Apakah itu aritmetik? Bilakah manusia mula menggunakan nombor dan bekerja dengannya? Ke manakah perginya akar konsep sehari-hari seperti nombor, pecahan, penolakan, penambahan dan pendaraban, yang mana seseorang telah menjadikan sebahagian daripada kehidupan dan pandangan dunianya yang tidak dapat dipisahkan? Fikiran Yunani kuno mengagumi sains seperti matematik, aritmetik dan geometri sebagai simfoni logik manusia yang paling indah.
Mungkin aritmetik tidak sedalam sains lain, tetapi apakah yang akan berlaku kepada mereka jika seseorang terlupa jadual pendaraban asas? Pemikiran logik yang lazim kepada kita, menggunakan nombor, pecahan dan alat lain, tidak mudah untuk orang ramai dan untuk masa yang lama tidak dapat diakses oleh nenek moyang kita. Malah, sebelum perkembangan aritmetik, tiada bidang pengetahuan manusia yang benar-benar saintifik.
Aritmetik ialah ABC bagi matematik
Aritmetik ialah sains nombor, yang mana mana-mana orang mula membiasakan diri dengan dunia matematik yang menarik. Seperti kata M. V. Lomonosov, aritmetik adalah pintu pembelajaran, membuka jalan kepada pengetahuan dunia untuk kita. Tetapi dia betulAdakah ilmu dunia boleh dipisahkan dengan ilmu nombor dan huruf, matematik dan pertuturan? Mungkin pada zaman dahulu, tetapi tidak dalam dunia moden, di mana perkembangan pesat sains dan teknologi menentukan undang-undangnya sendiri.
Perkataan "aritmetik" (bahasa Yunani "arithmos") berasal dari bahasa Yunani, bermaksud "nombor". Dia mempelajari nombor dan segala-galanya yang boleh dikaitkan dengannya. Ini ialah dunia nombor: pelbagai operasi pada nombor, peraturan berangka, menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan pendaraban, penolakan, dsb.
Adalah diterima umum bahawa aritmetik ialah langkah awal matematik dan asas yang kukuh untuk bahagiannya yang lebih kompleks, seperti algebra, analisis matematik, matematik yang lebih tinggi, dsb.
Objek utama aritmetik
Asas aritmetik ialah integer, sifat dan coraknya dipertimbangkan dalam teori aritmetik atau nombor yang lebih tinggi. Malah, kekuatan keseluruhan bangunan - matematik - bergantung pada cara pendekatan yang betul diambil dalam menganggap blok sekecil itu sebagai nombor asli.
Oleh itu, persoalan tentang apa itu aritmetik boleh dijawab dengan mudah: ia adalah sains nombor. Ya, kira-kira tujuh, sembilan dan semua komuniti yang pelbagai ini. Dan sama seperti anda tidak boleh menulis puisi yang baik atau pun puisi yang paling sederhana tanpa abjad asas, anda tidak boleh menyelesaikan masalah asas tanpa aritmetik. Itulah sebabnya semua sains maju hanya selepas perkembangan aritmetik dan matematik, sebelum itu hanya satu set andaian.
Aritmetik ialah sains hantu
Apakah itu aritmetik - sains semula jadi atau hantu? Malah, seperti yang dikatakan oleh ahli falsafah Yunani kuno, nombor mahupun angka tidak wujud dalam realiti. Ini hanyalah hantu yang tercipta dalam pemikiran manusia apabila mempertimbangkan alam sekitar dengan prosesnya. Sesungguhnya, apakah itu nombor? Di sekeliling kita tidak melihat apa-apa seperti itu yang boleh dipanggil nombor, sebaliknya, nombor adalah cara minda manusia untuk mengkaji dunia. Atau mungkin kajian diri kita dari dalam? Ahli falsafah telah berhujah tentang perkara ini selama berabad-abad berturut-turut, jadi kami tidak berjanji untuk memberikan jawapan yang lengkap. Satu cara atau yang lain, aritmetik telah berjaya mengambil tempatnya dengan begitu kukuh sehingga dalam dunia moden tiada siapa yang boleh dianggap menyesuaikan diri secara sosial tanpa mengetahui asasnya.
Bagaimanakah nombor asli muncul
Sudah tentu, objek utama yang aritmetik beroperasi ialah nombor asli, seperti 1, 2, 3, 4, …, 152… dll. Aritmetik nombor asli adalah hasil pengiraan objek biasa, seperti lembu di padang rumput. Namun, takrifan "banyak" atau "sedikit" tidak lagi sesuai dengan orang ramai, dan mereka terpaksa mencipta teknik pengiraan yang lebih maju.
Tetapi kejayaan sebenar berlaku apabila pemikiran manusia mencapai tahap yang mungkin untuk menetapkan 2 kilogram, dan 2 bata, dan 2 bahagian dengan nombor yang sama "dua". Hakikatnya ialah anda perlu mengabstraksi daripada bentuk, sifat dan makna objek, kemudian anda boleh melakukan beberapa tindakan dengan objek ini dalam bentuk nombor asli. Maka lahirlah aritmetik nombor, yanglebih maju dan berkembang, menduduki kedudukan yang lebih besar dalam kehidupan masyarakat.
Konsep nombor yang mendalam seperti nombor sifar dan negatif, pecahan, penetapan nombor mengikut nombor dan dengan cara lain, mempunyai sejarah perkembangan yang kaya dan menarik.
Orang Mesir aritmetik dan praktikal
Dua sahabat manusia tertua dalam menerokai dunia di sekeliling kita dan menyelesaikan masalah harian ialah aritmetik dan geometri.
Adalah dipercayai bahawa sejarah aritmetik berasal dari Timur Purba: di India, Mesir, Babylon dan China. Oleh itu, papirus Rinda yang berasal dari Mesir (dinamakan sedemikian kerana ia milik pemilik nama yang sama), sejak abad ke-20. BC, sebagai tambahan kepada data berharga yang lain, mengandungi pengembangan satu pecahan kepada jumlah pecahan dengan penyebut yang berbeza dan pengangka sama dengan satu.
Contohnya: 2/73=1/60+1/219+1/292+1/365.
Tetapi apakah gunanya penguraian yang begitu kompleks? Hakikatnya ialah pendekatan Mesir tidak bertolak ansur dengan pemikiran abstrak tentang nombor, sebaliknya, pengiraan dibuat hanya untuk tujuan praktikal. Iaitu, orang Mesir akan terlibat dalam perkara seperti pengiraan, semata-mata untuk membina makam, sebagai contoh. Ia adalah perlu untuk mengira panjang tepi struktur, dan ini memaksa seseorang untuk duduk di belakang papirus. Seperti yang anda lihat, kemajuan Mesir dalam pengiraan disebabkan, sebaliknya, oleh pembinaan besar-besaran dan bukannya oleh kecintaan kepada sains.
Atas sebab ini, pengiraan yang terdapat pada papirus tidak boleh dipanggil pantulan pada topik pecahan. Kemungkinan besar, ini adalah persediaan praktikal yang membantu pada masa hadapan.menyelesaikan masalah dengan pecahan. Orang Mesir purba, yang tidak mengetahui jadual pendaraban, membuat pengiraan yang agak panjang, terurai kepada banyak subtugas. Mungkin ini adalah salah satu daripada subtugas tersebut. Adalah mudah untuk melihat bahawa pengiraan dengan bahan kerja sedemikian adalah sangat susah payah dan tidak menjanjikan. Mungkin atas sebab ini kita tidak nampak sumbangan besar Mesir Purba kepada perkembangan matematik.
Yunani Purba dan aritmetik falsafah
Banyak pengetahuan tentang Timur Purba berjaya dikuasai oleh orang Yunani kuno, pencinta refleksi abstrak, abstrak dan falsafah yang terkenal. Mereka tidak kurang berminat dalam amalan, tetapi sukar untuk mencari ahli teori dan pemikir terbaik. Ini telah memberi manfaat kepada sains, kerana mustahil untuk menyelidiki aritmetik tanpa memisahkannya daripada realiti. Sudah tentu, anda boleh membiak 10 ekor lembu dan 100 liter susu, tetapi anda tidak akan pergi jauh.
Orang Yunani yang berfikiran mendalam meninggalkan kesan penting dalam sejarah, dan tulisan mereka telah sampai kepada kita:
- Euclid dan Elemen.
- Pythagoras.
- Archimedes.
- Eratosthenes.
- Zeno.
- Anaxagoras.
Dan, tentu saja, orang Yunani, yang mengubah segala-galanya menjadi falsafah, dan terutamanya penerus karya Pythagoras, sangat terpesona dengan angka sehingga mereka menganggapnya sebagai misteri keharmonian dunia. Nombor telah dikaji dan dikaji sehinggakan sebahagian daripadanya dan pasangannya telah diberikan sifat istimewa. Contohnya:
- Nombor sempurna ialah nombor yang sama dengan jumlah semua pembahaginya, kecuali nombor itu sendiri (6=1+2+3).
- Nombor mesra ialah nombor tersebut, salah satunyaadalah sama dengan jumlah semua pembahagi kedua, dan sebaliknya (Pythagoreans hanya tahu satu pasangan sedemikian: 220 dan 284).
Orang Yunani, yang percaya bahawa sains harus dicintai, dan bukan bersamanya demi keuntungan, mencapai kejayaan besar dengan meneroka, bermain dan menambah nombor. Perlu diingatkan bahawa tidak semua penyelidikan mereka digunakan secara meluas, sesetengah daripada mereka kekal hanya "untuk kecantikan".
Pemikir Timur Zaman Pertengahan
Dengan cara yang sama, pada Zaman Pertengahan, aritmetik berhutang perkembangannya kepada orang sezaman Timur. Orang India memberi kami nombor yang kami gunakan secara aktif, konsep seperti "sifar", dan versi kedudukan kalkulus, yang biasa dengan persepsi moden. Daripada Al-Kashi, yang bekerja di Samarkand pada abad ke-15, kami mewarisi pecahan perpuluhan, yang tanpanya sukar untuk membayangkan aritmetik moden.
Dalam banyak cara, pengenalan Eropah dengan pencapaian Timur menjadi mungkin berkat karya saintis Itali Leonardo Fibonacci, yang menulis karya "The Book of the Abacus", memperkenalkan inovasi Timur. Ia menjadi asas kepada pembangunan algebra dan aritmetik, aktiviti penyelidikan dan saintifik di Eropah.
Aritmetik Rusia
Dan, akhirnya, aritmetik, yang mendapat tempatnya dan berakar umbi di Eropah, mula merebak ke tanah Rusia. Aritmetik Rusia pertama diterbitkan pada tahun 1703 - ia adalah buku tentang aritmetik oleh Leonty Magnitsky. Untuk masa yang lama ia kekal sebagai satu-satunya buku teks dalam matematik. Ia mengandungi momen awal algebra dan geometri. Nombor yang digunakan dalam contoh oleh buku teks aritmetik pertama di Rusia adalah bahasa Arab. Walaupun angka Arab telah dilihat sebelum ini, pada ukiran sejak abad ke-17.
Buku itu sendiri dihiasi dengan imej Archimedes dan Pythagoras, dan pada helaian pertama - imej aritmetik dalam bentuk seorang wanita. Dia duduk di atas takhta, di bawahnya tertulis dalam bahasa Ibrani perkataan yang menunjukkan nama Tuhan, dan di tangga yang menuju ke takhta, perkataan "pembahagian", "pendaraban", "penambahan", dll. tertulis. kebenaran. yang kini dianggap biasa.
Buku teks 600 halaman merangkumi kedua-dua asas seperti jadual penambahan dan pendaraban serta aplikasi untuk sains pelayaran.
Tidak menghairankan bahawa pengarang memilih imej pemikir Yunani untuk bukunya, kerana dia sendiri terpesona oleh keindahan aritmetik, berkata: "Aritmetik adalah pengangka, ada seni yang jujur, tidak dicemburui …". Pendekatan aritmetik ini agak wajar, kerana ia adalah pengenalannya yang meluas yang boleh dianggap sebagai permulaan perkembangan pesat pemikiran saintifik di Rusia dan pendidikan umum.
Unprima prima
Nombor perdana ialah nombor asli yang hanya mempunyai 2 pembahagi positif: 1 dan dirinya sendiri. Semua nombor lain, kecuali 1, dipanggil komposit. Contoh nombor perdana: 2, 3, 5, 7, 11 dan semua yang lain yang tidak mempunyai pembahagi selain 1 dan dirinya sendiri.
Bagi nombor 1, ia adalah pada akaun khas - terdapat perjanjian bahawa ia tidak boleh dianggap mudah atau komposit. Mudah pada pandangan pertama, nombor mudah menyembunyikan banyak misteri yang tidak dapat diselesaikan dalam dirinya.
Teorem Euclid mengatakan bahawa terdapat bilangan nombor perdana yang tidak terhingga, dan Eratosthenes mencipta "ayak" aritmetik khas yang menghapuskan nombor bukan perdana, hanya meninggalkan nombor mudah.
Intinya ialah menggariskan nombor pertama yang tidak dicoret, dan seterusnya memotong nombor yang merupakan gandaan daripadanya. Kami mengulangi prosedur ini berkali-kali - dan kami mendapat jadual nombor perdana.
Teorem Asas Aritmetik
Antara pemerhatian tentang nombor perdana, teorem asas aritmetik harus disebut dengan cara yang istimewa.
Teorem asas aritmetik mengatakan bahawa sebarang integer yang lebih besar daripada 1 adalah sama ada perdana, atau ia boleh diuraikan menjadi hasil darab nombor perdana sehingga tertib faktor, dan dengan cara yang unik.
Teorem utama aritmetik terbukti agak menyusahkan, dan memahaminya tidak lagi kelihatan seperti asas yang paling mudah.
Pada pandangan pertama, nombor perdana ialah konsep asas, tetapi tidak. Fizik juga pernah menganggap atom sebagai asas, sehingga ia mendapati seluruh alam semesta di dalamnya. Kisah indah oleh ahli matematik Don Tzagir "The First Fifty Million Primes" didedikasikan untuk nombor perdana.
Daripada "tiga epal" kepada undang-undang deduktif
Apa yang benar-benar boleh dipanggil asas yang diperkukuh bagi semua sains ialah undang-undang aritmetik. Walaupun pada zaman kanak-kanak, semua orang berhadapan dengan aritmetik, mengkaji bilangan kaki dan lengan anak patung,bilangan kiub, epal, dsb. Beginilah cara kita mempelajari aritmetik, yang kemudiannya memasuki peraturan yang lebih kompleks.
Sepanjang hidup kita membiasakan kita dengan peraturan aritmetik, yang telah menjadi bagi orang biasa yang paling berguna daripada semua yang diberikan sains. Kajian tentang nombor ialah "aritmetik-bayi", yang memperkenalkan seseorang kepada dunia nombor dalam bentuk nombor pada peringkat awal kanak-kanak.
Aritmetik tinggi ialah sains deduktif yang mengkaji hukum-hukum aritmetik. Kami mengenali kebanyakan daripada mereka, walaupun kami mungkin tidak mengetahui perkataan mereka yang tepat.
Hukum penambahan dan pendaraban
Dua sebarang nombor asli a dan b boleh dinyatakan sebagai jumlah a+b, yang juga akan menjadi nombor asli. Undang-undang berikut digunakan untuk penambahan:
- Komutatif, yang mengatakan bahawa jumlah tidak berubah daripada penyusunan semula istilah, atau a+b=b+a.
- Associative, yang mengatakan bahawa jumlah tidak bergantung pada cara istilah dikumpulkan di tempat, atau a+(b+c)=(a+ b)+ c.
Peraturan aritmetik, seperti penambahan, adalah antara yang paling asas, tetapi ia digunakan oleh semua sains, apatah lagi kehidupan seharian.
Dua sebarang nombor asli a dan b boleh dinyatakan sebagai hasil darab ab atau ab, yang juga merupakan nombor asli. Undang-undang komutatif dan bersekutu yang sama digunakan pada produk seperti penambahan:
- ab=b a;
- a(bc)=(a b) c.
Saya tertanya-tanyabahawa terdapat undang-undang yang menyatukan penambahan dan pendaraban, juga dipanggil undang-undang pengagihan atau pengagihan:
a(b+c)=ab+ac
Undang-undang ini sebenarnya mengajar kita untuk bekerja dengan kurungan dengan mengembangkannya, dengan itu kita boleh bekerja dengan formula yang lebih kompleks. Ini adalah undang-undang yang akan membimbing kita melalui dunia algebra yang pelik dan kompleks.
Hukum susunan aritmetik
Undang-undang ketertiban digunakan oleh logik manusia setiap hari, membandingkan jam tangan dan mengira wang kertas. Namun begitu, ia perlu diformalkan dalam bentuk formulasi khusus.
Jika kita mempunyai dua nombor asli a dan b, maka pilihan berikut adalah mungkin:
- a sama dengan b, atau a=b;
- a adalah kurang daripada b, atau a < b;
- a lebih besar daripada b, atau > b.
Daripada tiga pilihan, hanya satu yang boleh adil. Undang-undang asas yang mengawal perintah itu berkata: jika a < b dan b < c, maka a< c.
Terdapat juga undang-undang yang berkaitan tertib kepada pendaraban dan penambahan: jika a< ialah b, maka a + c < b+c dan ac< bc.
Hukum aritmetik mengajar kita untuk bekerja dengan nombor, tanda dan tanda kurung, mengubah segala-galanya menjadi simfoni nombor yang harmoni.
Kalkulus kedudukan dan bukan kedudukan
Boleh dikatakan bahawa nombor adalah bahasa matematik, yang mana banyak bergantung pada kemudahannya. Terdapat banyak sistem nombor, yang, seperti abjad bahasa yang berbeza, berbeza antara satu sama lain.
Mari kita pertimbangkan sistem nombor dari sudut pandangan pengaruh kedudukan pada nilai kuantitatifnombor dalam kedudukan ini. Jadi, sebagai contoh, sistem Rom bukan kedudukan, di mana setiap nombor dikodkan oleh set aksara khas tertentu: I/ V/ X/L/ C/ D/ M. Mereka adalah sama, masing-masing, dengan nombor 1 / 5/10/50/100/500/ 1000. Dalam sistem sedemikian, nombor itu tidak mengubah takrifan kuantitatifnya bergantung pada kedudukannya: pertama, kedua, dsb. Untuk mendapatkan nombor lain, anda perlu menambah nombor asas. Contohnya:
- DCC=700.
- CCM=800.
Sistem nombor yang lebih biasa kepada kita menggunakan angka Arab adalah kedudukan. Dalam sistem sedemikian, digit nombor menentukan bilangan digit, contohnya, nombor tiga digit: 333, 567, dsb. Berat mana-mana digit bergantung pada kedudukan di mana digit ini atau itu terletak, contohnya, nombor 8 di kedudukan kedua mempunyai nilai 80. Ini adalah tipikal untuk sistem perpuluhan, terdapat sistem kedudukan lain, contohnya., binari.
Aritmetik binari
Kami biasa dengan sistem perpuluhan, yang terdiri daripada nombor satu digit dan berbilang digit. Nombor di sebelah kiri nombor berbilang digit adalah sepuluh kali lebih ketara daripada nombor di sebelah kanan. Jadi, kita sudah biasa membaca 2, 17, 467, dsb. Bahagian yang dipanggil "aritmetik binari" mempunyai logik dan pendekatan yang sama sekali berbeza. Ini tidak menghairankan, kerana aritmetik binari dicipta bukan untuk logik manusia, tetapi untuk logik komputer. Jika aritmetik nombor berasal daripada pengiraan objek, yang diabstrakkan lagi daripada sifat objek kepada aritmetik "telanjang", maka ini tidak akan berfungsi dengan komputer. Untuk dapat berkongsidengan pengetahuannya tentang komputer, seseorang terpaksa mencipta model kalkulus sedemikian.
Aritmetik binari berfungsi dengan abjad binari, yang hanya terdiri daripada 0 dan 1. Dan penggunaan abjad ini dipanggil sistem binari.
Perbezaan antara aritmetik binari dan aritmetik perpuluhan ialah kepentingan kedudukan di sebelah kiri bukan lagi 10, tetapi 2 kali ganda. Nombor binari adalah dalam bentuk 111, 1001, dsb. Bagaimana untuk memahami nombor tersebut? Jadi, pertimbangkan nombor 1100:
- Digit pertama di sebelah kiri ialah 18=8, mengingati bahawa digit keempat, yang bermaksud ia perlu didarab dengan 2, kita mendapat kedudukan 8.
- Digit kedua 14=4 (kedudukan 4).
- Digit ketiga 02=0 (kedudukan 2).
- Digit keempat 01=0 (kedudukan 1).
- Jadi nombor kami ialah 1100=8+4+0+0=12.
Iaitu, apabila beralih ke digit baharu di sebelah kiri, kepentingannya dalam sistem perduaan didarab dengan 2, dan dalam perpuluhan - dengan 10. Sistem sedemikian mempunyai satu tolak: ia terlalu besar peningkatan dalam digit yang diperlukan untuk menulis nombor. Contoh mewakili nombor perpuluhan sebagai nombor perduaan boleh didapati dalam jadual berikut.
Nombor perpuluhan dalam bentuk binari ditunjukkan di bawah.
Kedua-dua sistem perlapanan dan perenambelasan juga digunakan.
Aritmetik misteri ini
Apakah itu aritmetik, "dua kali dua" atau misteri nombor yang belum diterokai? Seperti yang anda lihat, aritmetik mungkin kelihatan mudah pada pandangan pertama, tetapi kemudahannya yang tidak jelas adalah mengelirukan. Ia juga boleh dipelajari oleh kanak-kanak bersama-sama dengan Makcik Owl darikartun "Aritmetik-bayi", dan anda boleh melibatkan diri dalam penyelidikan saintifik yang mendalam tentang susunan yang hampir falsafah. Dalam sejarah, dia telah beralih daripada mengira objek kepada menyembah keindahan nombor. Hanya satu perkara yang pasti: dengan penubuhan postulat asas aritmetik, semua sains boleh bergantung pada bahunya yang kuat.
