Kajian kuantitatif tentang dinamik dan kinematik gerakan putaran memerlukan pengetahuan tentang momen inersia titik bahan dan jasad tegar berbanding paksi putaran. Kami akan mempertimbangkan dalam artikel apakah parameter yang kami bincangkan, dan juga memberikan formula untuk menentukannya.
Maklumat am tentang kuantiti fizik
Pertama, mari kita tentukan momen inersia bagi titik material dan jasad tegar, dan kemudian tunjukkan cara ia harus digunakan dalam menyelesaikan masalah praktikal.
Di bawah ciri fizikal yang ditunjukkan untuk titik dengan jisim m, yang berputar mengelilingi paksi pada jarak r, nilai berikut dimaksudkan:
I=mr².
Di mana ia berikutan bahawa unit ukuran parameter yang dikaji ialah kilogram setiap meter persegi (kgm²).
Jika, bukannya titik di sekeliling paksi, badan bentuk kompleks berputar, yang mempunyai taburan jisim sewenang-wenang di dalam dirinya, maka momen inersianya ditentukanjadi:
I=∫m(r²dm)=ρ∫V(r²dV).
Di mana ρ ialah ketumpatan badan. Menggunakan formula kamiran, anda boleh menentukan nilai I untuk sebarang sistem putaran.
Momen inersia mempunyai makna yang sama untuk putaran seperti jisim untuk gerakan translasi. Sebagai contoh, semua orang tahu bahawa adalah paling mudah untuk memutarkan mop lantai di sekeliling paksi yang melalui pemegangnya daripada melalui yang berserenjang. Ini disebabkan oleh fakta bahawa momen inersia dalam kes pertama adalah lebih sedikit daripada momen kedua.
Saya menghargai badan yang berbeza bentuk
Apabila menyelesaikan masalah dalam fizik untuk putaran, selalunya perlu mengetahui momen inersia untuk jasad bentuk geometri tertentu, contohnya, untuk silinder, bola atau rod. Jika kita menggunakan formula yang ditulis di atas untuk I, maka mudah untuk mendapatkan ungkapan yang sepadan untuk semua badan yang ditanda. Di bawah ialah formula untuk sebahagian daripadanya:
rod: I=1 / 12ML²;
silinder: I=1 / 2MR²;
sfera: I=2 / 5MR².
Di sini saya diberikan untuk paksi putaran, yang melalui pusat jisim badan. Dalam kes silinder, paksi adalah selari dengan penjana rajah. Momen inersia untuk jasad geometri lain dan pilihan untuk lokasi paksi putaran boleh didapati dalam jadual yang sepadan. Ambil perhatian bahawa untuk menentukan I angka yang berbeza, cukup untuk mengetahui hanya satu parameter geometri dan jisim badan.
Teorem dan formula Steiner
Momen inersia boleh ditentukan jika paksi putaran terletak agak jauh dari badan. Untuk melakukan ini, anda harus mengetahui panjang segmen ini dan nilai IObadan berbanding dengan paksi yang melalui pusat jisimnya, yang sepatutnya selari dengan yang di bawah pertimbangan. Mewujudkan sambungan antara parameter IO dan nilai I yang tidak diketahui ditetapkan dalam teorem Steiner. Momen inersia titik bahan dan jasad tegar ditulis secara matematik seperti berikut:
I=IO+ Mh2.
Di sini M ialah jisim badan, h ialah jarak dari pusat jisim ke paksi putaran, berbanding dengan mana ia perlu untuk mengira I. Ungkapan ini mudah diperolehi sendiri jika anda gunakan formula kamiran untuk I dan ambil kira bahawa semua titik badan berada pada jarak r=r0 + h.
Teorem Steiner sangat memudahkan takrifan I untuk banyak situasi praktikal. Sebagai contoh, jika anda perlu mencari I untuk rod dengan panjang L dan jisim M berkenaan dengan paksi yang melalui hujungnya, maka menggunakan teorem Steiner membolehkan anda menulis:
I=IO+ M(L / 2)2=1 / 12ML 2+ ML2 / 4=ML2 / 3.
Anda boleh merujuk kepada jadual yang sepadan dan lihat bahawa ia mengandungi betul-betul formula ini untuk batang nipis dengan paksi putaran di hujungnya.
Persamaan momen
Dalam fizik putaran terdapat formula yang dipanggil persamaan momen. Ia kelihatan seperti ini:
M=Sayaα.
Di sini M ialah momen daya, α ialah pecutan sudut. Seperti yang anda lihat, momen inersia titik material dan jasad tegar dan momen daya adalah berkaitan secara linear antara satu sama lain. Nilai M menentukan kemungkinan beberapa daya F untuk mencipta gerakan putaran dengan pecutan α dalam sistem. Untuk mengira M, gunakan ungkapan mudah berikut:
M=Fd.
Di mana d ialah bahu momen, yang sama dengan jarak dari vektor daya F ke paksi putaran. Semakin kecil lengan d, semakin kurang keupayaan daya untuk mencipta putaran sistem.
Persamaan momen dalam maknanya selaras sepenuhnya dengan hukum kedua Newton. Dalam kes ini, saya memainkan peranan sebagai jisim inersia.
Contoh penyelesaian masalah
Mari bayangkan sistem yang merupakan silinder yang dipasang pada paksi menegak dengan rod mendatar tanpa berat. Diketahui bahawa paksi putaran dan paksi utama silinder adalah selari antara satu sama lain, dan jarak antara mereka ialah 30 cm Jisim silinder ialah 1 kg, dan jejarinya ialah 5 cm Daya 10 N tangen kepada trajektori putaran bertindak pada rajah, vektor yang melalui paksi utama silinder. Ia adalah perlu untuk menentukan pecutan sudut rajah, yang akan menyebabkan daya ini.
Pertama, mari kita hitung momen inersia silinder I. Untuk melakukan ini, gunakan teorem Steiner, kita ada:
I=IO+ M d²=1 / 2MR² + Md²=1 / 210.05² + 10, 3²=0.09125 kgm².
Sebelum menggunakan persamaan momen, anda perlutentukan momen daya M. Dalam kes ini, kita ada:
M=Fd=100, 3=3 Nm.
Kini anda boleh menentukan pecutan:
α=M/I=3/0.09125 ≈ 32.9 rad/s².
Pecutan sudut yang dikira menunjukkan bahawa setiap saat kelajuan silinder akan meningkat sebanyak 5.2 pusingan sesaat.
