Pesawat di angkasa. Lokasi pesawat di angkasa

2024 Pengarang: Angel Austin | [email protected]. Diubah suai terakhir: 2024-01-02 17:53

Satah ialah objek geometri yang sifatnya digunakan semasa membina unjuran titik dan garis, serta semasa mengira jarak dan sudut dihedral antara unsur rajah tiga dimensi. Mari kita pertimbangkan dalam artikel ini apakah persamaan yang boleh digunakan untuk mengkaji lokasi satah di angkasa lepas.

Takrifan pesawat

Semua orang secara intuitif membayangkan objek yang akan dibincangkan. Dari sudut pandangan geometri, satah ialah himpunan titik, mana-mana vektor di antaranya mesti berserenjang dengan beberapa satu vektor. Sebagai contoh, jika terdapat m titik berbeza dalam ruang, maka m(m-1) / 2 vektor berbeza boleh dibuat daripadanya, menyambungkan titik secara berpasangan. Jika semua vektor berserenjang dengan beberapa arah, maka ini adalah syarat yang mencukupi bahawa semua titik m tergolong dalam satah yang sama.

Persamaan am

Dalam geometri spatial, satah diterangkan menggunakan persamaan yang biasanya mengandungi tiga koordinat yang tidak diketahui sepadan dengan paksi x, y dan z. Kepadadapatkan persamaan am dalam koordinat satah dalam ruang, andaikan terdapat vektor n¯(A; B; C) dan titik M(x₀; y₀; z_{0). Menggunakan kedua-dua objek ini, satah boleh ditakrifkan secara unik.}

Sememangnya, andaikan terdapat beberapa titik kedua P(x; y; z) yang koordinatnya tidak diketahui. Menurut definisi yang diberikan di atas, vektor MP¯ mestilah berserenjang dengan n¯, iaitu, hasil skalar bagi mereka adalah sama dengan sifar. Kemudian kita boleh menulis ungkapan berikut:

(n¯MP¯)=0 atau

A(x-x₀) + B(y-y₀) + C(z-z₀₎₌₀

Membuka kurungan dan memperkenalkan pekali D baharu, kita mendapat ungkapan:

Ax + By + Cz + D=0 dengan D=-1(Ax₀+ By ₀ + Cz₀₎

Ungkapan ini dipanggil persamaan am untuk satah. Adalah penting untuk diingat bahawa pekali di hadapan x, y dan z membentuk koordinat vektor n¯(A; B; C) berserenjang dengan satah. Ia bertepatan dengan yang biasa dan merupakan panduan untuk kapal terbang. Untuk menentukan persamaan am, tidak kira ke mana vektor ini diarahkan. Iaitu, pesawat yang dibina pada vektor n¯ dan -n¯ akan sama.

Rajah di atas menunjukkan satah, vektor normal padanya dan garis berserenjang dengan satah itu.

Segmen yang dipotong oleh satah pada paksi dan persamaan yang sepadan

Persamaan umum membenarkan penggunaan operasi matematik mudah untuk menentukan, dalampada titik manakah satah akan bersilang dengan paksi koordinat. Adalah penting untuk mengetahui maklumat ini untuk mendapatkan idea tentang kedudukan dalam ruang pesawat, serta semasa menggambarkannya dalam lukisan.

Untuk menentukan titik persilangan yang dinamakan, persamaan dalam segmen digunakan. Ia dipanggil sedemikian kerana ia secara eksplisit mengandungi nilai-nilai panjang segmen yang dipotong oleh satah pada paksi koordinat, apabila mengira dari titik (0; 0; 0). Mari dapatkan persamaan ini.

Tulis ungkapan umum untuk pesawat seperti berikut:

Ax + By + Cz=-D

Bahagian kiri dan kanan boleh dibahagikan dengan -D tanpa melanggar kesaksamaan. Kami ada:

A/(-D)x + B/(-D)y + C/(-D)z=1 atau

x/(-D/A) + y/(-D/B) + z/(-D/C)=1

Reka bentuk penyebut bagi setiap istilah dengan simbol baharu, kita dapat:

p=-D/A; q=-D/B; r=-D/C kemudian

x/p + y/q + z/r=1

Ini ialah persamaan yang dinyatakan di atas dalam segmen. Ia berikutan daripadanya bahawa nilai penyebut bagi setiap sebutan menunjukkan koordinat persilangan dengan paksi satah yang sepadan. Contohnya, ia bersilang dengan paksi-y pada titik (0; q; 0). Ini mudah difahami jika anda menggantikan koordinat sifar x dan z ke dalam persamaan.

Perhatikan bahawa jika tiada pembolehubah dalam persamaan dalam segmen, ini bermakna satah tidak bersilang dengan paksi yang sepadan. Contohnya, diberikan ungkapan:

x/p + y/q=1

Ini bermakna satah itu akan memotong segmen p dan q pada paksi x dan y, masing-masing, tetapi ia akan selari dengan paksi z.

Kesimpulan tentang tingkah laku kapal terbang apabilaketiadaan beberapa pembolehubah dalam persamaannya juga benar untuk ungkapan jenis umum, seperti yang ditunjukkan dalam rajah di bawah.

Persamaan parametrik vektor

Terdapat jenis persamaan ketiga yang membolehkan menggambarkan satah di angkasa. Ia dipanggil vektor parametrik kerana ia diberikan oleh dua vektor yang terletak dalam satah dan dua parameter yang boleh mengambil nilai bebas sewenang-wenangnya. Mari tunjukkan bagaimana persamaan ini boleh diperolehi.

Andaikan terdapat beberapa vektor yang diketahui u ¯(a₁; b₁; c₁) dan v¯(a₂; b₂; c₂). Jika ia tidak selari, maka ia boleh digunakan untuk menetapkan satah tertentu dengan menetapkan permulaan salah satu vektor ini pada titik yang diketahui M(x₀; y₀; z_{0). Jika vektor arbitrari MP¯ boleh diwakili sebagai gabungan vektor linear u¯ dan v¯, maka ini bermakna titik P(x; y; z) tergolong dalam satah yang sama dengan u¯, v¯. Oleh itu, kita boleh menulis kesamaan:}

MP¯=αu¯ + βv¯

Atau menulis kesamaan ini dari segi koordinat, kita dapat:

(x; y; z)=(x₀; y₀; z₀) + α(a₁; b₁; c₁) + β(a ₂; b₂; c₂₎

Kesamaan yang dibentangkan ialah persamaan vektor parametrik untuk satah. ATruang vektor pada satah u¯ dan v¯ dipanggil penjana.

Seterusnya, apabila menyelesaikan masalah, ia akan ditunjukkan bagaimana persamaan ini boleh dikurangkan kepada bentuk umum untuk satah.

Sudut antara satah di angkasa

Secara intuitif, pesawat dalam ruang 3D boleh bersilang atau tidak. Dalam kes pertama, adalah menarik untuk mencari sudut di antara mereka. Pengiraan sudut ini lebih sukar daripada sudut antara garis, kerana kita bercakap tentang objek geometri dihedral. Walau bagaimanapun, vektor panduan yang telah disebutkan untuk pesawat itu datang untuk menyelamatkan.

Ditetapkan secara geometri bahawa sudut dihedral antara dua satah bersilang betul-betul sama dengan sudut antara vektor panduan mereka. Mari kita nyatakan vektor ini sebagai n₁¯(a₁; b₁; c_{1) dan n}2_¯(a2_{; b}2_{; c}2_{). Kosinus sudut di antara mereka ditentukan daripada hasil skalar. Iaitu, sudut itu sendiri dalam ruang antara satah boleh dikira dengan formula:}

φ=arccos(|(n₁¯n₂¯)|/(|n₁ ¯||n_2¯|))

Di sini modulus dalam penyebut digunakan untuk membuang nilai sudut tumpul (antara satah bersilang ia sentiasa kurang daripada atau sama dengan 90o).

Dalam bentuk koordinat, ungkapan ini boleh ditulis semula seperti berikut:

φ=arccos(|a₁a₂ + b₁b ₂ +c₁c₂|/(√(a₁² + b₁² + c₁²)√(a₂² + b₂² + c ₂²⁾⁾⁾

Satah berserenjang dan selari

Jika satah bersilang dan sudut dihedral yang dibentuk oleh mereka ialah 90o, maka ia akan berserenjang. Contoh satah tersebut ialah prisma segi empat tepat atau kubus. Angka-angka ini dibentuk oleh enam satah. Pada setiap bucu rajah yang dinamakan terdapat tiga satah berserenjang antara satu sama lain.

Untuk mengetahui sama ada satah yang dipertimbangkan adalah berserenjang, cukup untuk mengira hasil skalar bagi vektor normalnya. Keadaan yang mencukupi untuk keserenjangan dalam ruang satah ialah nilai sifar produk ini.

Sejajar dipanggil satah tidak bersilang. Kadang-kadang juga dikatakan bahawa satah selari bersilang pada infiniti. Keadaan selari dalam ruang satah bertepatan dengan syarat untuk vektor arah n₁¯ dan n_{2¯. Anda boleh menyemaknya dalam dua cara:}

Kira kosinus sudut dihedral (cos(φ)) menggunakan hasil darab skalar. Jika satah adalah selari, maka nilainya ialah 1.

Cuba mewakili satu vektor melalui yang lain dengan mendarab dengan beberapa nombor, iaitu n₁¯=kn_{2¯. Jika ini boleh dilakukan, maka satah yang sepadan adalahselari.}

Rajah menunjukkan dua satah selari.

Sekarang mari kita berikan contoh penyelesaian dua masalah menarik menggunakan pengetahuan matematik yang diperolehi.

Bagaimana untuk mendapatkan bentuk umum daripada persamaan vektor?

Ini ialah ungkapan vektor parametrik untuk satah. Untuk memudahkan anda memahami aliran operasi dan helah matematik yang digunakan, pertimbangkan contoh khusus:

(x; y; z)=(1; 2; 0) + α(2; -1; 1) + β(0; 1; 3)

Kembangkan ungkapan ini dan nyatakan parameter yang tidak diketahui:

x=1 + 2α;

y=2 - α + β;

z=α + 3β

Kemudian:

α=(x - 1)/2;

β=y - 2 + (x - 1)/2;

z=(x - 1)/2 + 3(y - 2 + (x - 1)/2)

Membuka kurungan dalam ungkapan terakhir, kita mendapat:

z=2x-2 + 3y - 6 atau

2x + 3y - z - 8=0

Kami telah memperoleh bentuk umum persamaan untuk satah yang dinyatakan dalam pernyataan masalah dalam bentuk vektor

Bagaimana untuk membina pesawat melalui tiga mata?

Adalah mungkin untuk melukis satu satah melalui tiga mata jika titik ini bukan milik beberapa garis lurus tunggal. Algoritma untuk menyelesaikan masalah ini terdiri dalam urutan tindakan berikut:

cari koordinat dua vektor dengan menyambungkan titik yang diketahui secara berpasangan;
kira hasil silang mereka dan dapatkan vektor normal pada satah;
tulis persamaan am menggunakan vektor yang ditemui danmana-mana daripada tiga mata.

Mari kita ambil contoh konkrit. Mata diberi: