Geometri adalah cantik kerana, berbeza dengan algebra, yang tidak selalu jelas apa yang anda fikirkan dan sebabnya, ia memberikan keterlihatan kepada objek. Dunia indah pelbagai badan ini dihiasi dengan polyhedra biasa.
Maklumat am tentang polyhedra biasa
Menurut ramai, polyhedra biasa, atau kerana ia juga dipanggil pepejal Platonik, mempunyai sifat unik. Beberapa hipotesis saintifik dikaitkan dengan objek ini. Apabila anda mula mengkaji badan geometri ini, anda memahami bahawa anda tidak tahu apa-apa tentang konsep seperti polyhedra biasa. Pembentangan objek ini di sekolah tidak selalu menarik, jadi ramai yang tidak ingat apa yang dipanggil. Kebanyakan orang ingat hanya kiub. Tiada satu pun jasad dalam geometri adalah sempurna seperti polyhedra biasa. Semua nama badan geometri ini berasal dari Yunani Purba. Mereka bermaksud bilangan muka: tetrahedron - empat sisi, hexahedron - enam sisi, octahedron - octahedral, dodecahedron - dua belas sisi, icosahedron - dua puluh sisi. Semua badan geometri inimenduduki tempat penting dalam konsep alam semesta Plato. Empat daripada mereka mempersonifikasikan unsur atau entiti: tetrahedron - api, ikosahedron - air, kubus - bumi, oktahedron - udara. Dodecahedron merangkumi semua yang wujud. Ia dianggap yang utama, kerana ia adalah simbol alam semesta.
Generalisasi konsep polihedron
Polihedron ialah himpunan bilangan poligon terhingga seperti:
- setiap sisi mana-mana poligon adalah pada masa yang sama sisi hanya satu poligon lain pada sisi yang sama;
- dari setiap poligon yang anda boleh dapatkan kepada yang lain dengan melepasi poligon bersebelahan dengannya.
Polygon yang membentuk polihedron ialah mukanya, dan sisinya ialah tepi. Bucu polihedra ialah bucu poligon. Jika konsep poligon difahami sebagai garis putus-putus tertutup rata, maka seseorang sampai pada satu definisi polihedron. Dalam kes apabila konsep ini bermaksud bahagian satah yang dihadkan oleh garis putus, maka permukaan yang terdiri daripada kepingan poligon harus difahami. Polihedron cembung ialah badan yang terletak pada satu sisi satah bersebelahan dengan mukanya.
Takrifan lain bagi polihedron dan unsur-unsurnya
Polihedron ialah permukaan yang terdiri daripada poligon yang mengehadkan jasad geometri. Mereka ialah:
- bukan cembung;
- cembung (betul dan salah).
Polihedron biasa ialah polihedron cembung dengan simetri maksimum. Unsur polyhedra biasa:
- tetrahedron: 6 tepi, 4 muka, 5 bucu;
- hexahedron (kubus): 12, 6, 8;
- dodecahedron: 30, 12, 20;
- octahedron: 12, 8, 6;
- icosahedron: 30, 20, 12.
Teorem Euler
Ia mewujudkan hubungan antara bilangan tepi, bucu dan muka yang secara topologi bersamaan dengan sfera. Dengan menambah bilangan bucu dan muka (B + D) pelbagai polyhedra sekata dan membandingkannya dengan bilangan tepi, satu corak boleh diwujudkan: jumlah bilangan muka dan bucu sama dengan bilangan tepi (P) meningkat dengan 2. Anda boleh memperoleh formula mudah:
B + D=R + 2
Formula ini adalah benar untuk semua polyhedra cembung.
Takrifan asas
Konsep polihedron biasa tidak boleh diterangkan dalam satu ayat. Ia lebih bermakna dan besar. Untuk badan diiktiraf sebagai sedemikian, ia mesti memenuhi beberapa definisi. Jadi, jasad geometri akan menjadi polihedron sekata jika syarat berikut dipenuhi:
- ia cembung;
- bilangan tepi yang sama menumpu pada setiap bucunya;
- semua mukanya ialah poligon sekata, sama antara satu sama lain;
- semua sudut dihedralnya adalah sama.
Sifat polyhedra biasa
Terdapat 5 jenis polyhedra biasa yang berbeza:
- Kiub (hexahedron) - ia mempunyai sudut rata di bahagian atas ialah 90°. Ia mempunyai sudut 3 sisi. Jumlah sudut rata di bahagian atas ialah 270°.
- Tetrahedron - sudut rata di bahagian atas - 60°. Ia mempunyai sudut 3 sisi. Jumlah sudut rata di bahagian atas ialah 180°.
- Oktahedron - sudut bucu rata - 60°. Ia mempunyai sudut 4 sisi. Jumlah sudut rata di bahagian atas ialah 240°.
- Dodecahedron - sudut rata pada bucu 108°. Ia mempunyai sudut 3 sisi. Jumlah sudut rata di bahagian atas ialah 324°.
- Icosahedron - ia mempunyai sudut rata di bahagian atas - 60°. Ia mempunyai sudut 5 sisi. Jumlah sudut rata di bahagian atas ialah 300°.
Kawasan polihedra biasa
Luas permukaan jasad geometri (S) ini dikira sebagai luas poligon sekata didarab dengan bilangan mukanya (G):
S=(a: 2) x 2G ctg π/p
Isipadu polihedron biasa
Nilai ini dikira dengan mendarabkan isipadu piramid sekata, di pangkalnya terdapat poligon sekata, dengan bilangan muka, dan ketinggiannya ialah jejari sfera tertera (r):
V=1: 3rS
Jumlah polyhedra biasa
Seperti badan geometri lain, polyhedra biasa mempunyai isipadu yang berbeza. Di bawah ialah formula yang anda boleh mengiranya:
- tetrahedron: α x 3√2: 12;
- octahedron: α x 3√2: 3;
- icosahedron; α x 3;
- hexahedron (kubus): 5 x α x 3 x (3 + √5): 12;
- dodecahedron: α x 3 (15 + 7√5): 4.
Unsur polyhedra biasa
Hexahedron dan octahedron ialah dua badan geometri. Dalam erti kata lain, mereka boleh diperolehi antara satu sama lain jika pusat graviti muka satu diambil sebagai puncak yang lain, dan sebaliknya. Icosahedron dan dodecahedron juga dua. Hanya tetrahedron adalah dwi kepada dirinya sendiri. Mengikut kaedah Euclid, anda boleh mendapatkan dodekahedron daripada hexahedron dengan membina "bumbung" pada muka kubus. Bucu tetrahedron ialah mana-mana 4 bucu kubus yang tidak bersebelahan secara berpasangan di sepanjang tepi. Dari hexahedron (kubus) anda boleh mendapatkan polyhedra biasa yang lain. Walaupun terdapat banyak poligon sekata yang tidak terkira banyaknya, terdapat hanya 5 polyhedra sekata.
Jejari poligon sekata
Terdapat 3 sfera sepusat yang dikaitkan dengan setiap jasad geometri ini:
- diterangkan, melalui puncaknya;
- tertulis, menyentuh setiap wajahnya di tengahnya;
- median, menyentuh semua tepi di tengah.
Jejari sfera yang diterangkan dikira dengan formula berikut:
R=a: 2 x tg π/g x tg θ: 2
Jejari sfera tersurat dikira dengan formula:
R=a: 2 x ctg π/p x tg θ: 2,
di mana θ ialah sudut dihedral antara muka bersebelahan.
Jejari sfera median boleh dikira menggunakan formula berikut:
ρ=cos π/p: 2 sin π/j,
di mana nilai h=4, 6, 6, 10 atau 10. Nisbah jejari yang dihadkan dan tersurat adalah simetri berkenaan dengan p dan q. Iadikira dengan formula:
R/r=tg π/p x tg π/q
Simetri polyhedra
Simetri polyhedra biasa menyebabkan minat utama dalam badan geometri ini. Ia difahami sebagai pergerakan badan sedemikian di angkasa, yang meninggalkan bilangan bucu, muka dan tepi yang sama. Dalam erti kata lain, di bawah kesan penjelmaan simetri, tepi, bucu, muka sama ada mengekalkan kedudukan asalnya atau bergerak ke kedudukan asal tepi, bucu atau muka lain.
Unsur simetri polihedra sekata adalah ciri bagi semua jenis jasad geometri tersebut. Di sini kita bercakap tentang transformasi yang sama yang meninggalkan mana-mana mata dalam kedudukan asalnya. Jadi, apabila anda memutarkan prisma poligon, anda boleh mendapatkan beberapa simetri. Mana-mana daripadanya boleh diwakili sebagai hasil pantulan. Simetri yang merupakan hasil darab bilangan pantulan genap dipanggil garis lurus. Jika ia adalah hasil darab bilangan pantulan ganjil, maka ia dipanggil songsang. Oleh itu, semua putaran tentang garis adalah simetri langsung. Sebarang pantulan polihedron ialah simetri songsang.
Untuk lebih memahami unsur simetri polihedra biasa, kita boleh mengambil contoh tetrahedron. Mana-mana garis lurus yang akan melalui salah satu bucu dan pusat rajah geometri ini juga akan melalui pusat muka yang bertentangan dengannya. Setiap satu pusingan 120° dan 240° mengelilingi garis adalah jamak.simetri tetrahedron. Oleh kerana ia mempunyai 4 bucu dan 4 muka, terdapat hanya lapan simetri langsung. Mana-mana garisan yang melalui bahagian tengah tepi dan pusat badan ini melalui bahagian tengah tepi bertentangannya. Sebarang putaran 180°, dipanggil separuh pusingan, mengelilingi garis lurus ialah simetri. Oleh kerana tetrahedron mempunyai tiga pasang tepi, terdapat tiga lagi simetri langsung. Berdasarkan perkara di atas, kita boleh membuat kesimpulan bahawa jumlah bilangan simetri langsung, termasuk penjelmaan yang sama, akan mencapai dua belas. Tetrahedron tidak mempunyai simetri langsung lain, tetapi ia mempunyai 12 simetri songsang. Oleh itu, tetrahedron dicirikan oleh sejumlah 24 simetri. Untuk kejelasan, anda boleh membina model tetrahedron biasa daripada kadbod dan pastikan badan geometri ini benar-benar mempunyai 24 simetri sahaja.
Dodecahedron dan icosahedron paling hampir dengan sfera badan. Icosahedron mempunyai bilangan muka yang paling banyak, sudut dihedral terbesar, dan boleh ditekan paling rapat pada sfera bertulis. Dodecahedron mempunyai kecacatan sudut terkecil, sudut pepejal terbesar di puncak. Dia boleh mengisi sfera yang diterangkannya secara maksimum.
Sapuan polyhedra
Polyhedra yang tidak dibalut biasa, yang kita semua lekatkan pada zaman kanak-kanak, mempunyai banyak konsep. Jika terdapat himpunan poligon, setiap sisinya dikenal pasti dengan hanya satu sisi polihedron, maka pengenalpastian sisi mesti memenuhi dua syarat:
- dari setiap poligon, anda boleh pergi ke poligon yang mempunyaibahagian yang dikenal pasti;
- sisi yang dikenal pasti mesti mempunyai panjang yang sama.
Ia adalah set poligon yang memenuhi syarat-syarat ini yang dipanggil pembangunan polihedron. Setiap badan ini mempunyai beberapa daripadanya. Jadi, sebagai contoh, sebuah kubus mempunyai 11 daripadanya.
