Cara mencari nilai ungkapan dengan akar: jenis masalah, kaedah penyelesaian, contoh

2024 Pengarang: Angel Austin | [email protected]. Diubah suai terakhir: 2023-12-17 05:36

Keupayaan untuk bekerja dengan ungkapan berangka yang mengandungi punca kuasa dua diperlukan untuk penyelesaian yang berjaya bagi beberapa masalah daripada OGE dan USE. Dalam peperiksaan ini, pemahaman asas tentang pengekstrakan akar dan cara ia dilakukan dalam amalan biasanya mencukupi.

Definisi

Punca ke-n bagi nombor X ialah nombor x yang kesamaannya adalah benar: xⁿ =X.

Mencari nilai ungkapan dengan akar bermakna mencari x diberi X dan n.

Punca kuasa dua atau, yang sama, punca kedua X - nombor x yang kesamaannya dipenuhi: x² =X.

Penetapan: ∛Х. Di sini 3 ialah darjah akar, X ialah ungkapan akar. Tanda '√' selalunya dipanggil radikal.

Jika nombor di atas punca tidak menunjukkan darjah, maka lalai ialah darjah 2.

Dalam kursus sekolah untuk ijazah genap, akar negatif dan ungkapan radikal biasanya tidak dipertimbangkan. Sebagai contoh, tidak ada√-2, dan untuk ungkapan √4, jawapan yang betul ialah 2, walaupun fakta bahawa (-2)² juga sama dengan 4.

Rasionalitas dan ketidakrasionalan akar

Tugas paling mudah dengan akar ialah mencari nilai ungkapan atau mengujinya untuk rasional.

Sebagai contoh, hitung nilai √25; ∛8; ∛-125:

• √25=5 kerana 5² =25;
• ∛8=2 kerana 2³ =8;
• ∛ - 125=-5 sejak (-5)³ =-125.

Jawapan dalam contoh yang diberikan ialah nombor rasional.

Apabila bekerja dengan ungkapan yang tidak mengandungi pemalar dan pembolehubah literal, adalah disyorkan untuk sentiasa melakukan semakan sedemikian menggunakan operasi songsang menaikkan kepada kuasa semula jadi. Mencari nombor x kepada kuasa ke-n adalah bersamaan dengan mengira hasil darab n faktor x.

Terdapat banyak ungkapan dengan punca, yang nilainya tidak rasional, iaitu, ditulis sebagai pecahan tak berkala tak terhingga.

Mengikut takrifan, rasional ialah pecahan yang boleh dinyatakan sebagai pecahan biasa, dan tak rasional ialah semua nombor nyata yang lain.

Ini termasuk √24, √0, 1, √101.

Jika buku masalah menyatakan: cari nilai ungkapan dengan punca 2, 3, 5, 6, 7, dsb., iaitu, daripada nombor asli yang tidak terkandung dalam jadual segi empat sama, maka jawapan yang betul ialah √ 2 mungkin ada (kecuali dinyatakan sebaliknya).

Menilai

Dalam masalah denganjawapan terbuka, jika mustahil untuk mencari nilai ungkapan dengan akar dan menulisnya sebagai nombor rasional, hasilnya harus dibiarkan sebagai radikal.

Sesetengah tugasan mungkin memerlukan penilaian. Sebagai contoh, bandingkan 6 dan √37. Penyelesaiannya memerlukan kuasa dua nombor dan membandingkan hasilnya. Daripada dua nombor, satu yang kuasa duanya lebih besar adalah lebih besar. Peraturan ini berfungsi untuk semua nombor positif:

• 6² =36;
• 37² =37;
• 37 >36;
• bermaksud √37 > 6.

Dengan cara yang sama, masalah diselesaikan di mana beberapa nombor mesti disusun dalam tertib menaik atau menurun.

Contoh: Susun 5, √6, √48, √√64 dalam tertib menaik.

Selepas kuasa dua, kita ada: 25, 6, 48, √64. Seseorang boleh kuasa duakan semua nombor sekali lagi untuk membandingkannya dengan √64, tetapi ia sama dengan nombor rasional 8. 6 < 8 < 25 < 48, jadi penyelesaiannya ialah: 48.

Memudahkan ungkapan

Ia berlaku bahawa adalah mustahil untuk mencari nilai ungkapan dengan akar, jadi ia mesti dipermudahkan. Formula berikut membantu dengan ini:

√ab=√a√b.

Punca hasil darab dua nombor adalah sama dengan hasil darab puncanya. Operasi ini juga memerlukan keupayaan untuk memfaktorkan nombor.

Pada peringkat awal, untuk mempercepatkan kerja, adalah disyorkan untuk mempunyai jadual nombor perdana dan petak di tangan. Jadual ini dengan kerappenggunaan pada masa hadapan akan diingati.

Sebagai contoh, √242 ialah nombor tidak rasional, anda boleh menukarnya seperti ini:

• 242=2 × 121;
• √242=√(2 × 121);
• √2 × √121=√2 × 11.

Biasanya keputusan ditulis sebagai 11√2 (baca: sebelas punca daripada dua).

Jika sukar untuk segera melihat dua faktor yang mana satu nombor perlu diuraikan supaya akar semula jadi boleh diekstrak daripada salah satu daripadanya, anda boleh menggunakan penguraian penuh menjadi faktor perdana. Jika nombor perdana yang sama berlaku dua kali dalam pengembangan, ia dikeluarkan daripada tanda akar. Apabila terdapat banyak faktor, anda boleh mengekstrak akar dalam beberapa langkah.

Contoh: √2400=√(2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5). Nombor 2 berlaku dalam pengembangan 2 kali (sebenarnya, lebih daripada dua kali, tetapi kami masih berminat dengan dua kejadian pertama dalam pengembangan).

Kami mengeluarkannya dari bawah tanda akar:

√(2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5)=2√(2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5).

Ulangi tindakan yang sama:

2√(2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5)=2 × 2√(2 × 3 × 5 × 5).

Dalam ungkapan radikal yang selebihnya, 2 dan 3 berlaku sekali, jadi ia kekal untuk mengambil faktor 5:

2 × 2√(2 × 3 × 5 × 5)=5 × 2 × 2√(2 × 3);

dan lakukan operasi aritmetik:

5 × 2 × 2√(2 × 3)=20√6.

Jadi, kita dapat √2400=20√6.

Jika tugasan tidak menyatakan secara eksplisit: "cari nilai ungkapan dengan punca kuasa dua", maka pilihan,dalam bentuk apa untuk meninggalkan jawapan (sama ada untuk mengekstrak akar dari bawah radikal) kekal dengan pelajar dan mungkin bergantung pada masalah yang diselesaikan.

Pada mulanya, keperluan tinggi diletakkan pada reka bentuk tugas, pengiraan, termasuk lisan atau bertulis, tanpa menggunakan cara teknikal.

Hanya selepas penguasaan peraturan yang baik untuk bekerja dengan ungkapan berangka yang tidak rasional, masuk akal untuk beralih kepada ungkapan literal yang lebih sukar dan untuk menyelesaikan persamaan tidak rasional dan mengira julat nilai yang mungkin bagi ungkapan di bawah radikal.

Pelajar menghadapi masalah jenis ini pada Peperiksaan Negeri Bersepadu dalam matematik, serta pada tahun pertama universiti khusus apabila mempelajari analisis matematik dan disiplin berkaitan.