Salah satu cabang matematik yang membolehkan pelajar sekolah menghadapi kesukaran yang paling besar ialah trigonometri. Tidak hairanlah: untuk menguasai bidang pengetahuan ini secara bebas, anda memerlukan pemikiran spatial, keupayaan untuk mencari sinus, kosinus, tangen, kotangen menggunakan formula, memudahkan ungkapan, dan dapat menggunakan nombor pi dalam pengiraan. Di samping itu, anda perlu boleh menggunakan trigonometri semasa membuktikan teorem, dan ini memerlukan sama ada ingatan matematik yang dibangunkan atau keupayaan untuk menyimpulkan rantai logik yang kompleks.
Asal-usul Trigonometri
Pengenalan kepada sains ini harus dimulakan dengan takrif sinus, kosinus dan tangen sesuatu sudut, tetapi pertama sekali anda perlu mengetahui perkara yang dilakukan oleh trigonometri secara umum.
Secara sejarah, segi tiga tepat telah menjadi objek utama penyelidikan dalam bahagian sains matematik ini. Kehadiran sudut 90 darjah memungkinkan untuk menjalankan pelbagai operasi yang membolehkan duasisi dan satu sudut atau dua sudut dan satu sisi untuk menentukan nilai semua parameter rajah berkenaan. Pada masa lalu, orang ramai melihat corak ini dan mula menggunakannya secara aktif dalam pembinaan bangunan, navigasi, astronomi dan juga seni.
Permulaan
Pada mulanya, orang bercakap tentang hubungan sudut dan sisi secara eksklusif pada contoh segi tiga tegak. Kemudian formula khas ditemui, yang memungkinkan untuk meluaskan sempadan penggunaan dalam kehidupan seharian bahagian matematik ini.
Kajian trigonometri di sekolah hari ini bermula dengan segi tiga tepat, selepas itu pengetahuan yang diperoleh digunakan oleh pelajar dalam fizik dan menyelesaikan persamaan trigonometri abstrak, kerja yang bermula di sekolah menengah.
Tigagonometri sfera
Kemudian, apabila sains mencapai tahap perkembangan seterusnya, formula dengan sinus, kosinus, tangen, kotangen mula digunakan dalam geometri sfera, di mana peraturan lain digunakan, dan jumlah sudut dalam segitiga sentiasa lebih daripada 180 darjah. Bahagian ini tidak dipelajari di sekolah, tetapi perlu mengetahui tentang kewujudannya, sekurang-kurangnya kerana permukaan bumi, dan permukaan mana-mana planet lain, adalah cembung, yang bermaksud bahawa sebarang tanda permukaan akan menjadi "berbentuk arka. " dalam ruang tiga dimensi.
Ambil glob dan benang. Pasangkan benang pada mana-mana dua titik pada glob supaya ia tegang. Beri perhatian - ia telah memperoleh bentuk arka. Ia berkaitan dengan bentuk sedemikiangeometri sfera yang digunakan dalam geodesi, astronomi dan bidang teori dan gunaan lain.
Segitiga kanan
Setelah mempelajari serba sedikit cara menggunakan trigonometri, mari kembali kepada asas trigonometri untuk memahami lebih lanjut apakah itu sinus, kosinus, tangen, apakah pengiraan yang boleh dilakukan dengan bantuan mereka dan formula apa yang perlu digunakan.
Pertama sekali, anda perlu memahami konsep yang berkaitan dengan segi tiga tepat. Pertama, hipotenus ialah sisi yang bertentangan dengan sudut 90 darjah. Dia yang paling lama. Kami ingat bahawa menurut teorem Pythagoras, nilai berangkanya adalah sama dengan punca hasil tambah kuasa dua dua sisi yang lain.
Sebagai contoh, jika dua sisi masing-masing ialah 3 dan 4 sentimeter, panjang hipotenus ialah 5 sentimeter. Ngomong-ngomong, orang Mesir purba tahu tentang perkara ini kira-kira empat setengah ribu tahun yang lalu.
Dua sisi yang tinggal membentuk sudut tegak dipanggil kaki. Di samping itu, kita mesti ingat bahawa jumlah sudut dalam segitiga dalam sistem koordinat segi empat tepat ialah 180 darjah.
Definisi
Akhir sekali, dengan pemahaman yang kukuh tentang tapak geometri, kita boleh beralih kepada takrif sinus, kosinus dan tangen sesuatu sudut.
sinus sudut ialah nisbah kaki bertentangan (iaitu, sisi bertentangan dengan sudut yang dikehendaki) kepada hipotenus. Kosinus sudut ialah nisbah kaki bersebelahan dengan hipotenus.
Ingat bahawa sinus atau kosinus tidak boleh lebih besar daripada satu! kenapa?Kerana hipotenus secara lalai ialah sisi terpanjang bagi segi tiga tegak. Tidak kira berapa panjang kaki itu, ia akan lebih pendek daripada hipotenus, yang bermaksud nisbah mereka akan sentiasa kurang daripada satu. Oleh itu, jika anda mendapat sinus atau kosinus dengan nilai lebih besar daripada 1 dalam jawapan kepada masalah, cari ralat dalam pengiraan atau penaakulan. Jawapan ini jelas salah.
Akhir sekali, tangen suatu sudut ialah nisbah sisi bertentangan dengan sisi bersebelahan. Keputusan yang sama akan memberikan pembahagian sinus dengan kosinus. Lihat: mengikut formula, kita bahagikan panjang sisi dengan hipotenus, selepas itu kita bahagikan dengan panjang sisi kedua dan darab dengan hipotenus. Oleh itu, kita mendapat nisbah yang sama seperti dalam takrif tangen.
Cotangent, masing-masing, ialah nisbah sisi yang bersebelahan dengan sudut ke sisi bertentangan. Kami mendapat hasil yang sama dengan membahagikan unit dengan tangen.
Jadi, kami telah mempertimbangkan takrifan sinus, kosinus, tangen dan kotangen, dan kami boleh berurusan dengan formula.
Formula ringkas
Dalam trigonometri seseorang tidak boleh melakukan tanpa formula - bagaimana untuk mencari sinus, kosinus, tangen, kotangen tanpa formula? Tetapi inilah yang diperlukan semasa menyelesaikan masalah.
Formula pertama yang anda perlu tahu apabila mula belajar trigonometri mengatakan bahawa jumlah kuasa dua sinus dan kosinus sudut adalah sama dengan satu. Formula ini adalah akibat langsung daripada teorem Pythagoras, tetapi ia menjimatkan masa jika anda perlu mengetahui nilai sudut, bukan sisi.
Ramai pelajar tidak ingat formula kedua, juga sangatpopular dalam menyelesaikan masalah sekolah: jumlah satu dan kuasa dua tangen suatu sudut adalah sama dengan satu dibahagikan dengan kuasa dua kosinus sudut itu. Lihat lebih dekat: lagipun, ini adalah pernyataan yang sama seperti dalam formula pertama, hanya kedua-dua belah identiti dibahagikan dengan kuasa dua kosinus. Ternyata operasi matematik yang mudah menjadikan formula trigonometri tidak dapat dikenali sepenuhnya. Ingat: mengetahui apa itu sinus, kosinus, tangen dan kotangen, peraturan penukaran dan beberapa formula asas, anda boleh pada bila-bila masa secara bebas memperoleh formula yang lebih kompleks yang diperlukan pada sehelai kertas.
Formula sudut berganda dan penambahan hujah
Dua lagi formula untuk dipelajari adalah berkaitan dengan nilai sinus dan kosinus untuk jumlah dan perbezaan sudut. Mereka ditunjukkan dalam rajah di bawah. Sila ambil perhatian bahawa dalam kes pertama, sinus dan kosinus didarab kedua-dua kali, dan dalam kes kedua, hasil darab berpasangan sinus dan kosinus ditambah.
Terdapat juga formula yang dikaitkan dengan argumen sudut dua. Ia sepenuhnya diperoleh daripada yang sebelumnya - sebagai amalan, cuba dapatkannya sendiri, ambil sudut alfa sama dengan sudut beta.
Akhir sekali, ambil perhatian bahawa formula sudut berganda boleh ditukar untuk mengurangkan darjah sinus, kosinus, alfa tangen.
Teorem
Dua teorem utama dalam trigonometri asas ialah teorem sinus dan teorem kosinus. Dengan bantuan teorem ini, anda boleh dengan mudah memahami cara mencari sinus, kosinus dan tangen, dan dengan itu luas angka itu, dan magnitudsetiap sisi, dsb.
Teorem sinus menyatakan bahawa hasil daripada membahagikan panjang setiap sisi segitiga dengan nilai sudut bertentangan, kita mendapat nombor yang sama. Selain itu, nombor ini akan sama dengan dua jejari bulatan yang dihadkan, iaitu bulatan yang mengandungi semua titik segi tiga yang diberikan.
Teorem kosinus menyamaratakan teorem Pythagoras, mengunjurkannya ke mana-mana segi tiga. Ternyata daripada jumlah segi empat sama kedua-dua belah, tolak hasil darabnya dengan kosinus berganda sudut yang bersebelahan dengannya - nilai yang terhasil akan sama dengan kuasa dua sisi ketiga. Oleh itu, teorem Pythagoras ternyata menjadi kes khas teorem kosinus.
Kesilapan kerana kurang perhatian
Walaupun mengetahui apa itu sinus, kosinus dan tangen, adalah mudah untuk melakukan kesilapan disebabkan oleh ketiadaan fikiran atau kesilapan dalam pengiraan yang paling mudah. Untuk mengelakkan kesilapan sedemikian, mari kita lihat yang paling popular.
Pertama sekali, jangan tukar pecahan biasa kepada perpuluhan sebelum mendapat keputusan akhir - anda boleh meninggalkan jawapan sebagai pecahan biasa, melainkan dinyatakan sebaliknya dalam keadaan. Transformasi sedemikian tidak boleh dipanggil kesilapan, tetapi harus diingat bahawa pada setiap peringkat tugas, akar baru mungkin muncul, yang, menurut idea pengarang, harus dikurangkan. Dalam kes ini, anda akan membuang masa pada operasi matematik yang tidak perlu. Ini benar terutamanya untuk nilai seperti akar tiga atau dua, kerana ia berlaku dalam tugasan pada setiap langkah. Begitu juga dengan pembundaran. Nombor "hodoh".
Seterusnya, ambil perhatian bahawa teorem kosinus digunakan untuk mana-mana segi tiga, tetapi bukan teorem Pythagoras! Jika anda tersilap terlupa untuk menolak dua kali hasil darab sisi yang didarab dengan kosinus sudut di antara mereka, anda bukan sahaja akan mendapat hasil yang salah sepenuhnya, tetapi juga menunjukkan salah faham sepenuhnya tentang subjek. Ini lebih teruk daripada kesilapan sambil lewa.
Ketiga, jangan mengelirukan nilai untuk sudut 30 dan 60 darjah untuk sinus, kosinus, tangen, kotangen. Ingat nilai ini, kerana sinus 30 darjah adalah sama dengan kosinus 60, dan sebaliknya. Mudah untuk mencampurkannya dan anda pasti akan mendapat hasil yang salah.
Permohonan
Ramai pelajar tidak tergesa-gesa untuk mula mempelajari trigonometri, kerana mereka tidak memahami maksud penggunaannya. Apakah sinus, kosinus, tangen untuk seorang jurutera atau ahli astronomi? Ini adalah konsep terima kasih yang anda boleh mengira jarak ke bintang yang jauh, meramalkan kejatuhan meteorit, menghantar siasatan penyelidikan ke planet lain. Tanpa mereka, adalah mustahil untuk membina bangunan, mereka bentuk kereta, mengira beban di permukaan atau trajektori objek. Dan ini hanyalah contoh yang paling jelas! Lagipun, trigonometri dalam satu bentuk atau yang lain digunakan di mana-mana, daripada muzik kepada perubatan.
Kesimpulannya
Jadi, anda tahu apa itu sinus, kosinus, tangen. Anda boleh menggunakannya dalam pengiraan dan berjaya menyelesaikan masalah sekolah.
Intinyatrigonometri dikurangkan kepada fakta bahawa mengikut parameter segitiga yang diketahui, adalah perlu untuk mengira yang tidak diketahui. Terdapat enam parameter secara keseluruhan: panjang tiga sisi dan magnitud tiga sudut. Keseluruhan perbezaan dalam tugasan terletak pada fakta bahawa data input yang berbeza diberikan.
Cara mencari sinus, kosinus, tangen berdasarkan panjang kaki atau hipotenus yang diketahui, kini anda tahu. Oleh kerana istilah ini tidak lebih daripada nisbah, dan nisbah ialah pecahan, matlamat utama masalah trigonometri adalah untuk mencari punca persamaan biasa atau sistem persamaan. Dan di sini matematik sekolah biasa akan membantu anda.
