Mungkin, konsep terbitan sudah biasa bagi setiap daripada kita sejak di bangku sekolah. Biasanya pelajar sukar memahami perkara ini, tidak dinafikan, perkara yang sangat penting. Ia digunakan secara aktif dalam pelbagai bidang kehidupan manusia, dan banyak perkembangan kejuruteraan berdasarkan tepat pada pengiraan matematik yang diperoleh menggunakan derivatif. Tetapi sebelum meneruskan analisis tentang apakah terbitan nombor, cara mengiranya dan di mana ia berguna kepada kita, mari kita terjun ke dalam sejarah.
Sejarah
Konsep derivatif, yang merupakan asas analisis matematik, ditemui (lebih baik untuk mengatakan "dicipta", kerana ia tidak wujud dalam alam semula jadi seperti itu) oleh Isaac Newton, yang kita semua tahu daripada penemuan hukum graviti sejagat. Dialah yang pertama kali menggunakan konsep ini dalam fizik untuk menghubungkan sifat kelajuan dan pecutan badan. Dan ramai saintis masih memuji Newton untuk ciptaan yang hebat ini, kerana sebenarnya dia mencipta asas kalkulus pembezaan dan integral, sebenarnya, asas seluruh bidang matematik yang dipanggil "kalkulus". Jika pada masa itu Hadiah Nobel, Newton akan menerimanya dengan kebarangkalian yang tinggi beberapa kali.
Bukan tanpa minda hebat yang lain. Kecuali Newtongenius matematik yang terkenal seperti Leonhard Euler, Louis Lagrange dan Gottfried Leibniz mengusahakan pembangunan derivatif dan kamiran. Terima kasih kepada mereka bahawa kami telah menerima teori kalkulus pembezaan dalam bentuk yang wujud sehingga hari ini. Ngomong-ngomong, Leibnizlah yang menemui makna geometri terbitan, yang ternyata tidak lebih daripada tangen cerun tangen kepada graf fungsi.
Apakah terbitan nombor? Mari kita ulangi sedikit apa yang kita lalui di sekolah.
Apakah itu terbitan?
Konsep ini boleh ditakrifkan dalam beberapa cara yang berbeza. Penjelasan paling mudah ialah derivatif ialah kadar perubahan fungsi. Bayangkan graf bagi beberapa fungsi y bagi x. Jika ia tidak lurus, maka ia mempunyai beberapa lengkung dalam graf, tempoh peningkatan dan penurunan. Jika kita mengambil beberapa selang yang sangat kecil bagi graf ini, ia akan menjadi segmen garis lurus. Jadi, nisbah saiz segmen kecil tak terhingga ini di sepanjang koordinat y kepada saiz sepanjang koordinat x akan menjadi terbitan bagi fungsi ini pada titik tertentu. Jika kita menganggap fungsi itu secara keseluruhan, dan bukan pada titik tertentu, maka kita akan mendapat fungsi terbitan, iaitu, pergantungan tertentu y pada x.
Selain itu, sebagai tambahan kepada makna fizikal terbitan sebagai kadar perubahan fungsi, terdapat juga makna geometri. Kita akan bercakap tentang dia sekarang.
Deria geometri
Terbitan nombor itu sendiri mewakili nombor tertentu, yang, tanpa pemahaman yang betul, tidak membawatiada gunanya. Ternyata terbitan bukan sahaja menunjukkan kadar pertumbuhan atau penurunan fungsi, tetapi juga tangen kecerunan tangen kepada graf fungsi pada titik tertentu. Takrifan yang sangat jelas. Mari analisa dengan lebih terperinci. Katakan kita mempunyai graf fungsi (untuk kepentingan, mari kita ambil lengkung). Ia mempunyai bilangan mata yang tidak terhingga, tetapi terdapat kawasan di mana hanya satu titik tunggal mempunyai maksimum atau minimum. Melalui mana-mana titik sedemikian adalah mungkin untuk melukis garis yang akan berserenjang dengan graf fungsi pada titik itu. Garisan sedemikian akan dipanggil tangen. Katakan kita menghabiskannya ke persimpangan dengan paksi OX. Jadi, sudut yang diperolehi antara tangen dan paksi OX akan ditentukan oleh terbitan. Lebih tepat lagi, tangen sudut ini akan sama dengannya.
Mari kita bercakap sedikit tentang kes khas dan menganalisis terbitan nombor.
Kes khas
Seperti yang telah kami katakan, terbitan nombor ialah nilai terbitan pada titik tertentu. Sebagai contoh, mari kita ambil fungsi y=x2. Derivatif x ialah nombor, dan dalam kes umum, fungsi bersamaan dengan 2x. Jika kita perlu mengira derivatif, katakan, pada titik x0=1, maka kita dapat y'(1)=21=2. Semuanya sangat mudah. Kes yang menarik ialah terbitan bagi nombor kompleks. Kami tidak akan pergi ke penjelasan terperinci tentang apa itu nombor kompleks. Katakan sahaja bahawa ini ialah nombor yang mengandungi apa yang dipanggil unit khayalan - nombor yang kuasa duanya ialah -1. Pengiraan derivatif sedemikian hanya mungkin jika yang berikutsyarat:
1) Mesti ada terbitan separa tertib pertama bagi bahagian sebenar dan khayalan berkenaan dengan Y dan X.
2) Syarat Cauchy-Riemann yang dikaitkan dengan kesamaan derivatif separa yang diterangkan dalam perenggan pertama dipenuhi.
Satu lagi kes menarik, walaupun tidak serumit yang sebelumnya, ialah terbitan nombor negatif. Malah, sebarang nombor negatif boleh diwakili sebagai nombor positif didarab dengan -1. Nah, terbitan pemalar dan fungsi adalah sama dengan pemalar didarab dengan terbitan fungsi itu.
Memang menarik untuk mengetahui tentang peranan derivatif dalam kehidupan seharian, dan inilah yang akan kita bincangkan sekarang.
Permohonan
Mungkin, setiap daripada kita sekurang-kurangnya sekali dalam hidupnya menganggap dirinya berfikir bahawa matematik tidak mungkin berguna kepadanya. Dan perkara yang rumit seperti derivatif, mungkin, tidak mempunyai aplikasi sama sekali. Malah, matematik adalah sains asas, dan semua buahnya dibangunkan terutamanya oleh fizik, kimia, astronomi, dan juga ekonomi. Derivatif adalah permulaan analisis matematik, yang memberi kami keupayaan untuk membuat kesimpulan daripada graf fungsi, dan kami belajar untuk mentafsir undang-undang alam dan mengubahnya untuk kelebihan kami berkatnya.
Kesimpulan
Sudah tentu, tidak semua orang mungkin memerlukan derivatif dalam kehidupan sebenar. Tetapi matematik membangunkan logik, yang pastinya diperlukan. Bukan tanpa alasan bahawa matematik dipanggil ratu sains: ia membentuk asas untuk memahami bidang pengetahuan lain.
