Ketaksamaan algebra atau sistemnya dengan pekali rasional yang penyelesaiannya dicari dalam nombor kamiran atau integer. Sebagai peraturan, bilangan yang tidak diketahui dalam persamaan Diophantine adalah lebih besar. Oleh itu, ia juga dikenali sebagai ketidaksamaan tidak tentu. Dalam matematik moden, konsep di atas digunakan untuk persamaan algebra yang penyelesaiannya dicari dalam integer algebra bagi beberapa lanjutan medan pembolehubah rasional Q, medan pembolehubah p-adic, dsb.
Asal-usul ketidaksamaan ini
Kajian persamaan Diophantine berada di sempadan antara teori nombor dan geometri algebra. Mencari penyelesaian dalam pembolehubah integer adalah salah satu masalah matematik tertua. Sudah pada awal milenium kedua SM. orang Babylon purba berjaya menyelesaikan sistem persamaan dengan dua yang tidak diketahui. Cabang matematik ini paling banyak berkembang di Greece purba. Aritmetik Diophantus (sekitar abad ke-3 Masihi) ialah sumber penting dan utama yang mengandungi pelbagai jenis dan sistem persamaan.
Dalam buku ini, Diophantus meramalkan beberapa kaedah untuk mengkaji ketaksamaan kedua dan ketigaijazah yang dibangunkan sepenuhnya pada abad ke-19. Penciptaan teori nombor rasional oleh penyelidik Yunani purba ini membawa kepada analisis penyelesaian logik kepada sistem tak tentu, yang diikuti secara sistematik dalam bukunya. Walaupun kerjanya mengandungi penyelesaian kepada persamaan Diophantine tertentu, ada sebab untuk mempercayai bahawa dia juga biasa dengan beberapa kaedah umum.
Kajian tentang ketidaksamaan ini biasanya dikaitkan dengan kesukaran yang serius. Disebabkan fakta bahawa ia mengandungi polinomial dengan pekali integer F (x, y1, …, y). Berdasarkan ini, kesimpulan dibuat bahawa tiada algoritma tunggal yang boleh digunakan untuk menentukan bagi mana-mana x tertentu sama ada persamaan F (x, y1, …., y ). Situasi ini boleh diselesaikan untuk y1, …, y . Contoh polinomial tersebut boleh ditulis.
Ketaksamaan paling mudah
ax + by=1, dengan a dan b secara relatifnya integer dan nombor perdana, ia mempunyai bilangan pelaksanaan yang besar (jika x0, y0 hasil terbentuk, kemudian pasangan pembolehubah x=x0 + b dan y=y0 -an, apabila n adalah sewenang-wenangnya, juga akan dianggap sebagai ketaksamaan). Contoh lain persamaan Diophantine ialah x2 + y2 =z2. Penyelesaian kamiran positif bagi ketaksamaan ini ialah panjang sisi kecil x, y dan segi tiga tegak, serta hipotenus z dengan dimensi sisi integer. Nombor ini dikenali sebagai nombor Pythagoras. Semua kembar tiga berkenaan dengan bilangan perdana ditunjukkanpembolehubah di atas diberikan oleh x=m2 – n2, y=2mn, z=m2+ n2, dengan m dan n ialah integer dan nombor perdana (m>n>0).
Diophantus dalam pencarian Aritmetiknya mencari penyelesaian rasional (tidak semestinya kamiran) bagi jenis ketaksamaan khasnya. Teori umum untuk menyelesaikan persamaan diophantine darjah pertama telah dibangunkan oleh C. G. Baschet pada abad ke-17. Para saintis lain pada awal abad ke-19 terutamanya mengkaji ketaksamaan yang serupa seperti ax2 +bxy + cy2 + dx +ey +f=0, di mana a, b, c, d, e, dan f adalah umum, heterogen, dengan dua tidak diketahui darjah kedua. Lagrange menggunakan pecahan berterusan dalam kajiannya. Gauss untuk bentuk kuadratik membangunkan teori umum yang mendasari beberapa jenis penyelesaian.
Dalam kajian ketidaksamaan tahap kedua ini, kemajuan ketara hanya dicapai pada abad ke-20. A. Thue mendapati bahawa persamaan Diophantine a0x + a1xn- 1 y +…+a y =c, di mana n≧3, a0, …, a , c adalah integer dan a0tn + …+ a tidak boleh mempunyai bilangan penyelesaian integer yang tidak terhingga. Walau bagaimanapun, kaedah Thue tidak dibangunkan dengan betul. A. Baker mencipta teorem berkesan yang memberikan anggaran prestasi beberapa persamaan seperti ini. BN Delaunay mencadangkan satu lagi kaedah penyiasatan yang boleh digunakan untuk kelas yang lebih sempit daripada ketidaksamaan ini. Khususnya, borang ax3 + y3 =1 boleh diselesaikan sepenuhnya dengan cara ini.
Persamaan diophantine: kaedah penyelesaian
Teori Diophantus mempunyai banyak hala tuju. Oleh itu, masalah yang terkenal dalam sistem ini ialah hipotesis bahawa tiada penyelesaian bukan remeh bagi persamaan Diophantine xn + y =z n jika n ≧ 3 (Soalan Fermat). Kajian tentang pemenuhan integer bagi ketaksamaan adalah generalisasi semula jadi bagi masalah kembar tiga Pythagoras. Euler memperoleh penyelesaian positif bagi masalah Fermat untuk n=4. Berdasarkan keputusan ini, ia merujuk kepada bukti integer yang hilang, kajian bukan sifar bagi persamaan jika n ialah nombor perdana ganjil.
Kajian berkenaan keputusan itu belum selesai. Kesukaran pelaksanaannya adalah berkaitan dengan fakta bahawa pemfaktoran mudah dalam gelang integer algebra bukanlah unik. Teori pembahagi dalam sistem ini untuk banyak kelas eksponen utama n memungkinkan untuk mengesahkan kesahihan teorem Fermat. Oleh itu, persamaan Diophantine linear dengan dua yang tidak diketahui dipenuhi oleh kaedah dan cara sedia ada.
Jenis dan jenis tugasan yang diterangkan
Aritmetik cincin integer algebra juga digunakan dalam banyak masalah lain dan penyelesaian persamaan Diophantine. Sebagai contoh, kaedah sedemikian digunakan apabila memenuhi ketaksamaan dalam bentuk N(a1 x1 +…+ a x)=m, dengan N(a) ialah norma a dan x1, …, xn pembolehubah rasional bersepadu ditemui. Kelas ini termasuk persamaan Pell x2–dy2=1.
Nilai a1, …, a yang muncul, persamaan ini dibahagikan kepada dua jenis. Jenis pertama - yang dipanggil bentuk lengkap - termasuk persamaan di mana antara a terdapat m nombor bebas linear di atas medan pembolehubah rasional Q, dengan m=[Q(a1, …, a):Q], di mana terdapat darjah eksponen algebra Q (a1, …, a ) di atas Q. Spesies yang tidak lengkap ialah yang berada dalam yang mana bilangan maksimum a i kurang daripada m.
Borang penuh adalah lebih mudah, kajiannya lengkap, dan semua penyelesaian boleh diterangkan. Jenis kedua, spesies tidak lengkap, adalah lebih rumit, dan pembangunan teori sedemikian masih belum selesai. Persamaan sedemikian dikaji menggunakan anggaran Diophantine, yang termasuk ketaksamaan F(x, y)=C, dengan F (x, y) ialah polinomial homogen tidak boleh dikurangkan bagi darjah n≧3. Oleh itu, kita boleh mengandaikan bahawa yi→∞. Sehubungan itu, jika yi cukup besar, maka ketaksamaan akan bercanggah dengan teorem Thue, Siegel dan Roth, dari mana ia mengikuti bahawa F(x, y)=C, di mana F ialah bentuk darjah ketiga atau lebih tinggi, yang tidak boleh dikurangkan tidak boleh mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga.
Bagaimana untuk menyelesaikan persamaan Diophantine?
Contoh ini adalah kelas yang agak sempit di kalangan semua. Contohnya, walaupun kesederhanaannya, x3 + y3 + z3=N dan x2 +y 2 +z2 +u2 =N tidak termasuk dalam kelas ini. Kajian penyelesaian adalah cabang persamaan Diophantine yang dikaji dengan agak teliti, di mana asasnya ialah perwakilan dengan bentuk kuadratik nombor. Lagrangemencipta teorem yang mengatakan bahawa pemenuhan wujud untuk semua N asli. Sebarang nombor asli boleh diwakili sebagai hasil tambah tiga kuasa dua (teorem Gauss), tetapi ia tidak sepatutnya dalam bentuk 4a (8K- 1), dengan a dan k ialah eksponen integer bukan negatif.
Penyelesaian rasional atau integral kepada sistem persamaan Diophantine jenis F (x1, …, x)=a, dengan F (x 1, …, x) ialah bentuk kuadratik dengan pekali integer. Oleh itu, menurut teorem Minkowski-Hasse, ketaksamaan ∑aijxixj=b ijdan b adalah rasional, mempunyai penyelesaian kamiran dalam nombor nyata dan p-adic bagi setiap nombor perdana p hanya jika ia boleh diselesaikan dalam struktur ini.
Disebabkan kesukaran yang wujud, kajian nombor dengan bentuk arbitrari darjah ketiga dan ke atas telah dikaji pada tahap yang lebih rendah. Kaedah pelaksanaan utama ialah kaedah jumlah trigonometri. Dalam kes ini, bilangan penyelesaian kepada persamaan ditulis secara eksplisit dalam sebutan kamiran Fourier. Selepas itu, kaedah persekitaran digunakan untuk menyatakan bilangan pemenuhan ketaksamaan kekongruenan yang sepadan. Kaedah jumlah trigonometri bergantung pada ciri algebra bagi ketaksamaan. Terdapat sejumlah besar kaedah asas untuk menyelesaikan persamaan Diophantine linear.
Analisis diophantine
Jabatan matematik, subjeknya ialah kajian penyelesaian kamiran dan rasional bagi sistem persamaan algebra dengan kaedah geometri, daripada kaedah yang samasfera. Pada separuh kedua abad ke-19, kemunculan teori nombor ini membawa kepada kajian persamaan Diophantine dari medan sewenang-wenangnya dengan pekali, dan penyelesaian dipertimbangkan sama ada di dalamnya atau dalam cincinnya. Sistem fungsi algebra dibangunkan selari dengan nombor. Analogi asas antara kedua-duanya, yang ditekankan oleh D. Hilbert dan, khususnya, L. Kronecker, membawa kepada pembinaan seragam pelbagai konsep aritmetik, yang biasanya dipanggil global.
Ini amat ketara jika fungsi algebra yang dikaji ke atas medan pemalar terhingga ialah satu pembolehubah. Konsep seperti teori medan kelas, pembahagi, dan percabangan dan keputusan adalah ilustrasi yang baik tentang perkara di atas. Pandangan ini diterima pakai dalam sistem ketidaksamaan Diophantine hanya kemudian, dan penyelidikan sistematik bukan sahaja dengan pekali berangka, tetapi juga dengan pekali yang merupakan fungsi, hanya bermula pada tahun 1950-an. Salah satu faktor penentu dalam pendekatan ini ialah pembangunan geometri algebra. Kajian serentak bidang nombor dan fungsi, yang timbul sebagai dua aspek yang sama penting dalam subjek yang sama, bukan sahaja memberikan hasil yang elegan dan meyakinkan, tetapi membawa kepada pengayaan bersama kedua-dua topik.
Dalam geometri algebra, tanggapan varieti digantikan dengan set ketaksamaan bukan invarian di atas medan K tertentu, dan penyelesaiannya digantikan dengan titik rasional dengan nilai dalam K atau dalam lanjutan terhingganya. Seseorang boleh dengan sewajarnya mengatakan bahawa masalah asas geometri Diophantine ialah kajian mata rasionalbagi set algebra X(K), manakala X ialah nombor tertentu dalam medan K. Pelaksanaan integer mempunyai makna geometri dalam persamaan Diophantine linear.
Kajian ketidaksamaan dan pilihan pelaksanaan
Apabila mengkaji mata rasional (atau kamiran) pada varieti algebra, masalah pertama timbul, iaitu kewujudannya. Masalah kesepuluh Hilbert dirumuskan sebagai masalah mencari kaedah umum untuk menyelesaikan masalah ini. Dalam proses mencipta definisi algoritma yang tepat dan selepas terbukti bahawa tidak ada pelaksanaan sedemikian untuk sejumlah besar masalah, masalah itu memperoleh hasil negatif yang jelas, dan soalan yang paling menarik ialah definisi kelas persamaan Diophantine yang mana sistem di atas wujud. Pendekatan yang paling semula jadi, dari sudut pandangan algebra, adalah apa yang dipanggil prinsip Hasse: medan awal K dikaji bersama dengan penyiapannya Kv atas semua anggaran yang mungkin. Memandangkan X(K)=X(Kv) ialah syarat yang diperlukan untuk kewujudan, dan titik K mengambil kira set X(Kv) tidak kosong untuk semua v.
Kepentingan terletak pada fakta bahawa ia menyatukan dua masalah. Yang kedua adalah lebih mudah, ia boleh diselesaikan oleh algoritma yang diketahui. Dalam kes tertentu di mana varieti X adalah unjuran, lemma Hansel dan generalisasinya memungkinkan pengurangan selanjutnya: masalah boleh dikurangkan kepada kajian titik rasional di atas medan terhingga. Kemudian dia memutuskan untuk membina konsep sama ada melalui penyelidikan yang konsisten atau kaedah yang lebih berkesan.
Terakhirpertimbangan penting ialah set X(Kv) tidak kosong untuk semua kecuali bilangan v yang terhingga, jadi bilangan syarat sentiasa terhingga dan ia boleh diuji dengan berkesan. Walau bagaimanapun, prinsip Hasse tidak terpakai pada lengkung darjah. Contohnya, 3x3 + 4y3=5 mempunyai mata dalam semua medan nombor p-adic dan dalam sistem nombor nyata, tetapi tidak mempunyai titik rasional.
Kaedah ini berfungsi sebagai titik permulaan untuk membina konsep yang menerangkan kelas ruang homogen utama varieti Abelian untuk melakukan "penyimpangan" daripada prinsip Hasse. Ia diterangkan dari segi struktur khas yang boleh dikaitkan dengan setiap manifold (kumpulan Tate-Shafarevich). Kesukaran utama teori ini terletak pada fakta bahawa kaedah untuk mengira kumpulan sukar diperoleh. Konsep ini juga telah diperluaskan kepada kelas varieti algebra yang lain.
Cari algoritma untuk memenuhi ketidaksamaan
Idea heuristik lain yang digunakan dalam kajian persamaan Diophantine ialah jika bilangan pembolehubah yang terlibat dalam set ketaksamaan adalah besar, maka sistem biasanya mempunyai penyelesaian. Walau bagaimanapun, ini sangat sukar untuk dibuktikan untuk mana-mana kes tertentu. Pendekatan umum untuk masalah jenis ini menggunakan teori nombor analitik dan berdasarkan anggaran untuk jumlah trigonometri. Kaedah ini pada asalnya digunakan pada jenis persamaan khas.
Namun, kemudiannya terbukti dengan bantuannya bahawa jika bentuk darjah ganjil ialah F, dalam ddan n pembolehubah dan dengan pekali rasional, maka n adalah cukup besar berbanding dengan d, jadi permukaan hiper unjuran F=0 mempunyai titik rasional. Menurut sangkaan Artin, keputusan ini adalah benar walaupun n > d2. Ini hanya telah dibuktikan untuk bentuk kuadratik. Masalah yang sama boleh ditanya untuk bidang lain juga. Masalah utama geometri Diophantine ialah struktur set integer atau titik rasional dan kajiannya, dan soalan pertama yang perlu dijelaskan ialah sama ada set ini adalah terhingga. Dalam masalah ini, keadaan biasanya mempunyai bilangan pelaksanaan yang terhad jika darjah sistem jauh lebih besar daripada bilangan pembolehubah. Ini adalah andaian asas.
Ketaksamaan pada garisan dan lengkung
Kumpulan X(K) boleh diwakili sebagai jumlah langsung bagi struktur bebas pangkat r dan kumpulan terhingga susunan n. Sejak tahun 1930-an, persoalan sama ada nombor ini disempadani pada set semua lengkung elips di atas medan K tertentu telah dikaji. Batasan kilasan n telah ditunjukkan pada tahun tujuh puluhan. Terdapat lengkung pangkat tinggi sewenang-wenangnya dalam kes berfungsi. Dalam kes berangka, masih tiada jawapan untuk soalan ini.
Akhirnya, sangkaan Mordell menyatakan bahawa bilangan titik kamiran adalah terhingga untuk lengkung genus g>1. Dalam kes fungsional, konsep ini ditunjukkan oleh Yu. I. Manin pada tahun 1963. Alat utama yang digunakan dalam membuktikan teorem keterhinggaan dalam geometri Diophantine ialah ketinggian. Daripada varieti algebra, dimensi di atas satu ialah abelianmanifold, yang merupakan analog berbilang dimensi bagi lengkung elips, telah dikaji dengan teliti.
A. Weil menyamaratakan teorem tentang keterbatasan bilangan penjana sekumpulan titik rasional kepada varieti Abelian bagi sebarang dimensi (konsep Mordell-Weil), memanjangkannya. Pada tahun 1960-an, tekaan Birch dan Swinnerton-Dyer muncul, memperbaiki ini dan kumpulan dan fungsi zeta manifold. Bukti berangka menyokong hipotesis ini.
Masalah kebolehlarutan
Masalah mencari algoritma yang boleh digunakan untuk menentukan sama ada mana-mana persamaan Diophantine mempunyai penyelesaian. Ciri penting masalah yang dikemukakan ialah mencari kaedah universal yang sesuai untuk sebarang ketidaksamaan. Kaedah sedemikian juga akan membenarkan penyelesaian sistem di atas, kerana ia bersamaan dengan P21+⋯+P2k=0.p1=0, …, PK=0p=0, …, pK=0 atau p21+ ⋯ + P2K=0. n12+⋯+pK2=0. Masalah mencari cara universal untuk mencari penyelesaian bagi ketaksamaan linear dalam integer telah dikemukakan oleh D. Gilbert.
Pada awal 1950-an, kajian pertama muncul bertujuan untuk membuktikan ketiadaan algoritma untuk menyelesaikan persamaan Diophantine. Pada masa ini, tekaan Davis muncul, yang mengatakan bahawa mana-mana set yang terhitung juga adalah milik saintis Yunani. Kerana contoh set yang tidak boleh ditentukan secara algoritma diketahui, tetapi boleh dikira secara rekursif. Ia berikutan bahawa sangkaan Davis adalah benar dan masalah kebolehlarutan persamaan inimempunyai pelaksanaan negatif.
Selepas itu, untuk sangkaan Davis, ia kekal untuk membuktikan bahawa terdapat kaedah untuk mengubah ketidaksamaan yang juga (atau tidak) pada masa yang sama mempunyai penyelesaian. Telah ditunjukkan bahawa perubahan persamaan Diophantine adalah mungkin jika ia mempunyai dua sifat di atas: 1) dalam sebarang penyelesaian jenis ini v ≦ uu; 2) untuk mana-mana k, terdapat pelaksanaan dengan pertumbuhan eksponen.
Contoh persamaan Diophantine linear kelas ini melengkapkan bukti. Masalah kewujudan algoritma untuk kebolehlarutan dan pengecaman ketaksamaan ini dalam nombor rasional masih dianggap sebagai persoalan penting dan terbuka yang belum dikaji dengan secukupnya.
