Aritmetik punca kuasa dua dan sifatnya

2024 Pengarang: Angel Austin | [email protected]. Diubah suai terakhir: 2023-12-17 05:36

Kami semua mempelajari punca kuasa dua aritmetik dalam kelas algebra di sekolah. Ia berlaku bahawa jika pengetahuan tidak disegarkan, maka ia cepat dilupakan, sama dengan akarnya. Artikel ini berguna kepada pelajar tingkatan lapan yang ingin menyegarkan pengetahuan mereka dalam bidang ini, dan pelajar sekolah lain, kerana kami bekerja dengan akar umbi dalam gred 9, 10 dan 11.

Sejarah akar dan darjah

Malah pada zaman purba, dan khususnya di Mesir purba, orang memerlukan ijazah untuk melakukan operasi pada nombor. Apabila tidak ada konsep sedemikian, orang Mesir menulis hasil darab yang sama dua puluh kali. Tetapi tidak lama kemudian penyelesaian kepada masalah itu telah dicipta - bilangan kali nombor itu mesti didarabkan dengan sendirinya mula ditulis di penjuru kanan sebelah atas di atasnya, dan bentuk rakaman ini kekal sehingga hari ini.

Dan sejarah punca kuasa dua bermula kira-kira 500 tahun yang lalu. Ia telah ditetapkan dengan cara yang berbeza, dan hanya pada abad ketujuh belas Rene Descartes memperkenalkan tanda sedemikian, yang kita gunakan sehingga hari ini.

Apakah punca kuasa dua

Mari kita mulakan dengan menerangkan apa itu punca kuasa dua. Punca kuasa dua bagi beberapa nombor c ialah nombor bukan negatif yang, apabila kuasa dua, akan sama dengan c. Dalam kes ini, c lebih besar daripada atau sama dengan sifar.

Untuk membawa nombor di bawah punca, kami kuasa duakannya dan letakkan tanda akar di atasnya:

32=9, 3=√9

Selain itu, kita tidak boleh mendapatkan nilai punca kuasa dua nombor negatif, kerana sebarang nombor dalam segi empat sama adalah positif, iaitu:

c² ≧ 0, jika √c ialah nombor negatif, maka c^{2 < 0 - bertentangan dengan peraturan.}

Untuk mengira punca kuasa dua dengan cepat, anda perlu mengetahui jadual kuasa dua nombor.

Properties

Mari kita pertimbangkan sifat algebra bagi punca kuasa dua.

1) Untuk mengekstrak punca kuasa dua produk, anda perlu mengambil punca setiap faktor. Iaitu, ia boleh ditulis sebagai hasil darab punca faktor:

√ac=√a × √c, contohnya:

√36=√4 × √9

2) Apabila mengekstrak punca daripada pecahan, adalah perlu untuk mengekstrak punca secara berasingan daripada pengangka dan penyebut, iaitu, tuliskannya sebagai hasil bagi puncanya.

3) Nilai yang diperoleh dengan mengambil punca kuasa dua nombor sentiasa sama dengan modulus nombor ini, kerana modulus hanya boleh positif:

√с2=∣с∣, ∣с∣ > 0.

4) Untuk menaikkan akar kepada mana-mana kuasa, kami menaikkannyaungkapan radikal:

(√с)⁴=√с^{4, sebagai contoh:}

(√2)⁶ =√2^6=√64=8

5) Kuasa dua punca aritmetik c adalah sama dengan nombor ini sendiri:

(√s)2=s.

Punca nombor tak rasional

Katakan punca enam belas adalah mudah, tetapi bagaimana untuk mengambil punca nombor seperti 7, 10, 11?

Nombor yang puncanya ialah pecahan tak berkala tak terhingga dipanggil tidak rasional. Kita tidak boleh mengeluarkan akar daripadanya sendiri. Kita hanya boleh membandingkannya dengan nombor lain. Sebagai contoh, ambil punca 5 dan bandingkan dengan √4 dan √9. Jelaslah bahawa √4 < √5 < √9, kemudian 2 < √5 < 3. Ini bermakna nilai punca lima berada di antara dua dan tiga, tetapi terdapat banyak pecahan perpuluhan di antara mereka, dan memilih setiap satu adalah cara yang meragukan mencari punca.

Anda boleh melakukan operasi ini pada kalkulator - ini adalah cara yang paling mudah dan terpantas, tetapi dalam gred 8 anda tidak akan perlu mengekstrak nombor tidak rasional daripada punca kuasa dua aritmetik. Anda hanya perlu mengingati anggaran nilai punca dua dan punca tiga:

√2 ≈ 1, 4, √3 ≈ 1, 7.

Contoh

Kini, berdasarkan sifat punca kuasa dua, kami akan menyelesaikan beberapa contoh:

1) √17² - 8²

Ingat formula untuk perbezaan petak:

√(17-8) (17+8)=√9 ×25

Kami mengetahui sifat punca aritmetik kuasa dua - untuk mengekstrak punca daripada produk, anda perlu mengekstraknya daripada setiap faktor:

√9 × √25=3 × 5=15

2) √3 (2√3 + √12)=2 (√3)2 + √36

Gunakan satu lagi sifat punca - kuasa dua punca aritmetik nombor adalah sama dengan nombor ini sendiri:

2 × 3 + 6=12

Penting! Selalunya, apabila mula bekerja dan menyelesaikan contoh dengan punca kuasa dua aritmetik, pelajar membuat kesilapan berikut:

√12 + 3=√12 + √3 - anda tidak boleh berbuat demikian!

Kita tidak boleh mengambil akar setiap istilah. Tiada peraturan sedemikian, tetapi ia keliru dengan mengambil punca setiap faktor. Jika kami mempunyai entri ini:

√12 × 3, maka adalah wajar untuk menulis √12 × 3=√12 × √3.

Jadi kami hanya boleh menulis:

√12 + 3=√15