Paradoks Bertrand ialah masalah dalam tafsiran klasik teori kebarangkalian. Joseph memperkenalkannya dalam karyanya Calcul des probabilités (1889) sebagai contoh bahawa kebarangkalian tidak dapat ditakrifkan dengan baik jika mekanisme atau kaedah menghasilkan pembolehubah rawak.
Pernyataan Masalah
Paradoks Bertrand adalah seperti berikut.
Pertama, pertimbangkan segi tiga sama sisi yang tertulis dalam bulatan. Dalam kes ini, diameter dipilih secara rawak. Apakah kebarangkalian ia lebih panjang daripada sisi segi tiga?
Bertrand membuat tiga hujah, yang semuanya kelihatan betul, tetapi memberikan hasil yang berbeza.
Kaedah Titik Tamat Rawak
Anda perlu memilih dua tempat pada bulatan dan lukis lengkok yang menghubungkannya. Untuk pengiraan, paradoks kebarangkalian Bertrand dipertimbangkan. Adalah perlu untuk membayangkan bahawa segi tiga itu diputar supaya bucunya bertepatan dengan salah satu titik akhir kord. Berbaloi bayarambil perhatian bahawa jika bahagian lain berada pada lengkok antara dua tempat, bulatan itu lebih panjang daripada sisi segi tiga. Panjang lengkok ialah satu pertiga daripada bulatan, jadi kebarangkalian kord rawak lebih panjang ialah 1/3.
Kaedah pemilihan
Ia perlu memilih jejari bulatan dan titik di atasnya. Selepas itu, anda perlu membina kord melalui tempat ini, berserenjang dengan diameter. Untuk mengira paradoks yang dipertimbangkan bagi teori kebarangkalian Bertrand, seseorang mesti membayangkan bahawa segitiga itu diputar supaya sisinya berserenjang dengan jejari. Kord lebih panjang daripada kaki jika titik yang dipilih lebih dekat dengan pusat bulatan. Dan dalam kes ini, sisi segi tiga membahagi dua jejari. Oleh itu, kebarangkalian kord itu lebih panjang daripada sisi rajah yang tertera ialah 1/2.
Kord rawak
Kaedah titik tengah. Ia adalah perlu untuk memilih tempat pada bulatan dan membuat kord dengan pertengahan tertentu. Paksi lebih panjang daripada tepi segi tiga yang tertera, jika lokasi yang dipilih berada dalam bulatan sepusat jejari 1/2. Luas bulatan yang lebih kecil ialah satu perempat daripada rajah yang lebih besar. Oleh itu, kebarangkalian kord rawak adalah lebih panjang daripada sisi segi tiga tertera dan bersamaan dengan 1/4.
Seperti yang dibentangkan di atas, kaedah pemilihan berbeza dalam berat yang diberikan kepada kord tertentu, iaitu diameter. Dalam kaedah 1, setiap kord boleh dipilih dalam satu cara, sama ada diameter atau tidak.
Dalam kaedah 2, setiap garis lurus boleh dipilih dalam dua cara. Manakala mana-mana kord lain akan dipilihhanya satu daripada kemungkinan.
Dalam kaedah 3, setiap pemilihan titik tengah mempunyai satu parameter. Kecuali pusat bulatan, iaitu titik tengah semua diameter. Masalah ini boleh dielakkan dengan "memesan" semua soalan untuk mengecualikan parameter tanpa menjejaskan kebarangkalian yang terhasil.
Kaedah terpilih juga boleh digambarkan seperti berikut. Kord yang bukan diameter dikenal pasti secara unik melalui titik tengahnya. Setiap daripada tiga kaedah pemilihan yang dibentangkan di atas menghasilkan taburan tengah yang berbeza. Dan pilihan 1 dan 2 menyediakan dua partition tidak seragam yang berbeza, manakala kaedah 3 memberikan pengedaran seragam.
Paradoks klasik untuk menyelesaikan masalah Bertrand bergantung pada kaedah kord dipilih "secara rawak". Ternyata jika kaedah pemilihan rawak ditentukan terlebih dahulu, masalahnya mempunyai penyelesaian yang jelas. Ini kerana setiap kaedah individu mempunyai taburan kordnya sendiri. Tiga ketetapan yang ditunjukkan oleh Bertrand sepadan dengan cara pemilihan yang berbeza dan, jika tiada maklumat lanjut, tidak ada sebab untuk memihak kepada satu daripada yang lain. Sehubungan itu, masalah yang dinyatakan tidak mempunyai satu penyelesaian.
Contoh cara membuat jawapan umum unik adalah dengan menyatakan bahawa titik akhir kord dijarakkan sama rata antara 0 dan c, dengan c ialah lilitan bulatan. Taburan ini adalah sama seperti dalam hujah pertama Bertrand dan kebarangkalian unik yang terhasil ialah 1/3.
Paradoks Bertrand Russell ini dan keunikan klasik yang laintafsiran kemungkinan membenarkan rumusan yang lebih ketat. Termasuk kekerapan kebarangkalian dan teori Bayesian subjektivis.
Apa yang mendasari paradoks Bertrand
Dalam artikelnya pada tahun 1973 "The Well-posed Problem," Edwin Jaynes menawarkan penyelesaiannya yang unik. Beliau menyatakan bahawa paradoks Bertrand adalah berdasarkan premis berdasarkan prinsip "kejahilan maksimum". Ini bermakna anda tidak seharusnya menggunakan sebarang maklumat yang tidak diberikan dalam pernyataan masalah. Jaynes menegaskan bahawa masalah Bertrand tidak menentukan kedudukan atau saiz bulatan. Dan berhujah bahawa oleh itu apa-apa keputusan yang pasti dan objektif mesti "tidak peduli" dengan saiz dan kedudukan.
Untuk tujuan ilustrasi
Dengan mengandaikan bahawa semua kord diletakkan secara rawak pada bulatan 2 cm, kini anda perlu membaling straw padanya dari jauh.
Kemudian anda perlu mengambil bulatan lain dengan diameter yang lebih kecil (contohnya, 1 sentimeter), yang sesuai dengan angka yang lebih besar. Kemudian taburan kord pada bulatan yang lebih kecil ini hendaklah sama seperti pada yang maksimum. Jika angka kedua juga bergerak di dalam yang pertama, kebarangkalian, pada dasarnya, tidak sepatutnya berubah. Sangat mudah untuk melihat bahawa untuk kaedah 3 perubahan berikut akan berlaku: taburan kord pada bulatan merah kecil akan berbeza secara kualitatif daripada taburan pada bulatan besar.
Perkara yang sama berlaku untuk kaedah 1. Walaupun ia lebih sukar untuk dilihat dalam paparan grafik.
Kaedah 2 adalah satu-satunyayang ternyata merupakan skala dan invarian terjemahan.
Kaedah nombor 3 nampaknya boleh diperluaskan.
Kaedah 1 bukanlah kedua-duanya.
Walau bagaimanapun, Janes tidak menggunakan invarian dengan mudah untuk menerima atau menolak kaedah ini. Ini akan meninggalkan kemungkinan bahawa terdapat satu lagi kaedah yang tidak diterangkan yang sesuai dengan aspek makna yang munasabah. Jaynes menggunakan persamaan kamiran yang menerangkan invarian. Untuk menentukan secara langsung taburan kebarangkalian. Dalam masalahnya, persamaan kamiran sememangnya mempunyai penyelesaian yang unik, dan inilah yang dipanggil kaedah jejari rawak kedua di atas.
Dalam kertas kerja 2015, Alon Drory berpendapat bahawa prinsip Jaynes juga boleh menghasilkan dua penyelesaian Bertrand yang lain. Penulis memberi jaminan bahawa pelaksanaan matematik sifat invarian di atas bukanlah unik, tetapi bergantung pada prosedur pemilihan rawak asas yang seseorang memutuskan untuk digunakan. Dia menunjukkan bahawa setiap satu daripada tiga penyelesaian Bertrand boleh diperoleh menggunakan invarian putaran, penskalaan, dan translasi. Pada masa yang sama, menyimpulkan bahawa prinsip Jaynes tertakluk kepada tafsiran seperti cara acuh tak acuh itu sendiri.
Percubaan fizikal
Kaedah 2 ialah satu-satunya penyelesaian yang memenuhi invarian transformasi yang terdapat dalam konsep fisiologi tertentu seperti mekanik statistik dan struktur gas. Juga dalam cadanganPercubaan Janes membaling straw dari bulatan kecil.
Walau bagaimanapun, eksperimen praktikal lain boleh direka bentuk yang memberikan jawapan mengikut kaedah lain. Sebagai contoh, untuk mendapatkan penyelesaian kepada kaedah titik akhir rawak pertama, anda boleh melampirkan pembilang ke tengah kawasan. Dan biarkan keputusan dua putaran bebas menyerlahkan tempat akhir kord. Untuk mencapai penyelesaian kepada kaedah ketiga, seseorang boleh menutup bulatan dengan molase, sebagai contoh, dan menandakan titik pertama di mana lalat itu mendarat sebagai kord tengah. Beberapa perenung telah mencipta kajian untuk membuat kesimpulan yang berbeza dan telah mengesahkan keputusan secara empirikal.
Acara terkini
Dalam artikel 2007 beliau "The Bertrand Paradox and the Indifference Principle," Nicholas Shackel berhujah bahawa lebih daripada satu abad kemudian, masalah itu masih belum dapat diselesaikan. Dia terus menyangkal prinsip acuh tak acuh. Tambahan pula, dalam kertas kerjanya pada 2013, "The Bertrand Russell Paradox Revisited: Why All Solutions Are Not Practical," Darrell R. Robottom menunjukkan bahawa semua keputusan yang dicadangkan tidak ada kaitan dengan soalannya sendiri. Jadi ternyata paradoks itu akan menjadi lebih sukar untuk diselesaikan daripada yang difikirkan sebelumnya.
Shackel menekankan bahawa setakat ini ramai saintis dan orang yang jauh daripada sains telah cuba menyelesaikan paradoks Bertrand. Ia masih diatasi dengan bantuan dua pendekatan berbeza.
Perbezaan antara masalah bukan setara telah dipertimbangkan, dan masalah yang masalah itu sentiasa dianggap betul. Shackel memetik Louis dalam bukunyaMarinoff (sebagai eksponen tipikal strategi pembezaan) dan Edwin Jaynes (sebagai pengarang teori yang difikirkan dengan baik).
Walau bagaimanapun, dalam kerja terbaru mereka Menyelesaikan Masalah yang Kompleks, Diederik Aerts dan Massimiliano Sassoli de Bianchi percaya bahawa untuk menyelesaikan paradoks Bertrand, premis itu mesti dicari dalam strategi campuran. Menurut pengarang ini, langkah pertama adalah untuk menyelesaikan masalah dengan menyatakan dengan jelas sifat entiti yang sedang rawak. Dan hanya selepas ini dilakukan, sebarang masalah boleh dianggap betul. Itulah yang Janes fikirkan.
Jadi prinsip kejahilan maksimum boleh digunakan untuk menyelesaikannya. Untuk tujuan ini, dan memandangkan masalah tidak menentukan cara pemilihan kord, prinsip itu digunakan bukan pada tahap pelbagai kemungkinan, tetapi pada tahap yang lebih mendalam.
Pemilihan bahagian
Bahagian masalah ini memerlukan pengiraan purata meta ke atas semua cara yang mungkin, yang pengarang panggil min universal. Untuk menangani perkara ini, mereka menggunakan kaedah pendiskretan. Diilhamkan oleh apa yang sedang dilakukan dalam mentakrifkan undang-undang kebarangkalian dalam proses Wiener. Hasilnya adalah konsisten dengan akibat berangka Jaynes, walaupun masalah yang dikemukakan dengan baik berbeza daripada masalah pengarang asal.
Dalam ekonomi dan perdagangan, Bertrand Paradox, dinamakan sempena penciptanya Joseph Bertrand, menerangkan situasi di mana dua pemain (firma) mencapai keseimbangan Nash. Apabila kedua-dua firma menetapkan harga yang sama dengan kos marginal(MS).
Paradoks Bertrand adalah berdasarkan premis. Ia terletak pada hakikat bahawa dalam model seperti persaingan Cournot, peningkatan dalam bilangan firma dikaitkan dengan penumpuan harga dengan kos marginal. Dalam model alternatif ini, paradoks Bertrand berada dalam oligopoli sebilangan kecil firma yang memperoleh keuntungan positif dengan mengenakan harga melebihi kos.
Sebagai permulaan, adalah wajar andaikan bahawa dua firma A dan B menjual produk homogen, setiap satunya mempunyai kos pengeluaran dan pengedaran yang sama. Ia berikutan bahawa pembeli memilih produk semata-mata berdasarkan harga. Ini bermakna permintaan adalah anjal harga yang tidak terhingga. A atau B tidak akan menetapkan harga yang lebih tinggi daripada yang lain, kerana itu akan menyebabkan keseluruhan paradoks Bertrand runtuh. Salah satu peserta pasaran akan mengalah kepada pesaingnya. Jika mereka menetapkan harga yang sama, syarikat akan berkongsi keuntungan.
Sebaliknya, jika mana-mana firma menurunkan harganya walaupun sedikit, ia akan mendapat keseluruhan pasaran dan pulangan yang jauh lebih tinggi. Memandangkan A dan B mengetahui perkara ini, mereka masing-masing akan cuba mengurangkan pesaing sehingga produk itu dijual untuk keuntungan ekonomi sifar.
Kerja terkini telah menunjukkan bahawa mungkin terdapat keseimbangan tambahan dalam paradoks strategi campuran Bertrand, dengan keuntungan ekonomi yang positif, dengan syarat jumlah monopoli adalah tidak terhingga. Bagi kes keuntungan akhir, telah ditunjukkan bahawa kenaikan positif di bawah persaingan harga adalah mustahil dalam keseimbangan bercampur dan juga dalam kes yang lebih umum.sistem berkorelasi.
Malah, paradoks Bertrand dalam ekonomi jarang dilihat dalam amalan, kerana produk sebenar hampir selalu dibezakan dalam beberapa cara selain daripada harga (contohnya, membayar lebih untuk label). Firma mempunyai had ke atas keupayaan mereka untuk mengeluarkan dan mengedar. Inilah sebabnya mengapa dua perniagaan jarang mempunyai kos yang sama.
Keputusan Bertrand adalah paradoks kerana jika bilangan firma meningkat daripada satu kepada dua, harga turun daripada monopoli kepada kompetitif dan kekal pada tahap yang sama dengan bilangan firma yang meningkat selepas itu. Ini tidak begitu realistik, kerana pada hakikatnya, pasaran dengan beberapa firma dengan kuasa pasaran cenderung mengenakan harga melebihi kos marginal. Analisis empirikal menunjukkan bahawa kebanyakan industri dengan dua pesaing menjana keuntungan positif.
Dalam dunia moden, saintis cuba mencari penyelesaian kepada paradoks yang lebih konsisten dengan model persaingan Cournot. Di mana dua firma dalam pasaran membuat keuntungan positif yang berada di antara tahap persaingan sempurna dan monopoli.
Beberapa sebab mengapa paradoks Bertrand tidak berkaitan secara langsung dengan ekonomi:
- Had kapasiti. Kadangkala firma tidak mempunyai kapasiti yang mencukupi untuk memenuhi semua permintaan. Perkara ini pertama kali dibangkitkan oleh Francis Edgeworth dan melahirkan model Bertrand-Edgeworth.
- Harga integer. Harga di atas MC dikecualikan kerana satu firma boleh mengurangkan yang lain secara rawak.bilangan yang kecil. Jika harga adalah diskret (contohnya, mereka mesti mengambil nilai integer), maka satu firma mesti mengurangkan yang lain dengan sekurang-kurangnya satu rubel. Ini menunjukkan bahawa nilai mata wang kecil berada di atas MC. Jika firma lain menetapkan harga untuknya lebih tinggi, firma lain boleh menurunkannya dan menguasai keseluruhan pasaran, paradoks Bertrand terkandung dalam perkara ini. Ia tidak akan membawa keuntungan kepadanya. Perniagaan ini lebih suka berkongsi jualan 50/50 dengan firma lain dan menerima hasil positif semata-mata.
- Pembezaan produk. Jika produk firma yang berbeza berbeza antara satu sama lain, maka pengguna mungkin tidak beralih sepenuhnya kepada produk dengan harga yang lebih rendah.
- Pertandingan dinamik. Interaksi berulang atau persaingan harga berulang boleh membawa kepada keseimbangan nilai.
- Lebih banyak item untuk jumlah yang lebih tinggi. Ini berikutan daripada interaksi berulang. Jika satu syarikat menetapkan harganya lebih tinggi sedikit, ia masih akan mendapat kira-kira jumlah pembelian yang sama, tetapi lebih banyak keuntungan bagi setiap item. Oleh itu, syarikat lain akan meningkatkan markupnya, dsb. (Hanya dalam tayangan semula, jika tidak, dinamik pergi ke arah lain).
Oligopoli
Jika dua syarikat boleh bersetuju dengan harga, ia adalah demi kepentingan jangka panjang mereka untuk mengekalkan perjanjian: hasil pengurangan nilai kurang daripada dua kali ganda hasil daripada pematuhan perjanjian dan bertahan hanya sehingga firma lain memotongnya. harga sendiri.
Teorikebarangkalian (seperti matematik yang lain) sebenarnya adalah ciptaan terbaru. Dan pembangunan tidak berjalan lancar. Percubaan pertama untuk memformalkan kalkulus kebarangkalian telah dibuat oleh Marquis de Laplace, yang mencadangkan untuk mentakrifkan konsep sebagai nisbah bilangan peristiwa yang membawa kepada keputusan.
Ini, sudah tentu, hanya masuk akal jika bilangan semua acara yang mungkin adalah terhad. Selain itu, semua acara berkemungkinan sama.
Oleh itu, pada masa itu, konsep ini nampaknya tidak mempunyai asas yang kukuh. Percubaan untuk memanjangkan definisi kepada kes bilangan peristiwa yang tidak terhingga telah membawa kepada kesukaran yang lebih besar. Paradoks Bertrand ialah satu penemuan sedemikian yang telah membuatkan ahli matematik berhati-hati terhadap keseluruhan konsep kebarangkalian.
