Transformasi Fourier ialah transformasi yang membandingkan fungsi beberapa pembolehubah sebenar. Operasi ini dilakukan setiap kali kita melihat bunyi yang berbeza. Telinga melakukan "pengiraan" automatik, yang kesedaran kita mampu melakukannya hanya selepas mempelajari bahagian yang sepadan dalam matematik yang lebih tinggi. Organ pendengaran manusia membina transformasi, akibatnya bunyi (gerakan berayun zarah bersyarat dalam medium elastik yang merambat dalam bentuk gelombang dalam medium pepejal, cecair atau gas) disediakan dalam bentuk spektrum nilai berturut-turut tahap kelantangan ton yang berbeza ketinggian. Selepas itu, otak menukar maklumat ini menjadi bunyi yang biasa kepada semua orang.
Transformasi Fourier Matematik
Transformasi gelombang bunyi atau proses berayun lain (dari sinaran cahaya dan air pasang laut kepada kitaran aktiviti bintang atau suria) juga boleh dilakukan menggunakan kaedah matematik. Jadi, menggunakan teknik ini, adalah mungkin untuk menguraikan fungsi dengan mewakili proses berayun sebagai satu set komponen sinusoidal, iaitu, lengkung beralun yangpergi dari rendah ke tinggi, kemudian kembali ke rendah, seperti gelombang laut. Transformasi Fourier - satu penjelmaan yang fungsinya menerangkan fasa atau amplitud setiap sinusoid sepadan dengan frekuensi tertentu. Fasa ialah titik permulaan lengkung dan amplitud ialah ketinggiannya.
Transformasi Fourier (contoh ditunjukkan dalam foto) ialah alat yang sangat berkuasa yang digunakan dalam pelbagai bidang sains. Dalam sesetengah kes, ia digunakan sebagai cara untuk menyelesaikan persamaan yang agak kompleks yang menggambarkan proses dinamik yang berlaku di bawah pengaruh cahaya, haba atau tenaga elektrik. Dalam kes lain, ini membolehkan anda menentukan komponen biasa dalam isyarat ayunan kompleks, yang mana anda boleh mentafsir pelbagai pemerhatian eksperimen dalam kimia, perubatan dan astronomi dengan betul.
Latar belakang sejarah
Orang pertama yang menggunakan kaedah ini ialah ahli matematik Perancis Jean Baptiste Fourier. Penjelmaan, kemudian dinamakan sempena namanya, pada asalnya digunakan untuk menerangkan mekanisme pengaliran haba. Fourier menghabiskan seluruh kehidupan dewasanya untuk mengkaji sifat haba. Beliau memberi sumbangan besar kepada teori matematik untuk menentukan punca persamaan algebra. Fourier adalah seorang profesor analisis di Sekolah Politeknik, setiausaha Institut Egyptology, berada dalam perkhidmatan empayar, di mana dia membezakan dirinya semasa pembinaan jalan ke Turin (di bawah kepimpinannya, lebih daripada 80 ribu kilometer persegi malariapaya). Walau bagaimanapun, semua aktiviti rancak ini tidak menghalang saintis daripada melakukan analisis matematik. Pada tahun 1802, beliau memperoleh persamaan yang menerangkan perambatan haba dalam pepejal. Pada tahun 1807, saintis menemui kaedah untuk menyelesaikan persamaan ini, yang dipanggil "Transformasi Fourier".
Analisis Kekonduksian Terma
Saintis menggunakan kaedah matematik untuk menerangkan mekanisme pengaliran haba. Contoh mudah, di mana tiada kesukaran dalam pengiraan, ialah penyebaran tenaga haba melalui gelang besi yang direndam dalam satu bahagian dalam api. Untuk menjalankan eksperimen, Fourier memanaskan sebahagian daripada cincin ini dan membenamkannya dalam pasir halus. Selepas itu, dia mengambil ukuran suhu di bahagian yang bertentangan. Pada mulanya, pengagihan haba adalah tidak teratur: sebahagian daripada cincin sejuk dan satu lagi panas; kecerunan suhu yang tajam boleh diperhatikan di antara zon ini. Walau bagaimanapun, dalam proses perambatan haba ke atas seluruh permukaan logam, ia menjadi lebih seragam. Jadi, tidak lama lagi proses ini mengambil bentuk sinusoid. Pada mulanya, graf lancar meningkat dan juga menurun dengan lancar, betul-betul mengikut undang-undang perubahan fungsi kosinus atau sinus. Gelombang secara beransur-ansur mendatar dan akibatnya suhu menjadi sama pada seluruh permukaan gelang.
Pengarang kaedah ini mencadangkan bahawa taburan tidak teratur awal boleh diuraikan menjadi beberapa sinusoid asas. Setiap daripada mereka akan mempunyai fasa sendiri (kedudukan awal) dan suhunya sendirimaksimum. Lebih-lebih lagi, setiap komponen tersebut berubah daripada minimum kepada maksimum dan kembali pada revolusi lengkap di sekeliling cincin beberapa kali integer. Komponen dengan satu tempoh dipanggil harmonik asas, dan nilai dengan dua atau lebih tempoh dipanggil kedua, dan seterusnya. Jadi, fungsi matematik yang menerangkan suhu maksimum, fasa atau kedudukan dipanggil transformasi Fourier bagi fungsi taburan. Saintis itu mengurangkan satu komponen, yang sukar untuk dihuraikan secara matematik, kepada alat yang mudah digunakan - siri kosinus dan sinus, yang dijumlahkan untuk memberikan taburan asal.
Intipati analisis
Menggunakan analisis ini pada transformasi perambatan haba melalui objek pepejal yang mempunyai bentuk anulus, ahli matematik memberi alasan bahawa peningkatan tempoh komponen sinusoidal akan membawa kepada pereputan yang cepat. Ini jelas dilihat dalam harmonik asas dan kedua. Dalam yang terakhir, suhu mencapai nilai maksimum dan minimum dua kali dalam satu laluan, dan dalam yang pertama, hanya sekali. Ternyata jarak yang diliputi oleh haba dalam harmonik kedua akan menjadi separuh daripada jarak asas. Di samping itu, kecerunan dalam yang kedua juga akan menjadi dua kali lebih curam daripada yang pertama. Oleh itu, oleh kerana aliran haba yang lebih sengit bergerak dalam jarak dua kali lebih pendek, harmonik ini akan mereput empat kali lebih cepat daripada asas sebagai fungsi masa. Pada masa hadapan, proses ini akan menjadi lebih cepat. Ahli matematik percaya bahawa kaedah ini membolehkan anda mengira proses taburan suhu awal dari semasa ke semasa.
Cabaran kepada orang sezaman
Algoritma transformasi Fourier mencabar asas teori matematik pada masa itu. Pada permulaan abad kesembilan belas, kebanyakan saintis terkemuka, termasuk Lagrange, Laplace, Poisson, Legendre dan Biot, tidak menerima kenyataannya bahawa taburan suhu awal diuraikan kepada komponen dalam bentuk harmonik asas dan frekuensi yang lebih tinggi. Walau bagaimanapun, Akademi Sains tidak boleh mengabaikan keputusan yang diperoleh oleh ahli matematik, dan menganugerahkannya hadiah untuk teori undang-undang pengaliran haba, serta membandingkannya dengan eksperimen fizikal. Dalam pendekatan Fourier, bantahan utama adalah hakikat bahawa fungsi tak selanjar diwakili oleh jumlah beberapa fungsi sinusoidal yang berterusan. Lagipun, mereka menggambarkan garis lurus dan melengkung yang koyak. Orang sezaman dengan saintis tidak pernah menghadapi situasi yang sama, apabila fungsi terputus diterangkan oleh gabungan yang berterusan, seperti kuadratik, linear, sinusoid atau eksponen. Sekiranya ahli matematik itu betul dalam kenyataannya, maka jumlah siri tak terhingga bagi fungsi trigonometri hendaklah dikurangkan kepada satu langkah mengikut langkah yang tepat. Pada masa itu, kenyataan sedemikian kelihatan tidak masuk akal. Walau bagaimanapun, walaupun terdapat keraguan, sesetengah penyelidik (cth. Claude Navier, Sophie Germain) telah meluaskan skop penyelidikan dan membawanya melangkaui analisis pengagihan tenaga haba. Sementara itu, ahli matematik terus bergelut dengan persoalan sama ada jumlah beberapa fungsi sinusoidal boleh dikurangkan kepada perwakilan tepat bagi fungsi tak selanjar.
200 tahunsejarah
Teori ini telah berkembang selama dua abad, hari ini ia akhirnya terbentuk. Dengan bantuannya, fungsi spatial atau temporal dibahagikan kepada komponen sinusoidal, yang mempunyai frekuensi, fasa dan amplitud sendiri. Transformasi ini diperolehi dengan dua kaedah matematik yang berbeza. Yang pertama daripada mereka digunakan apabila fungsi asal adalah berterusan, dan yang kedua - apabila ia diwakili oleh satu set perubahan individu yang diskret. Jika ungkapan itu diperoleh daripada nilai yang ditakrifkan oleh selang diskret, maka ia boleh dibahagikan kepada beberapa ungkapan sinusoidal dengan frekuensi diskret - dari yang paling rendah dan kemudian dua kali, tiga kali dan seterusnya lebih tinggi daripada yang utama. Jumlah sedemikian dipanggil siri Fourier. Jika ungkapan awal diberi nilai untuk setiap nombor nyata, maka ia boleh diuraikan kepada beberapa sinusoidal bagi semua frekuensi yang mungkin. Ia biasanya dipanggil kamiran Fourier, dan penyelesaiannya membayangkan transformasi kamiran fungsi. Tidak kira bagaimana penukaran diperoleh, dua nombor mesti dinyatakan untuk setiap frekuensi: amplitud dan frekuensi. Nilai ini dinyatakan sebagai nombor kompleks tunggal. Teori ungkapan pembolehubah kompleks, bersama-sama dengan transformasi Fourier, membolehkan pengiraan dalam reka bentuk pelbagai litar elektrik, analisis getaran mekanikal, kajian mekanisme perambatan gelombang dan banyak lagi.
Fourier Transform Today
Hari ini, kajian tentang proses ini terutamanya dikurangkan kepada mencari berkesankaedah peralihan daripada fungsi kepada bentuk berubah dan sebaliknya. Penyelesaian ini dipanggil transformasi Fourier langsung dan songsang. Apakah maksudnya? Untuk menentukan kamiran dan menghasilkan transformasi Fourier langsung, seseorang boleh menggunakan kaedah matematik, atau kaedah analitik. Walaupun fakta bahawa kesukaran tertentu timbul apabila menggunakannya dalam amalan, kebanyakan kamiran telah ditemui dan dimasukkan ke dalam buku rujukan matematik. Kaedah berangka boleh digunakan untuk mengira ungkapan yang bentuknya berdasarkan data percubaan atau fungsi yang kamirannya tidak tersedia dalam jadual dan sukar dibentangkan dalam bentuk analitik.
Sebelum kemunculan komputer, pengiraan transformasi sedemikian sangat membosankan, ia memerlukan pelaksanaan manual sejumlah besar operasi aritmetik, yang bergantung pada bilangan titik yang menerangkan fungsi gelombang. Untuk memudahkan pengiraan, hari ini terdapat program khas yang memungkinkan untuk melaksanakan kaedah analisis baru. Jadi, pada tahun 1965, James Cooley dan John Tukey mencipta perisian yang dikenali sebagai "Fast Fourier Transform". Ia membolehkan anda menjimatkan masa untuk pengiraan dengan mengurangkan bilangan pendaraban dalam analisis lengkung. Kaedah transformasi Fourier pantas adalah berdasarkan membahagikan lengkung kepada sejumlah besar nilai sampel seragam. Sehubungan itu, bilangan pendaraban dibahagi separuh dengan penurunan yang sama dalam bilangan mata.
Menggunakan transformasi Fourier
Iniproses ini digunakan dalam pelbagai bidang sains: dalam teori nombor, fizik, pemprosesan isyarat, kombinatorik, teori kebarangkalian, kriptografi, statistik, oseanologi, optik, akustik, geometri dan lain-lain. Kemungkinan besar penggunaannya adalah berdasarkan beberapa ciri berguna, yang dipanggil "Fourier transform properties". Pertimbangkan mereka.
1. Transformasi fungsi ialah pengendali linear dan, dengan normalisasi yang sesuai, adalah kesatuan. Sifat ini dikenali sebagai teorem Parseval, atau secara umum teorem Plancherel, atau dualisme Pontryagin.
2. Transformasi boleh diterbalikkan. Selain itu, hasil terbalik mempunyai bentuk yang hampir sama seperti dalam penyelesaian langsung.
3. Ungkapan asas sinusoidal ialah fungsi yang dibezakan sendiri. Ini bermakna perwakilan sedemikian mengubah persamaan linear dengan pekali malar kepada algebra biasa.
4. Menurut teorem "konvolusi", proses ini menukar operasi kompleks menjadi pendaraban asas.
5. Transformasi Fourier diskret boleh dikira dengan cepat pada komputer menggunakan kaedah "pantas".
Pelbagai jenis transformasi Fourier
1. Selalunya, istilah ini digunakan untuk menandakan transformasi berterusan yang menyediakan sebarang ungkapan boleh integrasi segi empat sama sebagai jumlah ungkapan eksponen kompleks dengan frekuensi dan amplitud sudut tertentu. Spesies ini mempunyai beberapa bentuk yang berbeza, yang bolehberbeza mengikut pekali malar. Kaedah berterusan termasuk jadual penukaran, yang boleh didapati dalam buku rujukan matematik. Kes umum ialah transformasi pecahan, yang melaluinya proses yang diberikan boleh dinaikkan kepada kuasa sebenar yang diperlukan.
2. Mod berterusan ialah generalisasi teknik awal siri Fourier yang ditakrifkan untuk pelbagai fungsi atau ungkapan berkala yang wujud dalam kawasan terhad dan mewakilinya sebagai siri sinusoid.
3. Transformasi Fourier Diskret. Kaedah ini digunakan dalam teknologi komputer untuk pengiraan saintifik dan untuk pemprosesan isyarat digital. Untuk menjalankan jenis pengiraan ini, ia diperlukan untuk mempunyai fungsi yang menentukan titik individu, kawasan berkala atau sempadan pada set diskret dan bukannya kamiran Fourier berterusan. Penjelmaan isyarat dalam kes ini diwakili sebagai jumlah sinusoid. Pada masa yang sama, penggunaan kaedah "pantas" membolehkan anda menggunakan penyelesaian diskret kepada sebarang masalah praktikal.
4. Transformasi Fourier bertingkap ialah bentuk umum kaedah klasik. Berbeza dengan penyelesaian piawai, apabila spektrum isyarat digunakan, yang diambil dalam julat penuh kewujudan pembolehubah tertentu, di sini hanya taburan frekuensi tempatan yang menarik minat tertentu, dengan syarat pembolehubah asal (masa) dikekalkan..
5. Jelmaan Fourier dua dimensi. Kaedah ini digunakan untuk bekerja dengan tatasusunan data dua dimensi. Dalam kes ini, pertama transformasi dilakukan dalam satu arah, dan kemudian masuklain.
Kesimpulan
Hari ini, kaedah Fourier telah bertapak kukuh dalam pelbagai bidang sains. Sebagai contoh, pada tahun 1962 bentuk heliks berganda DNA ditemui menggunakan analisis Fourier yang digabungkan dengan pembelauan sinar-X. Yang terakhir ini tertumpu pada kristal gentian DNA, akibatnya, imej yang diperoleh melalui pembelauan sinaran dirakam pada filem. Gambar ini memberi maklumat tentang nilai amplitud apabila menggunakan transformasi Fourier kepada struktur kristal tertentu. Data fasa diperoleh dengan membandingkan peta difraksi DNA dengan peta yang diperoleh daripada analisis struktur kimia yang serupa. Akibatnya, ahli biologi telah memulihkan struktur kristal - fungsi asal.
Transformasi Fourier memainkan peranan yang besar dalam kajian ruang, semikonduktor dan fizik plasma, akustik gelombang mikro, oseanografi, radar, seismologi dan tinjauan perubatan.
