Silinder ialah salah satu rajah tiga dimensi mudah yang dipelajari dalam kursus geometri sekolah (geometri pepejal bahagian). Dalam kes ini, masalah sering timbul dalam mengira isipadu dan jisim silinder, serta dalam menentukan luas permukaannya. Jawapan kepada soalan yang ditanda diberikan dalam artikel ini.
Apakah itu silinder?
Sebelum meneruskan jawapan kepada soalan, apakah jisim silinder dan isipadunya, adalah wajar mempertimbangkan apakah angka spatial ini. Perlu diperhatikan dengan segera bahawa silinder ialah objek tiga dimensi. Iaitu, dalam ruang, anda boleh mengukur tiga parameternya di sepanjang setiap paksi dalam sistem koordinat segi empat tepat Cartesian. Malah, untuk menentukan dengan jelas dimensi silinder, cukup untuk mengetahui hanya dua parameternya.
Silinder ialah rajah tiga dimensi yang dibentuk oleh dua bulatan dan permukaan silinder. Untuk lebih jelas mewakili objek ini, cukup untuk mengambil segi empat tepat dan mula memutarkannya di sekeliling mana-mana sisinya, yang akan menjadi paksi putaran. Dalam kes ini, segi empat tepat berputar akan menerangkan bentukputaran - silinder.
Dua permukaan bulat dipanggil tapak silinder, ia dicirikan oleh jejari tertentu. Jarak antara tapak dipanggil ketinggian. Kedua-dua tapak disambungkan oleh permukaan silinder. Garisan yang melalui pusat kedua-dua bulatan dipanggil paksi silinder.
Volume dan luas permukaan
Seperti yang anda lihat dari atas, silinder ditakrifkan oleh dua parameter: ketinggian h dan jejari tapaknya r. Mengetahui parameter ini, adalah mungkin untuk mengira semua ciri lain badan yang dipertimbangkan. Di bawah ialah yang utama:
- Kawasan pangkalan. Nilai ini dikira dengan formula: S1=2pir2, dengan pi ialah pi bersamaan dengan 3, 14. Digit 2 dalam formula muncul kerana silinder mempunyai dua tapak yang sama.
- Kawasan permukaan silinder. Ia boleh dikira seperti ini: S2=2pirh. Mudah untuk memahami formula ini: jika permukaan silinder dipotong secara menegak dari satu tapak ke tapak lain dan dikembangkan, maka segi empat tepat akan diperolehi, ketinggiannya akan sama dengan ketinggian silinder, dan lebarnya akan sepadan dengan lilitan tapak rajah tiga dimensi. Oleh kerana luas segi empat tepat yang terhasil ialah hasil darab sisinya, yang sama dengan h dan 2pir, formula di atas diperolehi.
- Kawasan permukaan silinder. Ia sama dengan jumlah kawasan S1 dan S2, kita dapat: S3=S 1 + S2=2pir2 + 2pir h=2pi r(r+h).
- Jilid. Nilai ini mudah dicari, anda hanya perlu mendarab luas satu tapak dengan ketinggian rajah: V=(S1/2)h=pir 2 h.
Menentukan jisim silinder
Akhir sekali, berbaloi untuk pergi terus ke topik artikel. Bagaimana untuk menentukan jisim silinder? Untuk melakukan ini, anda perlu mengetahui jumlahnya, formula untuk mengira yang dibentangkan di atas. Dan ketumpatan bahan yang terdiri daripadanya. Jisim ditentukan oleh formula mudah: m=ρV, dengan ρ ialah ketumpatan bahan yang membentuk objek yang dimaksudkan.
Konsep ketumpatan mencirikan jisim bahan yang berada dalam satu unit isipadu ruang. Sebagai contoh. Adalah diketahui bahawa besi mempunyai ketumpatan yang lebih tinggi daripada kayu. Ini bermakna bahawa dalam kes isipadu bahan besi dan kayu yang sama, yang pertama akan mempunyai jisim yang jauh lebih besar daripada yang kedua (kira-kira 16 kali).
Mengira jisim silinder kuprum
Pertimbangkan masalah mudah. Ia adalah perlu untuk mencari jisim silinder yang diperbuat daripada kuprum. Untuk kepastian, biarkan silinder mempunyai diameter 20 cm dan ketinggian 10 cm.
Sebelum anda mula menyelesaikan masalah, anda harus berurusan dengan data sumber. Jejari silinder adalah sama dengan separuh diameternya, yang bermaksud r=20/2=10 cm, manakala ketinggian ialah h=10 cm. Oleh kerana silinder yang dipertimbangkan dalam masalah itu diperbuat daripada tembaga, maka, merujuk kepada data rujukan, kami menulis nilai ketumpatan bahan ini: ρ=8, 96 g/cm3 (untuk suhu 20 °C).
Kini anda boleh mula menyelesaikan masalah. Mula-mula, mari kita hitung isipadu: V=pir2h=3, 14(10)210=3140 sm3. Maka jisim silinder ialah: m=ρV=8.963140=28134 gram atau lebih kurang 28 kilogram.
Anda harus memberi perhatian kepada dimensi unit semasa penggunaannya dalam formula yang sepadan. Jadi, dalam masalah itu, semua parameter dibentangkan dalam sentimeter dan gram.
Silinder homogen dan berongga
Daripada keputusan yang diperolehi di atas, dapat dilihat bahawa silinder kuprum dengan dimensi yang agak kecil (10 cm) mempunyai jisim yang besar (28 kg). Ini bukan sahaja disebabkan oleh fakta bahawa ia diperbuat daripada bahan berat, tetapi juga oleh fakta bahawa ia adalah homogen. Fakta ini penting untuk difahami, kerana formula di atas untuk mengira jisim hanya boleh digunakan jika silinder sepenuhnya (luar dan dalam) diperbuat daripada bahan yang sama, iaitu, ia adalah homogen.
Dalam amalan, silinder berongga sering digunakan (contohnya, tong silinder untuk air). Iaitu, ia diperbuat daripada kepingan nipis dari beberapa bahan, tetapi di dalamnya kosong. Untuk silinder berongga, formula yang ditunjukkan untuk mengira jisim tidak boleh digunakan.
Mengira jisim silinder berongga
Adalah menarik untuk mengira berapa jisim silinder kuprum jika ia kosong di dalamnya. Contohnya, biarkan ia diperbuat daripada kepingan kuprum nipis dengan ketebalan hanya d=2 mm.
Untuk menyelesaikan masalah ini, anda perlu mencari isipadu kuprum itu sendiri, dari mana objek itu dibuat. Bukan isipadu silinder. Kerana ketebalankepingan itu kecil berbanding dengan dimensi silinder (d=2 mm dan r=10 cm), maka isipadu kuprum dari mana objek itu dibuat boleh didapati dengan mendarabkan keseluruhan luas permukaan silinder dengan ketebalan kepingan kuprum, kita dapat: V=dS 3=d2pir(r+h). Menggantikan data daripada masalah sebelumnya, kita dapat: V=0.223, 1410(10+10)=251.2 cm3. Jisim silinder berongga boleh diperolehi dengan mendarabkan isipadu tembaga yang diperolehi, yang diperlukan untuk pembuatannya, dengan ketumpatan tembaga: m \u003d 251.28.96 \u003d 2251 g atau 2.3 kg. Iaitu, silinder berongga yang dianggap mempunyai berat 12 (28, 1/2, 3) kali kurang daripada silinder homogen.
