Untuk menentukan keselarian dan keserenjangan satah, serta untuk mengira jarak antara objek geometri ini, adalah mudah untuk menggunakan satu atau satu lagi jenis fungsi berangka. Untuk masalah apakah yang sesuai untuk menggunakan persamaan satah dalam segmen? Dalam artikel ini, kita akan melihat apa itu dan cara menggunakannya dalam tugas praktikal.
Apakah persamaan dalam segmen garis?
Satah boleh ditakrifkan dalam ruang 3D dalam beberapa cara. Dalam artikel ini, sebahagian daripadanya akan diberikan semasa menyelesaikan masalah pelbagai jenis. Di sini kami memberikan penerangan terperinci tentang persamaan dalam segmen satah. Ia biasanya mempunyai bentuk berikut:
x/p + y/q + z/r=1.
Di mana simbol p, q, r menunjukkan beberapa nombor tertentu. Persamaan ini boleh diterjemahkan dengan mudah ke dalam ungkapan umum dan ke dalam bentuk fungsi berangka lain untuk satah.
Kemudahan menulis persamaan dalam segmen terletak pada fakta bahawa ia mengandungi koordinat eksplisit persilangan satah dengan paksi koordinat serenjang. Pada paksi-xberbanding dengan asal, satah memotong segmen panjang p, pada paksi y - sama dengan q, pada z - panjang r.
Jika mana-mana daripada tiga pembolehubah tidak terkandung dalam persamaan, maka ini bermakna bahawa satah tidak melalui paksi yang sepadan (ahli matematik mengatakan bahawa ia melintasi pada infiniti).
Seterusnya, berikut ialah beberapa masalah yang kami akan tunjukkan cara menangani persamaan ini.
Komunikasi umum dan dalam segmen persamaan
Adalah diketahui bahawa pesawat itu diberikan oleh kesamaan berikut:
2x - 3y + z - 6=0.
Persamaan am satah ini perlu ditulis dalam segmen.
Apabila masalah yang sama timbul, anda perlu mengikuti teknik ini: kami memindahkan istilah bebas ke sebelah kanan kesaksamaan. Kemudian kami membahagikan keseluruhan persamaan dengan istilah ini, cuba menyatakannya dalam bentuk yang diberikan dalam perenggan sebelumnya. Kami ada:
2x - 3y + z=6=>
2x/6 - 3y/6 + z/6=1=>
x/3 + y/(-2) + z/6=1.
Kami telah memperoleh dalam segmen persamaan satah, yang diberikan pada mulanya dalam bentuk umum. Adalah ketara bahawa satah memotong segmen dengan panjang 3, 2 dan 6 untuk paksi x, y dan z, masing-masing. Paksi-y memotong satah di kawasan koordinat negatif.
Apabila membuat persamaan dalam segmen, adalah penting bahawa semua pembolehubah didahului dengan tanda "+". Hanya dalam kes ini, nombor pembahagian pembolehubah ini akan menunjukkan koordinat terputus pada paksi.
Vektor biasa dan titik pada satah
Adalah diketahui bahawa sesetengah satah mempunyai vektor arah (3; 0; -1). Ia juga diketahui bahawa ia melalui titik (1; 1; 1). Untuk satah ini, tulis persamaan dalam segmen.
Untuk menyelesaikan masalah ini, anda harus menggunakan bentuk umum untuk objek geometri dua dimensi ini dahulu. Bentuk umum ditulis sebagai:
Ax + By + Cz + D=0.
Tiga pekali pertama di sini ialah koordinat vektor panduan, yang dinyatakan dalam pernyataan masalah, iaitu:
A=3;
B=0;
C=-1.
Ia kekal untuk mencari istilah bebas D. Ia boleh ditentukan dengan formula berikut:
D=-1(Ax1+ By1+ Cz1).
Di mana nilai koordinat dengan indeks 1 sepadan dengan koordinat titik kepunyaan satah. Kami menggantikan nilai mereka dari keadaan masalah, kami mendapat:
D=-1(31 + 01 + (-1)1)=-2.
Kini anda boleh menulis persamaan penuh:
3x - z - 2=0.
Teknik untuk menukar ungkapan ini kepada persamaan dalam segmen satah telah ditunjukkan di atas. Gunakannya:
3x - z=2=>
x/(2/3) + z/(-2)=1.
Jawapan kepada masalah telah diterima. Ambil perhatian bahawa satah ini hanya bersilang dengan paksi x dan z. Untuk y ia selari.
Dua garis lurus yang menentukan satah
Daripada kursus geometri spatial, setiap pelajar tahu bahawa dua garis arbitrari secara unik mentakrifkan satah dalamruang tiga dimensi. Mari selesaikan masalah yang sama.
Dua persamaan garis diketahui:
(x; y; z)=(1; 0; 0) + α(2; -1; 0);
(x; y; z)=(1; -1; 0) + β(-1; 0; 1).
Persamaan satah perlu ditulis dalam segmen, melalui garisan ini.
Memandangkan kedua-dua garisan mesti terletak dalam satah, ini bermakna vektor (panduan)nya mestilah berserenjang dengan vektor (panduan) untuk satah. Pada masa yang sama, diketahui bahawa produk vektor dua segmen terarah sewenang-wenangnya memberikan hasil dalam bentuk koordinat ketiga, berserenjang dengan dua segmen asal. Memandangkan sifat ini, kami memperoleh koordinat vektor normal kepada satah yang dikehendaki:
[(2; -1; 0)(-1; 0; 1)]=(-1; -2; -1).
Memandangkan ia boleh didarab dengan nombor arbitrari, ini membentuk segmen terarah baharu selari dengan yang asal, kita boleh menggantikan tanda koordinat yang diperolehi dengan sebaliknya (darab dengan -1), kita dapat:
(1; 2; 1).
Kami tahu vektor arah. Ia kekal untuk mengambil titik sembarangan bagi salah satu garis lurus dan melukis persamaan am satah:
A=1;
B=2;
C=1;
D=-1(11 + 20 + 30)=-1;
x + 2y + z -1=0.
Menterjemah kesaksamaan ini kepada ungkapan dalam segmen, kami mendapat:
x + 2y + z=1=>
x/1 + y/(1/2) + z/1=1.
Oleh itu, satah bersilang ketiga-tiga paksi di kawasan positif sistem koordinat.
Tiga mata dan satah
Sama seperti dua garis lurus, tiga titik mentakrifkan satah secara unik dalam ruang tiga dimensi. Kami menulis persamaan yang sepadan dalam segmen jika koordinat titik berikut yang terletak dalam satah diketahui:
Q(1;-2;0);
P(2;-3;0);
M(4; 1; 0).
Mari kita lakukan yang berikut: hitung koordinat dua vektor arbitrari yang menghubungkan titik-titik ini, kemudian cari vektor n¯ normal kepada satah dengan mengira hasil darab segmen terarah yang ditemui. Kami mendapat:
QP¯=P - Q=(1; -1; 0);
QM¯=M - Q=(2; 4; 0);
n¯=[QP¯QM¯]=[(1; -1; 0)(2; 4; 0)]=(0; 0; 6).
Ambil titik P sebagai contoh, susun persamaan satah:
A=0;
B=0;
C=6;
D=-1(02 + 0(-3) + 60)=0;
6z=0 atau z=0.
Kami mendapat ungkapan ringkas yang sepadan dengan satah xy dalam sistem koordinat segi empat tepat yang diberikan. Ia tidak boleh ditulis dalam segmen, kerana paksi x dan y tergolong dalam satah, dan panjang segmen yang terputus pada paksi z ialah sifar (titik (0; 0; 0) kepunyaan satah).
