Pythagoras berpendapat bahawa nombor itu mendasari dunia bersama-sama dengan unsur asas. Plato percaya bahawa nombor itu menghubungkan fenomena dan noumenon, membantu untuk mengenali, mengukur dan membuat kesimpulan. Aritmetik berasal daripada perkataan "arithmos" - nombor, permulaan permulaan dalam matematik. Ia boleh menerangkan sebarang objek - daripada epal asas kepada ruang abstrak.
Perlu sebagai faktor pembangunan
Pada peringkat awal pembentukan masyarakat, keperluan orang ramai terhad kepada keperluan untuk terus mengira - satu guni bijirin, dua guni bijirin, dan lain-lain. Nombor semula jadi sudah cukup untuk ini, setnya ialah jujukan positif tak terhingga bagi integer N.
Kemudian, dengan perkembangan matematik sebagai sains, terdapat keperluan untuk bidang integer Z yang berasingan - ia termasuk nilai negatif dan sifar. Penampilannya di peringkat isi rumah diprovokasi oleh fakta bahawa dalam perakaunan utama adalah perlu untuk membetulkanhutang dan kerugian. Pada peringkat saintifik, nombor negatif telah memungkinkan untuk menyelesaikan persamaan linear termudah. Antara lain, imej sistem koordinat remeh kini telah menjadi mungkin, kerana titik rujukan telah muncul.
Langkah seterusnya ialah keperluan untuk memperkenalkan nombor pecahan, kerana sains tidak berhenti, semakin banyak penemuan memerlukan asas teori untuk dorongan pertumbuhan baharu. Beginilah rupa medan nombor rasional Q.
Akhirnya, rasionaliti berhenti memenuhi permintaan, kerana semua kesimpulan baharu memerlukan justifikasi. Di sana muncul bidang nombor nyata R, karya Euclid mengenai ketidakseimbangan kuantiti tertentu kerana ketidakrasionalannya. Iaitu, ahli matematik Yunani kuno meletakkan nombor itu bukan sahaja sebagai pemalar, tetapi juga sebagai kuantiti abstrak, yang dicirikan oleh nisbah kuantiti yang tidak boleh dibandingkan. Disebabkan fakta bahawa nombor nyata muncul, kuantiti seperti "pi" dan "e" "melihat cahaya", tanpanya matematik moden tidak dapat berlaku.
Inovasi terakhir ialah nombor kompleks C. Ia menjawab beberapa soalan dan menyangkal postulat yang diperkenalkan sebelum ini. Disebabkan perkembangan pesat algebra, hasilnya boleh diramal - mempunyai nombor nyata, menyelesaikan banyak masalah adalah mustahil. Contohnya, terima kasih kepada nombor kompleks, teori rentetan dan huru-hara terserlah, dan persamaan hidrodinamik berkembang.
Tetapkan teori. Cantor
Konsep infiniti pada setiap masamenimbulkan kontroversi, kerana ia tidak dapat dibuktikan mahupun disangkal. Dalam konteks matematik, yang beroperasi dengan postulat yang disahkan dengan ketat, ini menunjukkan dirinya dengan paling jelas, terutamanya kerana aspek teologi masih mempunyai berat dalam sains.
Walau bagaimanapun, terima kasih kepada kerja ahli matematik Georg Kantor, segala-galanya menjadi sesuai dari masa ke masa. Dia membuktikan bahawa terdapat bilangan himpunan tak terhingga, dan medan R lebih besar daripada medan N, walaupun kedua-duanya tiada penghujung. Pada pertengahan abad ke-19, idea-ideanya lantang dipanggil karut dan jenayah terhadap kanun klasik yang tidak tergoyahkan, tetapi masa meletakkan segala-galanya pada tempatnya.
Sifat asas medan R
Nombor nyata bukan sahaja mempunyai sifat yang sama seperti subset yang disertakan di dalamnya, tetapi juga ditambah oleh yang lain kerana skala elemennya:
- Sifar wujud dan tergolong dalam medan R. c + 0=c untuk sebarang c daripada R.
- Sifar wujud dan tergolong dalam medan R. c x 0=0 untuk sebarang c daripada R.
- Perkaitan c: d untuk d ≠ 0 wujud dan sah untuk mana-mana c, d dari R.
- Medan R tersusun, iaitu, jika c ≦ d, d ≦ c, maka c=d untuk sebarang c, d daripada R.
- Tambahan dalam medan R adalah komutatif, iaitu c + d=d + c untuk sebarang c, d daripada R.
- Pendaraban dalam medan R adalah komutatif, iaitu c x d=d x c untuk sebarang c, d daripada R.
- Tambahan dalam medan R adalah bersekutu, iaitu (c + d) + f=c + (d + f) untuk sebarang c, d, f daripada R.
- Pendaraban dalam medan R adalah bersekutu, iaitu (c x d) x f=c x (d x f) untuk sebarang c, d, f daripada R.
- Untuk setiap nombor dalam medan R, terdapat bertentangan, sehingga c + (-c)=0, dengan c, -c adalah daripada R.
- Untuk setiap nombor daripada medan R terdapat songsangnya, sehingga c x c-1 =1, dengan c, c-1 daripada R.
- Unit wujud dan kepunyaan R, jadi c x 1=c, untuk sebarang c daripada R.
- Hukum pengagihan adalah sah, jadi c x (d + f)=c x d + c x f, untuk mana-mana c, d, f dari R.
- Dalam medan R, sifar tidak sama dengan satu.
- Medan R adalah transitif: jika c ≦ d, d ≦ f, maka c ≦ f untuk sebarang c, d, f daripada R.
- Dalam medan R, susunan dan penambahan adalah berkaitan: jika c ≦ d, maka c + f ≦ d + f untuk sebarang c, d, f daripada R.
- Dalam medan R, susunan dan pendaraban adalah berkaitan: jika 0 ≦ c, 0 ≦ d, maka 0 ≦ c x d untuk sebarang c, d daripada R.
- Kedua-dua nombor nyata negatif dan positif adalah selanjar, iaitu, untuk mana-mana c, d dari R, terdapat f dari R sehingga c ≦ f ≦ d.
Modul dalam medan R
Nombor sebenar termasuk modulus.
Ditandakan sebagai |f| untuk mana-mana f daripada R. |f|=f jika 0 ≦ f dan |f|=-f jika 0 > f. Jika kita menganggap modulus sebagai kuantiti geometri, maka ia adalah jarak yang dilalui - tidak kira jika anda "melepasi" sifar kepada tolak atau ke hadapan kepada tambah.
Nombor kompleks dan nyata. Apakah persamaan dan apakah perbezaannya?
Pada umumnya, nombor kompleks dan nyata adalah satu dan sama, kecuali ituunit khayalan i, yang kuasa duanya ialah -1. Unsur-unsur medan R dan C boleh diwakili sebagai formula berikut:
c=d + f x i, dengan d, f tergolong dalam medan R dan i ialah unit khayalan
Untuk mendapatkan c daripada R dalam kes ini, f hanya ditetapkan sama dengan sifar, iaitu, hanya bahagian sebenar nombor yang tinggal. Disebabkan oleh fakta bahawa medan nombor kompleks mempunyai set sifat yang sama dengan medan nombor nyata, f x i=0 jika f=0.
Mengenai perbezaan praktikal, sebagai contoh, dalam medan R, persamaan kuadratik tidak diselesaikan jika diskriminasi adalah negatif, manakala medan C tidak mengenakan sekatan sedemikian kerana pengenalan unit khayalan i.
Keputusan
"bata" aksiom dan postulat yang berasaskan matematik tidak berubah. Oleh kerana peningkatan maklumat dan pengenalan teori baru, "bata" berikut diletakkan pada sebahagian daripada mereka, yang pada masa akan datang boleh menjadi asas untuk langkah seterusnya. Sebagai contoh, nombor asli, walaupun pada hakikatnya ia adalah subset medan R sebenar, tidak kehilangan kaitannya. Pada merekalah semua aritmetik asas didasarkan, yang dengannya pengetahuan manusia tentang dunia bermula.
Dari sudut pandangan praktikal, nombor nyata kelihatan seperti garis lurus. Di atasnya anda boleh memilih arah, tetapkan asal dan langkah. Garis lurus terdiri daripada bilangan mata yang tidak terhingga, setiap satunya sepadan dengan nombor nyata tunggal, tidak kira sama ada ia rasional atau tidak. Jelas dari huraian bahawa kita bercakap tentang satu konsep di mana kedua-dua matematik secara umum dan analisis matematik secara umum dibina.khususnya.
