Salah satu aksiom geometri menyatakan bahawa melalui mana-mana dua titik adalah mungkin untuk melukis satu garis lurus. Aksiom ini membuktikan bahawa terdapat ungkapan berangka unik yang secara unik menerangkan objek geometri satu dimensi yang ditentukan. Pertimbangkan dalam artikel soalan tentang cara menulis persamaan garis lurus yang melalui dua titik.
Apakah itu titik dan garis?
Sebelum mempertimbangkan persoalan membina dalam angkasa dan pada satah garis lurus persamaan yang melalui sepasang titik yang berbeza, seseorang harus mentakrifkan objek geometri yang ditentukan.
Titik ditentukan secara unik oleh set koordinat dalam sistem paksi koordinat tertentu. Sebagai tambahan kepada mereka, tidak ada lagi ciri untuk titik itu. Dia ialah objek sifar dimensi.
Apabila bercakap tentang garis lurus, setiap orang membayangkan garis yang digambarkan pada helaian kertas putih. Pada masa yang sama, adalah mungkin untuk memberikan definisi geometri yang tepatobjek ini. Garis lurus ialah himpunan titik yang mana sambungan setiap titik itu dengan semua yang lain akan memberikan satu set vektor selari.
Takrifan ini digunakan semasa menetapkan persamaan vektor bagi garis lurus, yang akan dibincangkan di bawah.
Memandangkan mana-mana garisan boleh ditandakan dengan segmen panjang sewenang-wenangnya, ia dikatakan sebagai objek geometri satu dimensi.
Fungsi vektor nombor
Persamaan melalui dua titik garis lurus yang melalui boleh ditulis dalam bentuk yang berbeza. Dalam ruang tiga dimensi dan dua dimensi, ungkapan berangka utama dan mudah difahami secara intuitif ialah vektor.
Anggap bahawa terdapat beberapa segmen terarah u¯(a; b; c). Dalam ruang 3D, vektor u boleh bermula pada mana-mana titik, jadi koordinatnya mentakrifkan set vektor selari tak terhingga. Walau bagaimanapun, jika kita memilih titik tertentu P(x0; y0; z0) dan letakkan ia sebagai permulaan vektor u, maka, mendarabkan vektor ini dengan nombor nyata arbitrari λ, seseorang boleh memperoleh semua titik satu garis lurus dalam ruang. Iaitu, persamaan vektor akan ditulis sebagai:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ(a; b; c)
Jelas sekali, untuk kes pada pesawat, fungsi berangka dalam bentuk:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b)
Kelebihan persamaan jenis ini berbanding yang lain (dalam segmen, kanonik,bentuk am) terletak pada fakta bahawa ia secara eksplisit mengandungi koordinat vektor arah. Yang terakhir sering digunakan untuk menentukan sama ada garis selari atau serenjang.
Umum dalam segmen dan fungsi kanonik untuk garis lurus dalam ruang dua dimensi
Apabila menyelesaikan masalah, kadangkala anda perlu menulis persamaan garis lurus yang melalui dua titik dalam bentuk tertentu yang tertentu. Oleh itu, cara lain untuk menentukan objek geometri ini dalam ruang dua dimensi harus diberikan (untuk kesederhanaan, kami mempertimbangkan kes pada satah).
Mari kita mulakan dengan persamaan am. Ia mempunyai bentuk:
Ax + By + C=0
Sebagai peraturan, pada satah persamaan garis lurus ditulis dalam bentuk ini, hanya y ditakrifkan secara eksplisit melalui x.
Sekarang ubah ungkapan di atas seperti berikut:
Ax + By=-C=>
x/(-C/A) + y/(-C/B)=1
Ungkapan ini dipanggil persamaan dalam segmen, kerana penyebut bagi setiap pembolehubah menunjukkan tempoh masa segmen garis terputus pada paksi koordinat yang sepadan berbanding dengan titik permulaan (0; 0).
Ia masih memberikan contoh persamaan kanonik. Untuk melakukan ini, kami menulis kesamaan vektor secara eksplisit:
x=x0+ λa;
y=y0+ λb
Mari ungkapkan parameter λ dari sini dan samakan kesamaan yang terhasil:
λ=(x - x0)/a;
λ=(y - y0)/b;
(x -x0)/a=(y - y0)/b
Kesamaan terakhir dipanggil persamaan dalam bentuk kanonik atau simetri.
Setiap daripadanya boleh ditukar kepada vektor dan sebaliknya.
Persamaan garis lurus yang melalui dua titik: teknik penyusunan
Berbalik kepada soalan artikel. Katakan terdapat dua titik dalam ruang:
M(x1; y1; z1) dan N(x 2; y2; z2)
Satu-satunya garis lurus yang melaluinya, persamaan yang sangat mudah untuk digubah dalam bentuk vektor. Untuk melakukan ini, kami mengira koordinat segmen yang diarahkan MN¯, kami mempunyai:
MN¯=N - M=(x2-x1; y2- y1; z2-z1)
Tidak sukar untuk meneka bahawa vektor ini akan menjadi panduan untuk garis lurus, yang persamaannya mesti diperolehi. Mengetahui bahawa ia juga melalui M dan N, anda boleh menggunakan koordinat mana-mana daripadanya untuk ungkapan vektor. Kemudian persamaan yang dikehendaki mengambil bentuk:
(x; y; z)=M + λMN¯=>
(x; y; z)=(x1; y1; z1) + λ(x2-x1; y2-y1; z2-z1)
Untuk kes dalam ruang dua dimensi, kami memperoleh kesamaan yang serupa tanpa penyertaan pembolehubah z.
Sebaik sahaja kesamaan vektor untuk baris ditulis, ia boleh diterjemahkan ke dalam sebarang bentuk lain yang diperlukan oleh persoalan masalah.
Tugas:tulis persamaan am
Adalah diketahui bahawa garis lurus melalui titik-titik dengan koordinat (-1; 4) dan (3; 2). Ia adalah perlu untuk menyusun persamaan garis lurus yang melaluinya, dalam bentuk umum, menyatakan y dalam sebutan x.
Untuk menyelesaikan masalah, kami mula-mula menulis persamaan dalam bentuk vektor. Koordinat vektor (panduan) ialah:
(3; 2) - (-1; 4)=(4; -2)
Maka bentuk vektor bagi persamaan garis lurus ialah seperti berikut:
(x; y)=(-1; 4) + λ(4; -2)
Ia kekal untuk menulisnya dalam bentuk umum dalam bentuk y(x). Kami menulis semula kesamaan ini secara eksplisit, menyatakan parameter λ dan mengecualikannya daripada persamaan:
x=-1 + 4λ=>λ=(x+1)/4;
y=4 - 2λ=> λ=(4-y)/2;
(x+1)/4=(4-y)/2
Daripada persamaan kanonik yang terhasil, kami menyatakan y dan sampai kepada jawapan kepada persoalan masalah:
y=-0.5x + 3.5
Kesahihan kesaksamaan ini boleh disemak dengan menggantikan koordinat titik yang dinyatakan dalam pernyataan masalah.
Masalah: garis lurus yang melalui tengah segmen
Sekarang mari selesaikan satu masalah yang menarik. Katakan bahawa dua titik M(2; 1) dan N(5; 0) diberikan. Adalah diketahui bahawa garis lurus melalui titik tengah segmen yang menghubungkan titik dan berserenjang dengannya. Tulis persamaan garis lurus yang melalui tengah segmen dalam bentuk vektor.
Ungkapan berangka yang dikehendaki boleh dibentuk dengan mengira koordinat pusat ini dan menentukan vektor arah, yangsegmen menjadikan sudut 90o.
Titik tengah segmen ialah:
S=(M + N)/2=(3, 5; 0, 5)
Sekarang mari kita hitung koordinat vektor MN¯:
MN¯=N - M=(3; -1)
Memandangkan vektor arah untuk garis yang dikehendaki berserenjang dengan MN¯, hasil darab skalarnya adalah sama dengan sifar. Ini membolehkan anda mengira koordinat yang tidak diketahui (a; b) bagi vektor stereng:
a3 - b=0=>
b=3a
Sekarang tulis persamaan vektor:
(x; y)=(3, 5; 0, 5) + λ(a; 3a)=>
(x; y)=(3, 5; 0, 5) + β(1; 3)
Di sini kami telah menggantikan produk aλ dengan parameter baharu β.
Oleh itu, kami telah membuat persamaan garis lurus yang melalui pusat segmen.
