Objek geometri penting yang dikaji dalam ruang rata ialah garis lurus. Dalam ruang tiga dimensi, selain garis lurus, terdapat juga satah. Kedua-dua objek ditakrifkan dengan mudah menggunakan vektor arah. Apakah itu, bagaimanakah vektor ini digunakan untuk menentukan persamaan garis lurus dan satah? Soalan ini dan soalan lain dibincangkan dalam artikel.
Barisan terus dan cara mentakrifkannya
Setiap pelajar mempunyai idea yang baik tentang objek geometri yang mereka perkatakan. Dari sudut pandangan matematik, garis lurus ialah satu set titik, yang, dalam kes sambungan pasangan sewenang-wenangnya, membawa kepada satu set vektor selari. Takrif garis ini digunakan untuk menulis persamaan untuknya dalam kedua-dua dua dan tiga dimensi.
Untuk menerangkan objek satu dimensi yang dipertimbangkan, jenis persamaan yang berbeza digunakan, yang disenaraikan dalam senarai di bawah:
- pandangan umum;
- parametrik;
- vektor;
- kanonik atau simetri;
- dalam segmen.
Setiap spesies ini mempunyai beberapa kelebihan berbanding yang lain. Sebagai contoh, persamaan dalam segmen adalah mudah digunakan apabila mengkaji kelakuan garis lurus berbanding paksi koordinat, persamaan am adalah mudah apabila mencari arah yang berserenjang dengan garis lurus tertentu, serta semasa mengira sudutnya. persilangan dengan paksi-x (untuk kes rata).
Memandangkan topik artikel ini berkaitan dengan vektor arah garis lurus, kami akan mempertimbangkan selanjutnya hanya persamaan di mana vektor ini adalah asas dan terkandung secara eksplisit, iaitu ungkapan vektor.
Menentukan garis lurus melalui vektor
Andaikan kita mempunyai beberapa vektor v¯ dengan koordinat yang diketahui (a; b; c). Oleh kerana terdapat tiga koordinat, vektor diberikan dalam ruang. Bagaimana untuk menggambarkannya dalam sistem koordinat segi empat tepat? Ini dilakukan dengan sangat mudah: pada setiap tiga paksi, satu segmen diplot, yang panjangnya sama dengan koordinat vektor yang sepadan. Titik persilangan tiga serenjang yang dipulihkan kepada satah xy, yz dan xz akan menjadi penghujung vektor. Permulaannya ialah titik (0; 0; 0).
Namun begitu, kedudukan vektor yang diberikan bukanlah satu-satunya. Begitu juga, seseorang boleh melukis v¯ dengan meletakkan asalnya pada titik sewenang-wenangnya dalam ruang. Argumen ini mengatakan bahawa adalah mustahil untuk menetapkan garis tertentu menggunakan vektor. Ia mentakrifkan keluarga dengan bilangan garis selari yang tidak terhingga.
Sekarangtetapkan beberapa titik P(x0; y0; z0) ruang. Dan kami menetapkan syarat: garis lurus mesti melalui P. Dalam kes ini, vektor v¯ juga mesti mengandungi titik ini. Fakta terakhir bermakna bahawa satu baris boleh ditakrifkan menggunakan P dan v¯. Ia akan ditulis sebagai persamaan berikut:
Q=P + λ × v¯
Di sini Q ialah sebarang titik kepunyaan garis. Titik ini boleh diperolehi dengan memilih parameter λ yang sesuai. Persamaan bertulis dipanggil persamaan vektor, dan v¯ dipanggil vektor arah garis lurus. Dengan menyusunnya supaya ia melalui P dan menukar panjangnya dengan parameter λ, kita mendapat setiap titik Q sebagai garis lurus.
Dalam bentuk koordinat, persamaan akan ditulis seperti berikut:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ × (a; b; c)
Dan dalam bentuk eksplisit (parametrik), anda boleh menulis:
x=x0+ λ × a;
y=y0+ λ × b;
z=z0+ λ × c
Jika kita mengecualikan koordinat ketiga dalam ungkapan di atas, maka kita mendapat persamaan vektor bagi garis lurus pada satah.
Untuk tugas apakah yang berguna untuk mengetahui vektor arah ?
Sebagai peraturan, ini adalah tugas untuk menentukan keselarian dan keserenjangan garis. Selain itu, vektor langsung yang menentukan arah digunakan semasa mengira jarak antara garis lurus dengan titik dan garis lurus, untuk menerangkan kelakuan garis lurus berbanding satah.
Duagarisan akan selari jika vektor arahnya adalah. Sehubungan itu, keserenjangan garisan dibuktikan menggunakan keserenjangan vektornya. Dalam jenis masalah ini, cukup untuk mengira hasil skalar bagi vektor yang dipertimbangkan untuk mendapatkan jawapannya.
Dalam kes tugas untuk mengira jarak antara garis dan titik, vektor arah disertakan secara eksplisit dalam formula yang sepadan. Mari tuliskannya:
d=|[P1P2¯ × v¯] | / |v¯|
Di sini P1P2¯ - dibina pada titik P1 dan P 2 segmen terarah. Titik P2 adalah sewenang-wenangnya, terletak pada garisan dengan vektor v¯, manakala titik P1 ialah titik yang jaraknya harus berazam. Ia boleh sama ada bebas atau milik baris atau satah lain.
Perhatikan bahawa adalah wajar untuk mengira jarak antara garis hanya apabila ia selari atau bersilang. Jika ia bersilang, maka d ialah sifar.
Formula di atas untuk d juga sah untuk mengira jarak antara satah dan garis lurus yang selari dengannya, hanya dalam kes ini P1sepatutnya milik satah itu.
Mari kita selesaikan beberapa masalah untuk menunjukkan cara menggunakan vektor yang dipertimbangkan dengan lebih baik.
Masalah Persamaan Vektor
Adalah diketahui bahawa garis lurus diterangkan oleh persamaan berikut:
y=3 × x - 4
Anda harus menulis ungkapan yang sesuai dalambentuk vektor.
Ini ialah persamaan biasa bagi garis lurus, yang diketahui oleh setiap murid sekolah, ditulis dalam bentuk umum. Mari tunjukkan cara menulis semula dalam bentuk vektor.
Ungkapan boleh diwakili sebagai:
(x; y)=(x; 3 × x - 4)
Ia boleh dilihat bahawa jika anda membukanya, anda mendapat kesamaan asal. Sekarang kita bahagikan bahagian kanannya kepada dua vektor supaya hanya satu daripadanya mengandungi x, kita ada:
(x; y)=(x; 3 × x) + (0; -4)
Ia kekal untuk mengeluarkan x daripada kurungan, tetapkannya dengan simbol Yunani dan menukar vektor di sebelah kanan:
(x; y)=(0; -4) + λ × (1; 3)
Kami mendapat bentuk vektor bagi ungkapan asal. Koordinat vektor arah bagi garis lurus ialah (1; 3).
Tugas menentukan kedudukan relatif garis
Dua baris diberikan dalam ruang:
(x; y; z)=(1; 0; -2) + λ × (-1; 3; 1);
(x; y; z)=(3; 2; 2) + γ × (1; 2; 0)
Adakah ia selari, bersilang atau bersilang?
Vektor bukan sifar (-1; 3; 1) dan (1; 2; 0) akan menjadi panduan untuk garisan ini. Mari kita nyatakan persamaan ini dalam bentuk parametrik dan gantikan koordinat yang pertama kepada yang kedua. Kami mendapat:
x=1 - λ;
y=3 × λ;
z=-2 + λ;
x=3 + γ=1 - λ=>γ=-2 - λ;
y=2 + 2 × γ=3 × λ=> γ=3 / 2 × λ - 1;
z=2=-2 + λ=> λ=4
Gantikan parameter λ yang ditemui ke dalam dua persamaan di atas, kita dapat:
γ=-2 - λ=-6;
γ=3 / 2 × λ - 1=5
Parameter γ tidak boleh mengambil dua nilai berbeza pada masa yang sama. Ini bermakna bahawa garisan tidak mempunyai satu titik sepunya, iaitu, ia bersilang. Mereka tidak selari, kerana vektor bukan sifar tidak selari antara satu sama lain (untuk keselariannya, mesti ada nombor yang, dengan mendarab dengan satu vektor, akan membawa kepada koordinat kedua).
Penerangan matematik pesawat
Untuk menetapkan satah di angkasa, kami memberikan persamaan umum:
A × x + B × y + C × z + D=0
Di sini huruf besar Latin mewakili nombor tertentu. Tiga yang pertama mentakrifkan koordinat vektor normal satah. Jika ia dilambangkan dengan n¯, maka:
n¯=(A; B; C)
Vektor ini berserenjang dengan satah, jadi ia dipanggil panduan. Pengetahuannya, serta koordinat yang diketahui bagi mana-mana titik kepunyaan satah, secara unik menentukan yang terakhir.
Jika titik P(x1; y1; z1) kepunyaan satah, maka pintasan D dikira seperti berikut:
D=-1 × (A × x1+ B × y1 + C × z1)
Mari kita selesaikan beberapa masalah menggunakan persamaan am untuk satah.
Tugas untukmencari vektor normal satah
Pesawat ditakrifkan seperti berikut:
(y - 3) / 2 + (x + 1) / 3 - z / 4=1
Bagaimana untuk mencari vektor arah untuknya?
Daripada teori di atas, ia berikutan bahawa koordinat bagi vektor normal n¯ ialah pekali di hadapan pembolehubah. Dalam hal ini, untuk mencari n¯, persamaan harus ditulis dalam bentuk umum. Kami ada:
1 / 3 × x + 1 / 2 × y - 1 / 4 × z - 13 / 6=0
Maka vektor normal pesawat ialah:
n¯=(1/3; 1/2; -1/4)
Masalah merangka persamaan satah
Koordinat tiga titik diberikan:
M1(1; 0; 0);
M2(2; -1; 5);
M3(0; -2; -2)
Apakah rupa persamaan satah yang mengandungi semua titik ini.
Melalui tiga mata yang tidak tergolong dalam garisan yang sama, hanya satu satah boleh dilukis. Untuk mencari persamaannya, kita mula-mula mengira vektor arah satah n¯. Untuk melakukan ini, kami meneruskan seperti berikut: kami mencari sewenang-wenangnya dua vektor kepunyaan satah, dan mengira produk vektor mereka. Ia akan memberikan vektor yang akan berserenjang dengan satah ini, iaitu, n¯. Kami ada:
M1M2¯=(1; -1; 5); M1M3¯=(-1; -2; -2);
n¯=[M1M2¯ × M1M 3¯]=(12; -3; -3)
Ambil titik M1untuk melukisungkapan satah. Kami mendapat:
D=-1 × (12 × 1 + (-3) × 0 + (-3) × 0)=-12;
12 × x - 3 × y - 3 × z - 12=0=>
4 × x - y - z - 4=0
Kami telah memperoleh ungkapan jenis umum untuk satah di angkasa dengan terlebih dahulu mentakrifkan vektor arah untuknya.
Sifat hasil silang harus diingat semasa menyelesaikan masalah dengan satah, kerana ia membolehkan anda menentukan koordinat vektor biasa dengan cara yang mudah.
