Bagi kebanyakan orang, analisis matematik hanyalah satu set nombor, ikon dan takrifan yang tidak dapat difahami yang jauh dari kehidupan sebenar. Walau bagaimanapun, dunia di mana kita wujud dibina di atas corak berangka, pengenalpastian yang membantu bukan sahaja untuk belajar tentang dunia di sekeliling kita dan menyelesaikan masalahnya yang kompleks, tetapi juga untuk memudahkan tugas praktikal setiap hari. Apakah yang dimaksudkan oleh seorang ahli matematik apabila dia mengatakan bahawa urutan nombor bertumpu? Perkara ini perlu dibincangkan dengan lebih terperinci.
Apakah itu sangat kecil?
Mari bayangkan anak patung matryoshka yang sesuai antara satu sama lain. Saiz mereka, ditulis dalam bentuk nombor, bermula dengan yang terbesar dan berakhir dengan yang terkecil daripada mereka, membentuk urutan. Jika anda membayangkan bilangan angka terang yang tidak terhingga itu, maka baris yang terhasil akan menjadi sangat panjang. Ini ialah jujukan nombor konvergen. Dan ia cenderung kepada sifar, kerana saiz setiap anak patung bersarang berikutnya, berkurangan secara besar-besaran, secara beransur-ansur berubah menjadi tiada. Jadi mudahboleh dijelaskan: apa yang sangat kecil.
Contoh yang sama ialah jalan yang menghala ke kejauhan. Dan dimensi visual kereta yang memandu jauh dari pemerhati di sepanjangnya, secara beransur-ansur mengecut, bertukar menjadi bintik tidak berbentuk menyerupai titik. Oleh itu, mesin, seperti objek, bergerak ke arah yang tidak diketahui, menjadi sangat kecil. Parameter badan yang ditentukan tidak akan menjadi sifar dalam erti kata literal, tetapi selalunya cenderung kepada nilai ini dalam had akhir. Oleh itu, jujukan ini menumpu sekali lagi kepada sifar.
Kira semuanya setitik demi setitik
Mari kita bayangkan sekarang keadaan duniawi. Doktor menetapkan pesakit untuk mengambil ubat, bermula dengan sepuluh titis sehari dan menambah dua setiap hari berikutnya. Jadi doktor mencadangkan untuk meneruskan sehingga kandungan botol ubat, yang jumlahnya 190 titis, habis. Ini berikutan daripada perkara di atas bahawa bilangan sedemikian, yang dijadualkan mengikut hari, ialah siri nombor berikut: 10, 12, 14 dan seterusnya.
Bagaimana untuk mengetahui masa untuk menyelesaikan keseluruhan kursus dan bilangan ahli urutan? Di sini, sudah tentu, seseorang boleh mengira titisan dengan cara yang primitif. Tetapi lebih mudah, memandangkan corak, untuk menggunakan formula untuk jumlah janjang aritmetik dengan langkah d=2. Dan menggunakan kaedah ini, ketahui bahawa bilangan ahli siri nombor ialah 10. Dalam kes ini, a10=28. Nombor zakar menunjukkan bilangan hari mengambil ubat, dan 28 sepadan dengan bilangan titisan yang perlu pesakitgunakan pada hari terakhir. Adakah jujukan ini bertumpu? Tidak, kerana walaupun pada hakikatnya ia terhad kepada 10 dari bawah dan 28 dari atas, siri nombor sedemikian tidak mempunyai had, tidak seperti contoh sebelumnya.
Apakah perbezaannya?
Mari cuba jelaskan: apabila siri nombor ternyata menjadi jujukan penumpuan. Definisi seperti ini, seperti yang boleh disimpulkan daripada di atas, secara langsung berkaitan dengan konsep had terhingga, yang kehadirannya mendedahkan intipati isu itu. Jadi apakah perbezaan asas antara contoh yang diberikan sebelum ini? Dan kenapa pada yang terakhir, nombor 28 tidak boleh dianggap sebagai had siri nombor X =10 + 2(n-1)?
Untuk menjelaskan soalan ini, pertimbangkan urutan lain yang diberikan oleh formula di bawah, dengan n tergolong dalam set nombor asli.
Komuniti ahli ini ialah satu set pecahan biasa, pengangkanya ialah 1, dan penyebutnya sentiasa meningkat: 1, ½ …
Selain itu, setiap wakil berturut-turut siri ini menghampiri 0 lebih dan lebih dari segi lokasi pada garis nombor. Dan ini bermakna kejiranan sedemikian muncul di mana titik berkumpul di sekitar sifar, yang merupakan had. Dan semakin dekat dengannya, semakin padat kepekatan mereka pada garis nombor. Dan jarak di antara mereka dikurangkan secara besar-besaran, berubah menjadi sangat kecil. Ini adalah tanda bahawa jujukan sedang menumpu.
SerupaOleh itu, segi empat tepat berbilang warna yang ditunjukkan dalam rajah, apabila bergerak jauh di angkasa, secara visual lebih sesak, dalam had hipotetikal bertukar menjadi boleh diabaikan.
Jujukan tidak terhingga besar
Setelah menganalisis takrif jujukan konvergen, mari kita beralih kepada contoh balas. Banyak daripada mereka telah diketahui oleh manusia sejak zaman dahulu. Varian termudah bagi jujukan mencapah ialah siri nombor asli dan nombor genap. Mereka dipanggil infiniti besar dalam cara yang berbeza, kerana ahli mereka, sentiasa meningkat, semakin menghampiri infiniti positif.
Contoh sedemikian juga boleh menjadi mana-mana janjang aritmetik dan geometri dengan langkah dan penyebut, masing-masing, lebih besar daripada sifar. Selain itu, siri berangka dianggap sebagai jujukan mencapah, yang tidak mempunyai had sama sekali. Contohnya, X =(-2) -1.
Jujukan Fibonacci
Manfaat praktikal siri nombor yang dinyatakan sebelum ini untuk manusia tidak dapat dinafikan. Tetapi terdapat banyak contoh hebat lain. Salah satunya ialah jujukan Fibonacci. Setiap ahlinya, yang bermula dengan satu, adalah jumlah daripada yang sebelumnya. Dua wakil pertamanya ialah 1 dan 1. Yang ketiga 1+1=2, yang keempat 1+2=3, yang kelima 2+3=5. Selanjutnya, mengikut logik yang sama, nombor 8, 13, 21 dan seterusnya mengikuti.
Siri nombor ini meningkat tanpa had dan tidakhad akhir. Tetapi ia mempunyai satu lagi harta yang indah. Nisbah setiap nombor sebelumnya kepada nombor seterusnya semakin hampir nilainya kepada 0.618. Di sini anda boleh memahami perbezaan antara jujukan menumpu dan mencapah, kerana jika anda membuat satu siri pembahagian separa yang diterima, sistem berangka yang ditunjukkan akan mempunyai had terhingga bersamaan dengan 0.618.
Jujukan nisbah Fibonacci
Siri nombor yang ditunjukkan di atas digunakan secara meluas untuk tujuan praktikal untuk analisis teknikal pasaran. Tetapi ini tidak terhad kepada keupayaannya, yang diketahui oleh orang Mesir dan Yunani dan dapat diamalkan pada zaman dahulu. Ini dibuktikan dengan piramid yang mereka bina dan Parthenon. Lagipun, nombor 0.618 adalah pekali malar bagi bahagian emas, yang terkenal pada zaman dahulu. Mengikut peraturan ini, mana-mana segmen sewenang-wenangnya boleh dibahagikan supaya nisbah antara bahagiannya akan bertepatan dengan nisbah antara segmen terbesar dan jumlah panjang.
Mari kita bina satu siri perhubungan yang ditunjukkan dan cuba menganalisis urutan ini. Siri nombor adalah seperti berikut: 1; 0.5; 0.67; 0.6; 0.625; 0.615; 0, 619 dan seterusnya. Meneruskan cara ini, kita boleh memastikan bahawa had jujukan penumpuan sememangnya akan menjadi 0.618. Walau bagaimanapun, adalah perlu untuk mengambil perhatian sifat-sifat lain bagi keteraturan ini. Di sini nombor kelihatan secara rawak, dan tidak sama sekali dalam tertib menaik atau menurun. Ini bermakna jujukan konvergen ini tidak monoton. Mengapa demikian akan dibincangkan lebih lanjut.
Monotoni dan pengehadan
Ahli siri nombor boleh berkurangan dengan jelas dengan peningkatan bilangan (jika x1>x2>x3>…>x >…) atau meningkat (jika x1<x2163223<…<x <…). Dalam kes ini, jujukan itu dikatakan monotonik sepenuhnya. Corak lain juga boleh diperhatikan, di mana siri berangka tidak berkurangan dan tidak bertambah (x1≧x2≧x 3≧ …≧x ≧… atau x1≦x2≦x 3 ≦…≦x ≦…), maka penumpu berturut-turut juga monotonik, cuma bukan dalam erti kata yang ketat. Contoh yang baik bagi pilihan pertama ini ialah siri nombor yang diberikan oleh formula berikut.
Setelah melukis nombor siri ini, anda dapat melihat bahawa mana-mana ahlinya, menghampiri 1 selama-lamanya, tidak akan melebihi nilai ini. Dalam kes ini, jujukan konvergen dikatakan terikat. Ini berlaku apabila terdapat nombor positif M, yang sentiasa lebih besar daripada mana-mana syarat modulo siri. Jika siri nombor mempunyai tanda-tanda monotonicity dan mempunyai had, dan oleh itu menumpu, maka ia semestinya dikurniakan harta sedemikian. Dan sebaliknya tidak semestinya benar. Ini dibuktikan dengan teorem keterbatasan untuk urutan penumpuan.
Aplikasi pemerhatian sedemikian dalam amalan sangat berguna. Mari kita berikan contoh khusus dengan memeriksa sifat jujukan X =n/n+1, dan buktikan penumpuannya. Adalah mudah untuk menunjukkan bahawa ia adalah monoton, kerana (x +1 – x) ialah nombor positif untuk sebarang nilai n. Had jujukan adalah sama dengan nombor 1, yang bermaksud bahawa semua syarat teorem di atas, juga dipanggil teorem Weierstrass, dipenuhi. Teorem tentang sempadan jujukan konvergen menyatakan bahawa jika ia mempunyai had, maka dalam apa jua keadaan ia ternyata terikat. Walau bagaimanapun, mari kita ambil contoh berikut. Siri nombor X =(-1) dibatasi dari bawah dengan -1 dan dari atas dengan 1. Tetapi jujukan ini tidak monotonik, tidak mempunyai had, dan oleh itu tidak menumpu. Maksudnya, kewujudan had dan penumpuan tidak selalu mengikut batasan. Untuk ini berfungsi, had bawah dan atas mesti sepadan, seperti dalam kes nisbah Fibonacci.
Nombor dan undang-undang Alam Semesta
Varian termudah bagi jujukan menumpu dan mencapah mungkin siri berangka X =n dan X =1/n. Yang pertama ialah siri nombor semula jadi. Ia, seperti yang telah disebutkan, sangat besar. Jujukan penumpuan kedua dibatasi, dan sebutannya hampir dengan magnitud tak terhingga. Setiap formula ini mempersonifikasikan salah satu sisi Alam Semesta yang pelbagai rupa, membantu seseorang membayangkan dan mengira sesuatu yang tidak dapat diketahui, tidak boleh diakses oleh persepsi terhad dalam bahasa nombor dan tanda.
Undang-undang alam semesta, dari yang kecil hingga yang sangat besar, juga menyatakan nisbah emas sebanyak 0.618. Para saintismereka percaya bahawa ia adalah asas kepada intipati sesuatu dan digunakan oleh alam semula jadi untuk membentuk bahagian-bahagiannya. Hubungan antara ahli siri Fibonacci seterusnya dan sebelumnya, yang telah kami nyatakan, tidak melengkapkan demonstrasi sifat menakjubkan siri unik ini. Jika kita mempertimbangkan hasil bagi membahagikan sebutan sebelumnya dengan yang seterusnya hingga satu, maka kita mendapat satu siri 0.5; 0.33; 0.4; 0.375; 0.384; 0.380; 0, 382 dan seterusnya. Adalah menarik bahawa jujukan terhad ini menumpu, ia tidak membosankan, tetapi nisbah nombor jiran yang melampau daripada ahli tertentu sentiasa lebih kurang sama dengan 0.382, yang juga boleh digunakan dalam seni bina, analisis teknikal dan industri lain.
Terdapat pekali lain yang menarik bagi siri Fibonacci, semuanya memainkan peranan istimewa dalam alam semula jadi, dan juga digunakan oleh manusia untuk tujuan praktikal. Ahli matematik yakin bahawa Alam Semesta berkembang mengikut "lingkaran emas" tertentu, terbentuk daripada pekali yang ditunjukkan. Dengan bantuan mereka, adalah mungkin untuk mengira banyak fenomena yang berlaku di Bumi dan di angkasa, dari pertumbuhan bilangan bakteria tertentu kepada pergerakan komet jauh. Ternyata, kod DNA mematuhi undang-undang yang sama.
Janjang geometri yang menurun
Terdapat teorem yang menegaskan keunikan had jujukan penumpuan. Ini bermakna ia tidak boleh mempunyai dua atau lebih had, yang sudah pasti penting untuk mencari ciri matematiknya.
Mari kita lihat beberapakes. Mana-mana siri berangka yang terdiri daripada ahli janjang aritmetik adalah berbeza, kecuali untuk kes dengan langkah sifar. Perkara yang sama berlaku untuk janjang geometri, penyebutnya lebih besar daripada 1. Had siri berangka tersebut ialah "tambah" atau "tolak" infiniti. Jika penyebutnya kurang daripada -1, maka tiada had sama sekali. Pilihan lain boleh dilakukan.
Pertimbangkan siri nombor yang diberikan oleh formula X =(1/4) -1. Pada pandangan pertama, mudah untuk melihat bahawa jujukan konvergen ini terikat kerana ia semakin berkurangan dan sama sekali tidak mampu mengambil nilai negatif.
Mari kita tulis beberapa ahlinya berturut-turut.
Ia akan menjadi: 1; 0.25; 0.0625; 0.015625; 0, 00390625 dan seterusnya. Pengiraan yang agak mudah sudah cukup untuk memahami betapa cepat janjang geometri ini berkurangan daripada penyebut 0<q<1. Walaupun penyebut istilah meningkat selama-lamanya, mereka sendiri menjadi sangat kecil. Ini bermakna had siri nombor ialah 0. Contoh ini sekali lagi menunjukkan sifat terhad bagi jujukan penumpuan.
Jujukan asas
Augustin Louis Cauchy, seorang saintis Perancis, mendedahkan kepada dunia banyak karya yang berkaitan dengan analisis matematik. Beliau memberikan definisi kepada konsep seperti pembezaan, kamiran, had, dan kesinambungan. Beliau juga mengkaji sifat asas jujukan penumpuan. Untuk memahami intipati ideanya,beberapa butiran penting perlu diringkaskan.
Pada awal artikel, telah ditunjukkan bahawa terdapat urutan sedemikian yang mana terdapat kejiranan di mana mata yang mewakili ahli siri tertentu pada baris sebenar mula berkumpul, berbaris semakin banyak padat. Pada masa yang sama, jarak di antara mereka berkurangan apabila bilangan wakil seterusnya bertambah, bertukar menjadi yang tidak terhingga kecil. Oleh itu, ternyata dalam kejiranan tertentu bilangan wakil yang tidak terhingga bagi siri tertentu dikumpulkan, manakala di luarnya terdapat bilangan terhingga daripada mereka. Urutan sedemikian dipanggil asas.
Kriteria Cauchy yang terkenal, yang dicipta oleh seorang ahli matematik Perancis, jelas menunjukkan bahawa kehadiran sifat sedemikian adalah mencukupi untuk membuktikan bahawa jujukan itu menumpu. Perkara sebaliknya juga benar.
Perlu diingatkan bahawa kesimpulan ahli matematik Perancis ini kebanyakannya mempunyai kepentingan teori semata-mata. Penggunaannya dalam amalan dianggap sebagai perkara yang agak rumit, oleh itu, untuk menjelaskan penumpuan siri, adalah lebih penting untuk membuktikan kewujudan had terhingga untuk jujukan. Jika tidak, ia dianggap berbeza.
Apabila menyelesaikan masalah, seseorang juga harus mengambil kira sifat asas jujukan penumpuan. Ia ditunjukkan di bawah.
Jumlah tidak terhingga
Saintis zaman dahulu yang terkenal seperti Archimedes, Euclid, Eudoxus menggunakan jumlah siri nombor tak terhingga untuk mengira panjang lengkung, isipadu jasaddan bidang angka. Khususnya, dengan cara ini adalah mungkin untuk mengetahui kawasan segmen parabola. Untuk ini, jumlah siri berangka bagi janjang geometri dengan q=1/4 telah digunakan. Jilid dan kawasan angka sewenang-wenangnya ditemui dengan cara yang sama. Pilihan ini dipanggil kaedah "keletihan". Ideanya ialah badan yang dikaji, dalam bentuk kompleks, dipecahkan kepada bahagian, yang merupakan angka dengan parameter yang mudah diukur. Atas sebab ini, tidaklah sukar untuk mengira kawasan dan volumnya, kemudian mereka menjumlahkan.
Omong-omong, tugas yang serupa sangat biasa kepada murid sekolah moden dan terdapat dalam tugas USE. Kaedah unik, yang ditemui oleh nenek moyang yang jauh, adalah penyelesaian yang paling mudah. Walaupun hanya terdapat dua atau tiga bahagian di mana angka berangka dibahagikan, penambahan kawasannya masih merupakan jumlah siri nombor.
Lebih lewat daripada saintis Yunani purba Leibniz dan Newton, berdasarkan pengalaman pendahulu mereka yang bijak, mempelajari corak pengiraan kamiran. Pengetahuan tentang sifat jujukan membantu mereka menyelesaikan persamaan pembezaan dan algebra. Pada masa ini, teori siri, yang dicipta oleh usaha banyak generasi saintis berbakat, memberi peluang untuk menyelesaikan sejumlah besar masalah matematik dan praktikal. Dan kajian jujukan berangka telah menjadi masalah utama yang diselesaikan oleh analisis matematik sejak penubuhannya.
