Takrif dan magnitud nombor Graham

2024 Pengarang: Angel Austin | [email protected]. Diubah suai terakhir: 2024-01-15 17:28

Pada perkataan "infiniti" setiap orang mempunyai persatuan sendiri. Ramai menarik dalam imaginasi mereka laut yang melampaui ufuk, manakala yang lain mempunyai gambaran langit berbintang yang tidak berkesudahan di hadapan mata mereka. Ahli matematik, yang biasa beroperasi dengan nombor, bayangkan infiniti dengan cara yang sama sekali berbeza. Selama berabad-abad mereka telah cuba mencari kuantiti fizik yang terbesar yang diperlukan untuk mengukur. Salah satunya ialah nombor Graham. Berapa banyak sifar di dalamnya dan untuk kegunaannya, artikel ini akan memberitahu.

Nombor yang tidak terhingga besar

Dalam matematik, ini ialah nama pembolehubah sedemikian x , jika bagi mana-mana nombor positif M tertentu seseorang boleh menentukan nombor asli N supaya untuk semua nombor n lebih besar daripada N ketaksamaan |x _{| > M. Walau bagaimanapun, tidak, sebagai contoh, integer Z boleh dianggap besar tidak terhingga, kerana ia akan sentiasa kurang daripada (Z + 1).}

Sedikit perkataan tentang "gergasi"

Nombor terbesar yang mempunyai makna fizikal dianggap sebagai:

• 1080. Nombor ini, yang biasanya dipanggil quinquavigintillion, digunakan untuk menunjukkan anggaran bilangan quark dan lepton (zarah terkecil) di Alam Semesta.
• 1 Google. Nombor sedemikian dalam sistem perpuluhan ditulis sebagai unit dengan 100 sifar. Menurut beberapa model matematik, dari masa letupan besar hingga letupan lubang hitam yang paling besar, dari 1 hingga 1.5 tahun googol harus berlalu, selepas itu alam semesta kita akan bergerak ke peringkat terakhir kewujudannya, iaitu, kita boleh andaikan nombor ini mempunyai makna fizikal tertentu.
• 8, 5 x 10¹⁸⁵. Pemalar Planck ialah 1.616199 x 10^-35 m, iaitu dalam tatatanda perpuluhan ia kelihatan seperti 0.000000000000000000000000000616199 m. Terdapat kira-kira 1 panjang Planck googol dalam satu inci. Dianggarkan kira-kira 8.5 x 10^{185 Panjang pelan boleh muat di seluruh alam semesta kita.}
• 2^{77 232 917} – 1. Ini ialah nombor perdana terbesar yang diketahui. Jika notasi binarinya mempunyai bentuk yang agak padat, maka untuk menggambarkannya dalam bentuk perpuluhan, ia akan mengambil masa tidak kurang daripada 13 juta aksara. Ia ditemui pada 2017 sebagai sebahagian daripada projek untuk mencari nombor Mersenne. Jika peminat terus bekerja ke arah ini, maka pada tahap perkembangan teknologi komputer semasa, dalam masa terdekat mereka tidak mungkin dapat mencari nombor Mersenne urutan magnitud lebih besar daripada 2^{77 232 917- 1, walaupun begitupemenang bertuah akan menerima AS$150,000.}
• Hugoplex. Di sini kita hanya mengambil 1 dan menambah sifar selepasnya dalam jumlah 1 googol. Anda boleh menulis nombor ini sebagai 10^10^100. Adalah mustahil untuk mewakilinya dalam bentuk perpuluhan, kerana jika seluruh ruang Alam Semesta dipenuhi dengan kepingan kertas, pada setiap satunya 0 akan ditulis dengan saiz fon "Perkataan" 10, maka dalam kes ini hanya separuh daripada semua 0 selepas 1 akan diperolehi untuk nombor googolplex.
• 10^10^10^10^10^1.1. Ini adalah nombor yang menunjukkan bilangan tahun selepas itu, menurut teorem Poincaré, Alam Semesta kita, akibat turun naik kuantum rawak, akan kembali ke keadaan hampir hari ini.

Cara nombor Graham terhasil

Pada tahun 1977, pempopular sains terkenal Martin Gardner menerbitkan artikel dalam Scientific American mengenai bukti Graham tentang salah satu masalah teori Ramse. Di dalamnya, dia menyebut had yang ditetapkan oleh saintis itu sebagai nombor terbesar yang pernah digunakan dalam penaakulan matematik yang serius.

Siapa Ronald Lewis Graham

Saintis itu, kini berusia 80-an, dilahirkan di California. Pada tahun 1962, beliau menerima Ph. D dalam bidang matematik dari Universiti Berkeley. Beliau bekerja di Bell Labs selama 37 tahun dan kemudiannya berpindah ke AT&T Labs. Saintis itu secara aktif bekerjasama dengan salah seorang ahli matematik terhebat abad ke-20, Pal Erdős, dan merupakan pemenang banyak anugerah berprestij. Bibliografi saintifik Graham mengandungi lebih daripada 320 kertas saintifik.

Pada pertengahan tahun 70-an, saintis itu berminat dengan masalah yang berkaitan dengan teoriRamsey. Dalam buktinya, sempadan atas penyelesaian telah ditentukan, iaitu nombor yang sangat besar, kemudiannya dinamakan sempena Ronald Graham.

Masalah hiperkubus

Untuk memahami intipati nombor Graham, anda mesti terlebih dahulu memahami cara ia diperoleh.

Saintis dan rakan sekerjanya Bruce Rothschild sedang menyelesaikan masalah berikut:

Terdapat hiperkiub n-dimensi. Semua pasangan bucunya disambungkan sedemikian rupa sehingga graf lengkap dengan 2diperolehi. Setiap tepinya diwarnakan sama ada biru atau merah. Ia dikehendaki mencari bilangan bucu minimum yang perlu ada pada hiperkubus supaya setiap pewarnaan tersebut mengandungi subgraf monokromatik lengkap dengan 4 bucu terletak dalam satah yang sama.

Keputusan

Graham dan Rothschild membuktikan bahawa masalah itu mempunyai penyelesaian N' yang memenuhi syarat 6 ⩽ N' ⩽N di mana N ialah nombor yang jelas dan sangat besar.

Sempadan bawah untuk N kemudiannya diperhalusi oleh saintis lain, yang membuktikan bahawa N mestilah lebih besar daripada atau sama dengan 13. Oleh itu, ungkapan untuk bilangan bucu terkecil hiperkubus yang memenuhi syarat yang dibentangkan di atas menjadi 13 ⩽ N'⩽ N.

notasi anak panah Knuth

Sebelum mentakrifkan nombor Graham, anda harus membiasakan diri dengan kaedah perwakilan simboliknya, kerana notasi perpuluhan atau perduaan tidak sesuai untuk ini.

Pada masa ini, notasi anak panah Knuth digunakan untuk mewakili kuantiti ini. Menurutnya:

ab=a "anak panah atas" b.

Untuk pengendalian eksponen berbilang, entri telah diperkenalkan:

a "anak panah atas" "anak panah atas" b=ab="sebuah menara yang terdiri daripada a dalam jumlah b keping."

Dan untuk pentasi, iaitu penetapan simbolik eksponentasi berulang operator sebelumnya, Knuth sudah menggunakan 3 anak panah.

Menggunakan tatatanda ini untuk nombor Graham, kami mempunyai jujukan "anak panah" bersarang antara satu sama lain, dalam jumlah 64 pcs.

Skala

Nombor terkenal mereka, yang menggembirakan imaginasi dan meluaskan sempadan kesedaran manusia, membawanya melampaui batas Alam Semesta, Graham dan rakan-rakannya memperolehnya sebagai batas atas untuk nombor N dalam bukti hiperkubus masalah yang dikemukakan di atas. Amat sukar bagi orang biasa untuk membayangkan betapa besar skalanya.

Soalan bilangan aksara, atau seperti yang kadangkala tersilap katakan, sifar dalam nombor Graham, menarik minat hampir semua orang yang mendengar tentang nilai ini buat kali pertama.

Cukuplah untuk mengatakan bahawa kami sedang berhadapan dengan urutan yang berkembang pesat yang terdiri daripada 64 ahli. Malah istilah pertamanya adalah mustahil untuk dibayangkan, kerana ia terdiri daripada n "menara", yang terdiri daripada 3-ke. Sudah "tingkat bawah" 3 tiga kali ganda adalah bersamaan dengan 7,625,597,484,987, iaitu, ia melebihi 7 bilion, iaitu mengenai tingkat 64 (bukan ahli!). Oleh itu, pada masa ini mustahil untuk menyatakan dengan tepat apakah nombor Graham itu, kerana ia tidak mencukupi untuk mengiranya.kuasa gabungan semua komputer yang wujud di Bumi hari ini.

Rekod pecah?

Dalam proses membuktikan teorem Kruskal, nombor Graham telah “dibuang dari alasnya”. Ahli sains mencadangkan masalah berikut:

Terdapat urutan tak terhingga bagi pokok terhingga. Kruskal membuktikan bahawa sentiasa ada bahagian bagi sesetengah graf, yang merupakan bahagian daripada graf yang lebih besar dan salinan tepatnya. Pernyataan ini tidak menimbulkan sebarang keraguan, kerana jelas sekali bahawa akan sentiasa ada kombinasi berulang tepat pada infiniti

Kemudian, Harvey Friedman agak mengecilkan masalah ini dengan mempertimbangkan hanya graf akiklik (pokok) yang bagi graf tertentu dengan pekali i terdapat paling banyak (i + k) bucu. Dia memutuskan untuk mengetahui jumlah graf asiklik yang sepatutnya, supaya dengan kaedah tugas mereka ini, ia sentiasa mungkin untuk mencari subpokok yang akan dibenamkan dalam pokok lain.

Hasil penyelidikan tentang isu ini, didapati bahawa N, bergantung kepada k, berkembang pada kelajuan yang luar biasa. Khususnya, jika k=1, maka N=3. Walau bagaimanapun, pada k=2, N sudah mencapai 11. Perkara yang paling menarik bermula apabila k=3. Dalam kes ini, N dengan cepat "berlepas" dan mencapai nilai yang adalah berkali ganda lebih besar daripada nombor Graham. Untuk membayangkan betapa besarnya, cukup untuk menulis nombor yang dikira oleh Ronald Graham dalam bentuk G64 (3). Kemudian nilai Friedman-Kruskal (rev. FinKraskal(3)), akan menjadi tertib G(G(187196)). Dengan kata lain, nilai mega diperolehi, yang jauh lebih besarnombor Graham yang luar biasa besarnya. Pada masa yang sama, walaupun ia akan menjadi kurang daripada infiniti sebanyak beberapa kali. Masuk akal untuk bercakap tentang konsep ini dengan lebih terperinci.

Infiniti

Sekarang kita telah menjelaskan apa itu nombor Graham pada jari, kita harus memahami maksud yang telah dan sedang dilaburkan dalam konsep falsafah ini. Lagipun, "infiniti" dan "nombor yang tidak terhingga besar" boleh dianggap sama dalam konteks tertentu.

Sumbangan terbesar kepada kajian isu ini dibuat oleh Aristotle. Pemikir agung zaman dahulu membahagikan infiniti kepada potensi dan sebenar. Yang terakhir, dia maksudkan realiti kewujudan perkara yang tidak terhingga.

Menurut Aristotle, sumber idea tentang konsep asas ini ialah:

• masa;
• pemisahan nilai;
• konsep sempadan dan kewujudan sesuatu di luarnya;
• ketidakhabisan sifat kreatif;
• berfikir yang tiada had.

Dalam tafsiran moden infiniti, anda tidak boleh menentukan ukuran kuantitatif, jadi carian untuk nombor terbesar boleh diteruskan selama-lamanya.

Kesimpulan

Bolehkah metafora "Merenung ke dalam infiniti" dan nombor Graham dianggap sinonim dalam beberapa segi? Sebaliknya ya dan tidak. Kedua-duanya adalah mustahil untuk dibayangkan, walaupun dengan imaginasi yang paling kuat. Walau bagaimanapun, seperti yang telah disebutkan, ia tidak boleh dianggap "yang paling, paling banyak." Perkara lain ialah pada masa ini, nilai yang lebih besar daripada nombor Graham tidak mempunyai nilai yang ditetapkanderia fizikal.

Selain itu, ia tidak mempunyai sifat nombor tak terhingga, seperti:

• ∞ + 1=∞;
• ada nombor tak terhingga bagi kedua-dua nombor ganjil dan genap;
• ∞ - 1=∞;
• bilangan nombor ganjil adalah tepat separuh daripada semua nombor;
• ∞ + ∞=∞;
• ∞/2=∞.

Untuk meringkaskan: Nombor Graham ialah nombor terbesar dalam amalan pembuktian matematik, menurut Buku Rekod Guinness. Walau bagaimanapun, terdapat nombor yang berkali ganda lebih besar daripada nilai ini.

Kemungkinan besar, pada masa hadapan akan ada keperluan untuk "gergasi" yang lebih hebat, terutamanya jika seseorang melangkaui sistem suria kita atau mencipta sesuatu yang tidak dapat dibayangkan pada tahap kesedaran kita sekarang.