Prisma heksagon dan ciri utamanya

2024 Pengarang: Angel Austin | [email protected]. Diubah suai terakhir: 2024-01-02 17:53

Geometri ruang ialah kajian prisma. Ciri pentingnya ialah isipadu yang terkandung di dalamnya, luas permukaan dan bilangan unsur konstituen. Dalam artikel, kami akan mempertimbangkan semua sifat ini untuk prisma heksagon.

Prisma manakah yang kita bincangkan?

Prisma heksagon ialah rajah yang dibentuk oleh dua poligon dengan enam sisi dan enam sudut, dan enam segi empat selari yang menghubungkan heksagon bertanda ke dalam satu formasi geometri.

Rajah menunjukkan contoh prisma ini.

Heksagon bertanda merah dipanggil pangkal rajah. Jelas sekali, bilangan tapaknya adalah sama dengan dua, dan kedua-duanya adalah sama. Muka kuning kehijauan prisma dipanggil sisinya. Dalam rajah, ia diwakili oleh segi empat sama, tetapi secara umum ia adalah segiempat selari.

Prisma heksagon boleh condong dan lurus. Dalam kes pertama, sudut antara tapak dan sisi tidak lurus, dalam kes kedua ia sama dengan 90o. Juga, prisma ini boleh betul dan tidak betul. heksagon biasaprisma mestilah lurus dan mempunyai heksagon sekata di tapaknya. Prisma di atas dalam rajah memenuhi keperluan ini, jadi ia dipanggil betul. Selanjutnya dalam artikel itu, kami hanya akan mengkaji sifatnya, sebagai kes umum.

Elemen

Untuk mana-mana prisma elemen utamanya ialah tepi, muka dan bucu. Prisma heksagon tidak terkecuali. Rajah di atas membolehkan anda mengira bilangan elemen ini. Jadi, kita mendapat 8 muka atau sisi (dua tapak dan enam segi empat selari), bilangan bucu ialah 12 (6 bucu untuk setiap tapak), bilangan tepi prisma heksagon ialah 18 (enam sisi dan 12 untuk tapak).

Pada tahun 1750-an, Leonhard Euler (ahli matematik Switzerland) ditubuhkan untuk semua polyhedra, yang termasuk prisma, hubungan matematik antara nombor unsur yang ditunjukkan. Hubungan ini kelihatan seperti:

bilangan tepi=bilangan muka + bilangan bucu - 2.

Angka di atas memenuhi formula ini.

Pepenjuru prisma

Semua pepenjuru bagi prisma heksagon boleh dibahagikan kepada dua jenis:

• mereka yang terletak pada satah mukanya;
• yang tergolong dalam jumlah keseluruhan angka itu.

Gambar di bawah menunjukkan semua pepenjuru ini.

Dapat dilihat bahawa D₁ ialah pepenjuru sisi, D₂ dan D₃ ialah pepenjuru seluruh prisma, D₄ dan D_{5 - pepenjuru tapak.}

Panjang pepenjuru sisi adalah sama antara satu sama lain. Mudah untuk mengiranya menggunakan teorem Pythagoras yang terkenal. Biarkan a ialah panjang sisi heksagon, b panjang tepi sisi. Kemudian pepenjuru mempunyai panjang:

D₁=√(a² + b^2).

Diagonal D₄ juga mudah ditentukan. Jika kita ingat bahawa heksagon biasa sesuai dengan bulatan dengan jejari a, maka D_{4 ialah diameter bulatan ini, iaitu, kita mendapat formula berikut:}

D_4=2a.

Diagonal D₅tapak agak sukar dicari. Untuk melakukan ini, pertimbangkan segitiga sama sisi ABC (lihat Rajah). Baginya AB=BC=a, sudut ABC ialah 120^{o. Jika kita menurunkan ketinggian dari sudut ini (ia juga akan menjadi pembahagi dua dan median), maka separuh daripada tapak AC akan sama dengan:}

AC/2=ABsin(60o)=a√3/2.

Sisi AC ialah pepenjuru D_{5, jadi kita dapat:}

D_5=AC=√3a.

Kini tinggal mencari pepenjuru D₂dan D_{3daripada prisma heksagon sekata. Untuk melakukan ini, anda perlu melihat bahawa ia adalah hipotenus bagi segi tiga tepat yang sepadan. Menggunakan teorem Pythagoras, kita dapat:}

D₂=√(D₄²+ b^2)=√(4a2^{+ b}2^);

D₃=√(D₅²+ b^2)=√(3a2^{+ b}2^).

Oleh itu, pepenjuru terbesar untuk sebarang nilai a dan b ialahD_2.

Kawasan permukaan

Untuk memahami perkara yang dipertaruhkan, cara paling mudah ialah mempertimbangkan perkembangan prisma ini. Ia ditunjukkan dalam gambar.

Ia boleh dilihat bahawa untuk menentukan luas semua sisi rajah yang sedang dipertimbangkan, adalah perlu untuk mengira luas segi empat dan luas heksagon secara berasingan, kemudian darabkannya. dengan integer yang sepadan sama dengan bilangan setiap n-gon dalam prisma, dan tambahkan hasilnya. Heksagon 2, segi empat tepat 6.

Untuk luas segi empat tepat kita dapat:

S_1=ab.

Kemudian luas permukaan sisi ialah:

S_2=6ab.

Untuk menentukan luas heksagon, cara paling mudah ialah menggunakan formula yang sepadan, yang kelihatan seperti:

S=n/4a2ctg(pi/n).

Menggantikan nombor n bersamaan dengan 6 ke dalam ungkapan ini, kita mendapat luas satu heksagon:

S₆=6/4a²ctg(pi/6)=3√3/2a 2^.

Ungkapan ini hendaklah didarab dengan dua untuk mendapatkan luas tapak prisma:

S_os=3√3a^2.

Ia kekal untuk menambah S_os dan S_{2 untuk mendapatkan jumlah luas permukaan rajah:}

S=S_os+ S₂=3√3a^{2+ 6ab=3a(√3a + 2b).}

Jumlah prisma

Selepas formula untukluas tapak heksagon, mengira isipadu yang terkandung dalam prisma berkenaan adalah semudah membedil pear. Untuk melakukan ini, anda hanya perlu mendarabkan luas tapak tulang (heksagon) dengan ketinggian rajah, yang panjangnya sama dengan panjang tepi sisi. Kami mendapat formula:

V=S₆b=3√3/2a^2b.

Perhatikan bahawa hasil darab tapak dan ketinggian memberikan nilai isipadu mutlak sebarang prisma, termasuk yang serong. Walau bagaimanapun, dalam kes kedua, pengiraan ketinggian adalah rumit, kerana ia tidak lagi sama dengan panjang rusuk sisi. Bagi prisma heksagon sekata, nilai isipadunya ialah fungsi dua pembolehubah: sisi a dan b.