari kita pertimbangkan penyelesaian sistem dengan kaedah Gauss pada contoh tertentu. Kami akan bekerja dengan SLU yang ditunjukkan dalam gambar.

Algoritma penyelesaian:

Kami akan mengurangkan sistem kepada bentuk langkah dengan pergerakan terus kaedah Gauss, tetapi pertama sekalikami akan menyusun matriks pekali berangka dan ahli percuma yang diperluas.
Untuk menyelesaikan matriks menggunakan kaedah Gaussian (iaitu membawanya ke bentuk berperingkat), daripada unsur-unsur baris kedua dan ketiga, kami menolak unsur-unsur baris pertama secara berurutan. Kami mendapat sifar dalam lajur pertama di bawah elemen "terkemuka". Seterusnya, kami akan menukar baris kedua dan ketiga di tempat untuk kemudahan. Pada elemen baris terakhir, tambahkan secara berurutan elemen baris kedua, didarab dengan 3.
Hasil pengiraan matriks dengan kaedah Gauss, kami mendapat tatasusunan elemen berperingkat. Berdasarkannya, kami akan menyusun sistem persamaan linear baharu. Dengan laluan terbalik kaedah Gauss, kita dapati nilai istilah yang tidak diketahui. Ia boleh dilihat daripada persamaan linear terakhir bahawa x₃ adalah sama dengan 1. Kami menggantikan nilai ini ke dalam baris kedua sistem. Anda mendapat persamaan x₂ – 4=–4. Ia berikutan bahawa x₂ sama dengan 0. Gantikan x₂ dan x₃ ke dalam persamaan pertama sistem: x1 _{+ 0 +3=2. Istilah yang tidak diketahui ialah -1.}

Jawapan: menggunakan matriks, kaedah Gaussian, kami mendapati nilai-nilai yang tidak diketahui; x₁ =–1, x₂=0, x₃=1.

Kaedah Gauss-Jordan

Dalam algebra linear terdapat juga perkara seperti kaedah Gauss-Jordan. Ia dianggap sebagai pengubahsuaian kaedah Gaussian dan digunakan untuk mencari matriks songsang, mengira sebutan yang tidak diketahui bagi sistem segi empat sama bagi persamaan linear algebra. Kaedah Gauss-Jordan adalah mudah kerana ia membolehkan menyelesaikan SLE dalam satu langkah (tanpa menggunakan langsung dan songsangbergerak).

Mari kita mulakan dengan istilah "matriks songsang". Katakan kita mempunyai matriks A. Songsang untuknya ialah matriks A^-1, manakala syaratnya semestinya dipenuhi: A × A^-1=A -1 ^{× A=E, iaitu hasil darab matriks ini adalah sama dengan matriks identiti (elemen pepenjuru utama matriks identiti ialah satu, dan unsur selebihnya adalah sifar).}

Nuansa penting: dalam algebra linear terdapat teorem tentang kewujudan matriks songsang. Syarat yang mencukupi dan perlu untuk kewujudan matriks A^-1 ialah matriks A adalah bukan tunggal.

Langkah asas yang berasaskan kaedah Gauss-Jordan:

Lihat pada baris pertama matriks tertentu. Kaedah Gauss-Jordan boleh dimulakan jika nilai pertama tidak sama dengan sifar. Jika tempat pertama ialah 0, kemudian tukar baris supaya elemen pertama mempunyai nilai bukan sifar (adalah wajar nombor itu lebih hampir kepada satu).
Bahagikan semua elemen baris pertama dengan nombor pertama. Anda akan mendapat rentetan yang bermula dengan satu.
Dari baris kedua, tolak baris pertama didarab dengan elemen pertama baris kedua, iaitu pada akhirnya anda akan mendapat garisan yang bermula dari sifar. Lakukan perkara yang sama untuk baris yang lain. Bahagikan setiap baris dengan elemen bukan sifar pertamanya untuk mendapatkan 1 secara menyerong.
Akibatnya, anda akan mendapat matriks segi tiga atas menggunakan kaedah Gauss - Jordan. Di dalamnya, pepenjuru utama diwakili oleh unit. Sudut bawah diisi dengan sifar, dansudut atas - pelbagai nilai.
Dari baris kedua terakhir, tolak baris terakhir didarab dengan pekali yang diperlukan. Anda harus mendapatkan rentetan dengan sifar dan satu. Untuk baris yang lain, ulangi tindakan yang sama. Selepas semua transformasi, matriks identiti akan diperolehi.

Contoh mencari matriks songsang menggunakan kaedah Gauss-Jordan

Untuk mengira matriks songsang, anda perlu menulis matriks tambahan A|E dan melakukan transformasi yang diperlukan. Mari kita pertimbangkan contoh mudah. Rajah di bawah menunjukkan matriks A.

Penyelesaian:

Pertama, mari kita cari penentu matriks menggunakan kaedah Gaussian (det A). Jika parameter ini tidak sama dengan sifar, maka matriks akan dianggap bukan tunggal. Ini akan membolehkan kita membuat kesimpulan bahawa A pasti mempunyai A^-1. Untuk mengira penentu, kita menukar matriks kepada bentuk berperingkat dengan transformasi asas. Mari kita mengira nombor K sama dengan bilangan pilih atur baris. Kami menukar talian hanya 1 kali. Mari kita mengira penentu. Nilainya akan sama dengan hasil darab unsur pepenjuru utama, didarab dengan (–1)^K. Hasil pengiraan: det A=2.
Karang matriks tambahan dengan menambahkan matriks identiti pada matriks asal. Tatasusunan unsur yang terhasil akan digunakan untuk mencari matriks songsang dengan kaedah Gauss-Jordan.
Elemen pertama dalam baris pertama adalah sama dengan satu. Ini sesuai dengan kita, kerana tidak perlu menyusun semula garisan dan membahagikan garisan yang diberikan dengan beberapa nombor. Mari kita mula bekerjadengan baris kedua dan ketiga. Untuk menukar elemen pertama dalam baris kedua kepada 0, tolak baris pertama didarab dengan 3 daripada baris kedua. Tolak baris pertama daripada baris ketiga (tiada pendaraban diperlukan).
Dalam matriks yang terhasil, unsur kedua bagi baris kedua ialah -4, dan unsur kedua bagi baris ketiga ialah -1. Mari kita tukar talian untuk kemudahan. Daripada baris ketiga tolak baris kedua didarab dengan 4. Bahagikan baris kedua dengan -1 dan baris ketiga dengan 2. Kami mendapat matriks segi tiga atas.
Mari kita tolak baris terakhir didarab dengan 4 daripada baris kedua, dan baris terakhir didarab dengan 5 daripada baris pertama. Seterusnya, tolak baris kedua didarab dengan 2 daripada baris pertama. Di sebelah kiri kita dapat matriks identiti. Di sebelah kanan ialah matriks songsang.

Contoh penyelesaian SLE dengan kaedah Gauss-Jordan

Rajah menunjukkan sistem persamaan linear. Ia diperlukan untuk mencari nilai pembolehubah yang tidak diketahui menggunakan matriks, kaedah Gauss-Jordan.

Penyelesaian:

Mari kita cipta matriks tambahan. Untuk melakukan ini, kami akan meletakkan pekali dan terma bebas dalam jadual.
Selesaikan matriks menggunakan kaedah Gauss-Jordan. Daripada baris No. 2 kita tolak baris No. 1. Daripada baris No. 3 kita tolak baris No. 1, sebelum ini didarab dengan 2.
Tukar baris 2 dan 3.
Dari baris 3 tolak baris 2 didarab dengan 2. Bahagikan baris ketiga yang terhasil dengan –1.
Tolak baris 3 daripada baris 2.
Tolak baris 1 daripada baris 12 kali -1. Di sebelah, kami mendapat lajur yang terdiri daripada nombor 0, 1 dan -1. Daripada ini kami membuat kesimpulan bahawa x₁=0, x₂=1 dan x₃ =–1.

Jika anda mahu, anda boleh menyemak ketepatan penyelesaian dengan menggantikan nilai yang dikira ke dalam persamaan:

0 – 1=–1, identiti pertama daripada sistem adalah betul;
0 + 1 + (–1)=0, identiti kedua daripada sistem adalah betul;
0 – 1 + (–1)=–2, identiti ketiga daripada sistem adalah betul.

Kesimpulan: menggunakan kaedah Gauss-Jordan, kami telah menemui penyelesaian yang betul kepada sistem kuadratik yang menggabungkan persamaan algebra linear.

Kalkulator dalam talian

Kehidupan belia hari ini yang belajar di universiti dan belajar algebra linear telah dipermudahkan dengan sangat baik. Beberapa tahun yang lalu, kami terpaksa mencari penyelesaian kepada sistem menggunakan kaedah Gauss dan Gauss-Jordan sendiri. Sesetengah pelajar berjaya mengatasi tugasan, sementara yang lain keliru dalam penyelesaian, membuat kesilapan, meminta bantuan rakan sekelas. Hari ini, anda boleh menggunakan kalkulator dalam talian semasa membuat kerja rumah. Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear, cari matriks songsang, atur cara telah ditulis yang menunjukkan bukan sahaja jawapan yang betul, tetapi juga menunjukkan kemajuan menyelesaikan masalah tertentu.

Terdapat banyak sumber di Internet dengan kalkulator dalam talian terbina dalam. Matriks Gaussian, sistem persamaan diselesaikan oleh program ini dalam beberapa saat. Pelajar hanya perlu menentukan parameter yang diperlukan (contohnya, bilangan persamaan,bilangan pembolehubah).