Logaritma: contoh dan penyelesaian

2024 Pengarang: Angel Austin | [email protected]. Diubah suai terakhir: 2024-01-02 17:53

Seperti yang anda ketahui, apabila mendarab ungkapan dengan kuasa, eksponennya sentiasa menjumlahkan (a^ba^c=a^{b+ c). Undang-undang matematik ini diterbitkan oleh Archimedes, dan kemudian, pada abad ke-8, ahli matematik Virasen mencipta jadual penunjuk integer. Merekalah yang berkhidmat untuk penemuan logaritma selanjutnya. Contoh penggunaan fungsi ini boleh didapati hampir di mana-mana di mana ia diperlukan untuk memudahkan pendaraban yang rumit kepada penambahan mudah. Jika anda menghabiskan 10 minit membaca artikel ini, kami akan menerangkan kepada anda apa itu logaritma dan cara bekerja dengannya. Bahasa yang ringkas dan mudah diakses.}

Definisi dalam matematik

Logaritma ialah ungkapan bentuk berikut: log_ab=c c" di mana anda perlu menaikkan asas "a" untuk akhirnya mendapat nilai " b". Mari analisa logaritma menggunakan contoh, katakan terdapat log ungkapan_{28. Bagaimana untuk mencari jawapannya? Ia sangat mudah, anda perlu mencari ijazah sedemikian sehingga dari 2 hingga ijazah yang diperlukan anda mendapat 8. Setelah melakukan beberapa pengiraan dalam fikiran anda, kami mendapat nombor 3! Dan ia benar, kerana2 dinaikkan kepada kuasa 3 memberikan jawapan 8.}

Pelbagai logaritma

Bagi kebanyakan murid dan pelajar, topik ini kelihatan rumit dan tidak dapat difahami, tetapi sebenarnya, logaritma tidak begitu menakutkan, perkara utama ialah memahami maksud umumnya dan mengingati sifat dan beberapa peraturannya. Terdapat tiga jenis ungkapan logaritma yang berasingan:

Logaritma semula jadi ln a, dengan asasnya ialah nombor Euler (e=2, 7).
Logaritma perpuluhan lg a, dengan asasnya ialah nombor 10.
Logaritma sebarang nombor b hingga asas a>1.

Setiap daripadanya diselesaikan dengan cara standard, termasuk pemudahan, pengurangan dan pengurangan seterusnya kepada satu logaritma menggunakan teorem logaritma. Untuk mendapatkan nilai logaritma yang betul, seseorang harus mengingati sifatnya dan susunan tindakan dalam menyelesaikannya.

Peraturan dan beberapa sekatan

Dalam matematik, terdapat beberapa peraturan-sekatan yang diterima sebagai aksiom, iaitu, ia tidak boleh dirunding dan benar. Sebagai contoh, adalah mustahil untuk membahagikan nombor dengan sifar, dan juga mustahil untuk mengambil punca genap daripada nombor negatif. Logaritma juga mempunyai peraturannya sendiri, yang mana anda boleh belajar cara bekerja dengan mudah walaupun dengan ungkapan logaritma yang panjang dan luas:

pangkal "a" mestilah sentiasa lebih besar daripada sifar, dan pada masa yang sama tidak sama dengan 1, jika tidak, ungkapan akan kehilangan maknanya, kerana "1" dan "0" pada mana-mana darjah sentiasa sama dengan nilainya;
jika > 0, kemudian ab>0,ternyata "c" juga mestilah lebih besar daripada sifar.

Bagaimana untuk menyelesaikan logaritma?

Sebagai contoh, diberi tugas untuk mencari jawapan kepada persamaan 10^x=100. Ia sangat mudah, anda perlu memilih kuasa sedemikian, menaikkan nombor sepuluh, kita dapatkan 100. Ini, sudah tentu, kuasa kuadratik! 10^2=100.

Sekarang mari kita wakili ungkapan ini sebagai satu logaritma. Kami mendapat log_{10100=2. Apabila menyelesaikan logaritma, semua tindakan secara praktikalnya menumpu kepada mencari kuasa yang mana asas logaritma mesti dimasukkan untuk mendapatkan nombor yang diberikan.}

Untuk menentukan nilai ijazah yang tidak diketahui dengan tepat, anda perlu belajar cara bekerja dengan jadual ijazah. Ia kelihatan seperti ini:

Seperti yang anda lihat, sesetengah eksponen boleh meneka secara intuitif jika anda mempunyai pemikiran teknikal dan pengetahuan tentang jadual pendaraban. Walau bagaimanapun, nilai yang lebih besar akan memerlukan jadual kuasa. Ia boleh digunakan walaupun oleh mereka yang tidak memahami apa-apa dalam topik matematik yang kompleks. Lajur kiri mengandungi nombor (asas a), baris atas nombor ialah nilai kuasa c, yang mana nombor a dinaikkan. Di persimpangan, sel mentakrifkan nilai nombor yang menjadi jawapan (ac=b). Mari kita ambil, sebagai contoh, sel pertama dengan nombor 10 dan kuasa duakannya, kita mendapat nilai 100, yang ditunjukkan di persimpangan dua sel kita. Segala-galanya sangat ringkas dan mudah sehinggakan ahli humanis yang paling sebenar akan faham!

Persamaan dan ketaksamaan

Ternyata apabilaDalam keadaan tertentu, eksponen ialah logaritma. Oleh itu, sebarang ungkapan berangka matematik boleh ditulis sebagai persamaan logaritma. Contohnya, 3⁴=81 boleh ditulis sebagai logaritma 81 hingga asas 3, iaitu empat (log₃81=4). Untuk darjah negatif, peraturannya adalah sama: 2^-5=1/32 ditulis sebagai logaritma, kita mendapat log_{2 (1/32)=-5. Salah satu bahagian matematik yang paling menarik ialah topik "logaritma". Kami akan mempertimbangkan contoh dan penyelesaian persamaan sedikit lebih rendah, sejurus selepas mengkaji sifatnya. Buat masa ini, mari kita lihat rupa ketaksamaan dan cara membezakannya daripada persamaan.}

Ungkapan berikut diberikan: log_{2(x-1) > 3 - ia adalah ketaksamaan logaritma, kerana nilai "x" yang tidak diketahui terletak di bawah tanda logaritma. Ungkapan itu juga membandingkan dua nilai: logaritma asas dua nombor yang dikehendaki adalah lebih besar daripada nombor tiga.}

Perbezaan paling penting antara persamaan logaritma dan ketaksamaan ialah persamaan dengan logaritma (contoh - logaritma₂x=√9) _{membayangkan dalam jawapan satu atau lebih nilai berangka tertentu, manakala apabila menyelesaikan ketaksamaan, kedua-dua julat nilai yang boleh diterima dan titik putus fungsi ini ditentukan. Akibatnya, jawapannya bukanlah set nombor individu yang mudah, seperti dalam jawapan persamaan, tetapi siri berterusan atau set nombor.}

Teorem asas tentang logaritma

Apabila menyelesaikan tugas primitif untuk mencari nilai logaritma, anda mungkin tidak mengetahui sifatnya. Walau bagaimanapun, apabila ia datang kepada persamaan logaritma atau ketaksamaan, pertama sekali, adalah perlu untuk memahami dengan jelas dan menggunakan dalam amalan semua sifat asas logaritma. Kita akan berkenalan dengan contoh persamaan kemudian, mari kita analisa setiap sifat dengan lebih terperinci.

Identiti asas kelihatan seperti ini: alogaB=B. Ia hanya terpakai jika a lebih besar daripada 0, tidak sama dengan satu dan B lebih besar daripada sifar.

Logaritma produk boleh diwakili dalam formula berikut: log_d(s₁s_2)=logd_s1 _{+ log}d_s2. _{Dalam kes ini, syarat wajib ialah: d, s}1 _{dan s}2 _{> 0; a≠1. Anda boleh memberikan bukti untuk formula logaritma ini, dengan contoh dan penyelesaian. Biarkan log}a_s1 _=f1 _{dan log}a_s 2_=f2_{, kemudian a}f1^=s1_{, a} f2^=s2. _{Kami mendapat s}1_s2 _=af1^a f2^=af1+f2 ^{(sifat darjah), dan seterusnya mengikut takrifan: log}a_(s1 _s2_)=f1_{+ f}2_=log a_{s1 + log}a_s2, _{yang perlu dibuktikan.}

Logaritma hasil bagi kelihatan seperti ini: log_a(s_1/s₂)=log _as₁- log_as_2.

Teorem dalam bentuk formula mengambil bentuk berikut: log_a^qbⁿ =n/q log_ab.

Formula ini dipanggil "sifat darjah logaritma". Ia menyerupai sifat darjah biasa, dan ia tidak menghairankan, kerana semua matematik terletak pada postulat biasa. Mari lihat buktinya.

Biar log_ab=t, kita mendapat^t=b. Jika anda menaikkan kedua-dua belah kepada kuasa m: a^tn=b^;

tetapi kerana a^tn=(a^q)^nt/q=b, maka log_a^q b^{n=(nt)/t, kemudian log}aq _bn^{=n/q log}a_{b. Teorem terbukti.}

Contoh masalah dan ketidaksamaan

Jenis masalah logaritma yang paling biasa ialah contoh persamaan dan ketaksamaan. Ia terdapat dalam hampir semua buku masalah, dan juga termasuk dalam bahagian wajib peperiksaan dalam matematik. Untuk memasuki universiti atau lulus ujian masuk dalam matematik, anda perlu tahu cara menyelesaikan masalah sedemikian dengan betul.

Malangnya, tiada pelan atau skema tunggal untuk menyelesaikan dan menentukan nilai logaritma yang tidak diketahui, tetapi peraturan tertentu boleh digunakan untuk setiap ketaksamaan matematik atau persamaan logaritma. Pertama sekali, anda harus mengetahui sama ada ungkapan itu boleh dipermudahkan atau dikurangkan kepada bentuk umum. Anda boleh memudahkan ungkapan logaritma panjang jika anda menggunakan sifatnya dengan betul. Mari kenali mereka segera.

Apabila menyelesaikan persamaan logaritma,adalah perlu untuk menentukan jenis logaritma yang ada sebelum kita: contoh ungkapan mungkin mengandungi logaritma asli atau satu perpuluhan.

Berikut ialah contoh logaritma perpuluhan: ln100, ln1026. Penyelesaian mereka bermuara kepada fakta bahawa anda perlu menentukan sejauh mana asas 10 akan sama dengan 100 dan 1026, masing-masing. Untuk penyelesaian logaritma asli, seseorang mesti menggunakan identiti logaritma atau sifatnya. Mari lihat contoh penyelesaian masalah logaritma pelbagai jenis.

Cara menggunakan formula logaritma: dengan contoh dan penyelesaian

Jadi, mari kita lihat contoh penggunaan teorem utama tentang logaritma.

Sifat logaritma produk boleh digunakan dalam tugasan di mana ia perlu untuk menguraikan nilai besar nombor b kepada faktor yang lebih mudah. Sebagai contoh, log₂4 + log₂128=log₂(4128)=log_{2512. Jawapannya ialah 9.}

log₄8=log_2² 2³ =3/2 log_{22=1, 5 - seperti yang anda lihat, dengan menggunakan sifat keempat darjah logaritma, kami berjaya menyelesaikan pada pandangan pertama ungkapan yang kompleks dan tidak dapat diselesaikan. Apa yang anda perlu lakukan ialah memfaktorkan asas dan kemudian mengeluarkan kuasa daripada tanda logaritma.}

Tugasan daripada peperiksaan

Logaritma sering dijumpai dalam peperiksaan kemasukan, terutamanya banyak masalah logaritma dalam Peperiksaan Negeri Bersepadu (peperiksaan negeri untuk semua lepasan sekolah). Biasanya tugasan ini hadir bukan sahaja dalam bahagian A (paling banyakbahagian ujian mudah dalam peperiksaan), tetapi juga dalam bahagian C (tugas yang paling sukar dan besar). Peperiksaan memerlukan pengetahuan yang tepat dan sempurna tentang topik "Logaritma semula jadi".

Contoh dan penyelesaian masalah diambil daripada versi rasmi peperiksaan. Mari lihat bagaimana tugasan sedemikian diselesaikan.

Log yang diberikan₂(2x-1)=4. Penyelesaian:

tulis semula ungkapan, permudahkan sedikit log_2(2x-1)=22^{, mengikut takrifan logaritma kita mendapat bahawa 2x-1=2}4^{, maka 2x=17; x=8, 5.}

Mengikuti beberapa garis panduan, yang berikut anda boleh menyelesaikan semua persamaan dengan mudah yang mengandungi ungkapan yang berada di bawah tanda logaritma.

Sebaik-baiknya kurangkan semua logaritma kepada asas yang sama supaya penyelesaiannya tidak menyusahkan dan mengelirukan.
Semua ungkapan di bawah tanda logaritma ditunjukkan sebagai positif, jadi apabila mendarab eksponen ungkapan yang berada di bawah tanda logaritma dan sebagai asasnya, ungkapan yang tinggal di bawah logaritma mestilah positif.