Walaupun di sekolah, semua pelajar membiasakan diri dengan konsep "geometri Euclidean", peruntukan utamanya tertumpu pada beberapa aksiom berdasarkan unsur geometri seperti titik, satah, garis, gerakan. Kesemuanya bersama-sama membentuk apa yang telah lama dikenali di bawah istilah "ruang Euclidean".
Ruang Euclidean, yang takrifannya berdasarkan konsep pendaraban skalar bagi vektor, ialah kes khas ruang linear (afine) yang memenuhi beberapa keperluan. Pertama, hasil darab skalar bagi vektor adalah simetri mutlak, iaitu, vektor dengan koordinat (x;y) secara kuantitatif sama dengan vektor dengan koordinat (y;x), tetapi bertentangan arah.
Kedua, jika hasil darab skalar bagi vektor dengan dirinya dilakukan, maka hasil tindakan ini akan menjadi positif. Satu-satunya pengecualian ialah kes apabila koordinat awal dan akhir vektor ini sama dengan sifar: dalam kes ini, hasil keluarannya dengan dirinya juga akan sama dengan sifar.
Ketiga, hasil darab skalar adalah pengagihan, iaitu, adalah mungkin untuk menguraikan salah satu koordinatnya kepada jumlah dua nilai, yang tidak akan melibatkan sebarang perubahan dalam hasil akhir pendaraban skalar vektor. Akhir sekali, keempat, apabila vektor didarab dengan nombor nyata yang sama, hasil darab skalarnya juga akan meningkat dengan faktor yang sama.
Jika keempat-empat syarat ini dipenuhi, kita boleh mengatakan dengan yakin bahawa kita mempunyai ruang Euclidean.
Ruang Euclidean dari sudut pandangan praktikal boleh dicirikan oleh contoh khusus berikut:
- Kes paling mudah ialah kehadiran set vektor dengan hasil darab skalar yang ditakrifkan mengikut undang-undang asas geometri.
- Ruang Euclidean juga akan diperoleh jika melalui vektor yang kami maksudkan adalah set nombor nyata terhingga tertentu dengan formula tertentu yang menerangkan jumlah atau hasil skalarnya.
- Kes khas ruang Euclidean ialah ruang sifar yang dipanggil, yang diperoleh jika panjang skalar kedua-dua vektor adalah sama dengan sifar.
Ruang Euclidean mempunyai beberapa sifat khusus. Pertama, faktor skalar boleh dikeluarkan daripada kurungan kedua-dua faktor pertama dan kedua hasil kali skalar, hasil daripada ini tidak akan berubah dalam apa jua cara. Kedua, bersama dengan pengagihan unsur pertama skalarproduk, pengagihan unsur kedua juga bertindak. Di samping itu, sebagai tambahan kepada jumlah skalar vektor, pengagihan juga berlaku dalam kes penolakan vektor. Akhir sekali, ketiga, apabila vektor didarab secara skalar dengan sifar, hasilnya juga akan menjadi sifar.
Oleh itu, ruang Euclidean ialah konsep geometri terpenting yang digunakan dalam menyelesaikan masalah dengan susunan vektor bersama secara relatif antara satu sama lain, yang dicirikan oleh konsep seperti hasil darab skalar.
