Selalunya dalam sains matematik terdapat beberapa kesukaran dan soalan, dan kebanyakan jawapannya tidak selalunya jelas. Tidak terkecuali topik seperti kardinaliti set. Malah, ini tidak lebih daripada ungkapan berangka bilangan objek. Dalam pengertian umum, set ialah aksiom; ia tidak mempunyai definisi. Ia berdasarkan mana-mana objek, atau lebih tepatnya set mereka, yang boleh kosong, terhingga atau tidak terhingga. Selain itu, ia mengandungi integer atau nombor asli, matriks, jujukan, segmen dan garis.
Mengenai pembolehubah sedia ada
Himpunan kosong atau kosong tanpa nilai intrinsik dianggap sebagai elemen kardinal kerana ia merupakan subset. Pengumpulan semua subset bagi set bukan kosong S ialah set set. Oleh itu, set kuasa set tertentu dianggap banyak, boleh difikirkan, tetapi tunggal. Set ini dipanggil set kuasa S dan dilambangkan dengan P (S). Jika S mengandungi unsur N, maka P(S) mengandungi 2^n subset, kerana subset P(S) sama ada ∅ atau subset yang mengandungi r unsur daripada S, r=1, 2, 3, … Terdiri daripada segala-galanya yang tidak terhinggaset M dipanggil kuantiti kuasa dan secara simbolik dilambangkan dengan P (M).
Unsur teori set
Bidang ilmu ini dibangunkan oleh George Cantor (1845-1918). Hari ini ia digunakan dalam hampir semua cabang matematik dan berfungsi sebagai bahagian asasnya. Dalam teori set, elemen diwakili dalam bentuk senarai dan diberikan oleh jenis (set kosong, singleton, set terhingga dan tak terhingga, sama dan setara, universal), kesatuan, persilangan, perbezaan, dan penambahan nombor. Dalam kehidupan seharian, kita sering bercakap tentang koleksi objek seperti sekumpulan kunci, sekawan burung, satu pek kad, dll. Dalam matematik darjah 5 dan seterusnya, terdapat nombor asli, integer, perdana dan komposit.
Set berikut boleh dipertimbangkan:
- nombor semula jadi;
- huruf abjad;
- peluang utama;
- segi tiga dengan sisi yang berbeza.
Ia boleh dilihat bahawa contoh yang dinyatakan ini adalah set objek yang jelas. Pertimbangkan beberapa lagi contoh:
- lima saintis paling terkenal di dunia;
- tujuh gadis cantik dalam masyarakat;
- tiga pakar bedah terbaik.
Contoh kardinaliti ini bukanlah koleksi objek yang jelas, kerana kriteria untuk "paling terkenal", "paling cantik", "terbaik" berbeza-beza bagi setiap orang.
Set
Nilai ini ialah bilangan objek berbeza yang jelas. Dengan mengandaikan bahawa:
- wordset ialah sinonim, agregat, kelas dan mengandungi unsur;
- objek, ahli adalah istilah yang sama;
- set biasanya dilambangkan dengan huruf besar A, B, C;
- elemen set diwakili oleh huruf kecil a, b, c.
Jika "a" ialah unsur set A, maka dikatakan "a" adalah milik A. Mari kita nyatakan frasa "kepunyaan" dengan aksara Yunani "∈" (epsilon). Oleh itu, ternyata a ∈ A. Jika 'b' ialah unsur yang bukan milik A, ini diwakili sebagai b ∉ A. Beberapa set penting yang digunakan dalam matematik gred 5 diwakili menggunakan tiga kaedah berikut:
- permohonan;
- pendaftaran atau jadual;
- peraturan untuk membuat formasi.
Pada pemeriksaan lebih dekat, borang permohonan adalah berdasarkan perkara berikut. Dalam kes ini, penerangan yang jelas tentang unsur-unsur set diberikan. Mereka semua disertakan dengan pendakap kerinting. Contohnya:
- set nombor ganjil kurang daripada 7 - ditulis sebagai {kurang daripada 7};
- satu set nombor lebih besar daripada 30 dan kurang daripada 55;
- bilangan pelajar dalam kelas yang lebih berat daripada guru.
Dalam borang pendaftaran (jadual), unsur-unsur set disenaraikan dalam sepasang kurungan {} dan dipisahkan dengan koma. Contohnya:
- Biar N menandakan set lima nombor asli yang pertama. Oleh itu, N=→ borang daftar
- Set semua vokal abjad Inggeris. Oleh itu V={a, e, i, o, u, y} → borang daftar
- Set semua nombor ganjil adalah kurang daripada 9. Oleh itu, X={1, 3, 5, 7} → bentukpendaftaran
- Set semua huruf dalam perkataan "Math". Oleh itu, Z={M, A, T, H, E, I, C, S} → Borang Pendaftaran
- W ialah set empat bulan terakhir dalam setahun. Oleh itu, W={September, Oktober, November, Disember} → pendaftaran.
Perhatikan bahawa susunan elemen disenaraikan tidak penting, tetapi ia tidak boleh diulang. Bentuk pembinaan yang ditetapkan, dalam kes tertentu, peraturan, formula atau pengendali ditulis dalam sepasang kurungan supaya set ditakrifkan dengan betul. Dalam borang pembina set, semua elemen mesti mempunyai sifat yang sama untuk menjadi ahli nilai yang dipersoalkan.
Dalam bentuk perwakilan set ini, elemen set diterangkan dengan aksara "x" atau mana-mana pembolehubah lain diikuti dengan titik bertindih (":" atau "|" digunakan untuk menunjukkan). Sebagai contoh, biarkan P ialah set nombor boleh dikira lebih besar daripada 12. P dalam bentuk set-builder ditulis sebagai - {nombor boleh dikira dan lebih besar daripada 12}. Ia akan dibaca dengan cara tertentu. Iaitu, "P ialah set unsur x supaya x boleh dikira dan lebih besar daripada 12."
Contoh diselesaikan menggunakan tiga kaedah perwakilan set: bilangan integer antara -2 dan 3. Di bawah ialah contoh jenis set yang berbeza:
- Set kosong atau null yang tidak mengandungi sebarang unsur dan dilambangkan dengan simbol ∅ dan dibaca sebagai phi. Dalam bentuk senarai, ∅ ditulis {}. Set terhingga adalah kosong, kerana bilangan elemen ialah 0. Contohnya, set nilai integer adalah kurang daripada 0.
- Jelas sekali tidak sepatutnya ada <0. Oleh itu, iniset kosong.
- Set yang mengandungi hanya satu pembolehubah dipanggil set tunggal. Tidak mudah mahupun majmuk.
Set terhingga
Set yang mengandungi bilangan elemen tertentu dipanggil set terhingga atau tak terhingga. Kosong merujuk kepada yang pertama. Contohnya, satu set semua warna dalam pelangi.
Infiniti ialah satu set. Unsur-unsur di dalamnya tidak dapat dihitung. Iaitu, mengandungi pembolehubah serupa dipanggil set tak terhingga. Contoh:
- kuasa set semua mata dalam satah;
- set semua nombor perdana.
Tetapi anda harus faham bahawa semua kardinaliti kesatuan set tidak boleh dinyatakan dalam bentuk senarai. Contohnya, nombor nyata, kerana unsurnya tidak sepadan dengan mana-mana corak tertentu.
Nombor kardinal set ialah bilangan unsur berbeza dalam kuantiti A tertentu. Ia dilambangkan n (A).
Contohnya:
- A {x: x ∈ N, x <5}. A={1, 2, 3, 4}. Oleh itu, n (A)=4.
- B=set huruf dalam perkataan ALGEBRA.
Set setara untuk perbandingan set
Dua kardinaliti set A dan B adalah sedemikian jika nombor kardinalnya adalah sama. Simbol untuk set setara ialah "↔". Contohnya: A ↔ B.
Set sama: dua kardinaliti set A dan B jika ia mengandungi unsur yang sama. Setiap pekali daripada A ialah pembolehubah daripada B, dan setiap B ialah nilai yang ditentukan bagi A. Oleh itu, A=B. Jenis kesatuan kardinaliti yang berbeza dan definisinya diterangkan menggunakan contoh yang disediakan.
Intipati keterbatasan dan ketakterhinggaan
Apakah perbezaan antara kardinaliti set terhingga dan set tak terhingga?
Nilai pertama mempunyai nama berikut jika ia sama ada kosong atau mempunyai bilangan elemen terhingga. Dalam set terhingga, pembolehubah boleh ditentukan jika ia mempunyai kiraan terhad. Contohnya, menggunakan nombor asli 1, 2, 3. Dan proses penyenaraian berakhir pada beberapa N. Bilangan unsur berbeza yang dikira dalam set terhingga S dilambangkan dengan n (S). Ia juga dipanggil perintah atau kardinal. Secara simbolik dilambangkan mengikut prinsip piawai. Oleh itu, jika set S ialah abjad Rusia, maka ia mengandungi 33 elemen. Ia juga penting untuk diingat bahawa elemen tidak berlaku lebih daripada sekali dalam satu set.
Infinite in the set
Himpunan dipanggil tak terhingga jika unsur-unsur tidak boleh dihitung. Jika ia mempunyai nombor asli yang tidak terhad (iaitu, tidak boleh dikira) 1, 2, 3, 4 untuk sebarang n. Satu set yang tidak terhingga dipanggil tak terhingga. Kini kita boleh membincangkan contoh nilai berangka yang sedang dipertimbangkan. Pilihan nilai tamat:
- Biar Q={nombor asli kurang daripada 25}. Maka Q ialah set terhingga dan n (P)=24.
- Biar R={integer antara 5 dan 45}. Maka R ialah set terhingga dan n (R)=38.
- Biar S={nombor modulo 9}. Kemudian S={-9, 9} ialah set terhingga dan n (S)=2.
- Set semua orang.
- Bilangan semua burung.
Contoh tidak terhingga:
- bilangan mata sedia ada pada pesawat;
- bilangan semua titik dalam segmen garisan;
- set integer positif yang boleh dibahagi dengan 3 adalah tak terhingga;
- semua nombor bulat dan semula jadi.
Oleh itu, daripada alasan di atas, jelaslah cara membezakan antara himpunan terhingga dan tak terhingga.
Kuasa set kontinum
Jika kita membandingkan set dan nilai sedia ada yang lain, maka penambahan dilampirkan pada set. Jika ξ adalah universal dan A ialah subset bagi ξ, maka pelengkap A ialah bilangan semua unsur ξ yang bukan unsur A. Secara simbolik, pelengkap A berkenaan dengan ξ ialah A'. Contohnya, 2, 4, 5, 6 ialah satu-satunya unsur ξ yang bukan milik A. Oleh itu, A'={2, 4, 5, 6}
Set dengan kontinum kardinaliti mempunyai ciri berikut:
- pelengkap kuantiti universal ialah nilai kosong yang dimaksudkan;
- pembolehubah set nol ini adalah universal;
- jumlah dan pelengkapnya tidak bersambung.
Contohnya:
- Biar bilangan nombor asli sebagai set universal dan A genap. Kemudian A '{x: x ialah set ganjil dengan digit yang sama}.
- Biar ξ=set huruf dalam abjad. A=set konsonan. Kemudian A '=bilangan vokal.
- Pelengkap set universal ialah kuantiti kosong. Boleh dilambangkan dengan ξ. Kemudian ξ '=Set unsur-unsur yang tidak termasuk dalam ξ. Set kosong φ ditulis dan dilambangkan. Oleh itu ξ=φ. Oleh itu, pelengkap kepada set universal adalah kosong.
Dalam matematik, "continuum" kadangkala digunakan untuk mewakili garis sebenar. Dan secara umum, untuk menerangkan objek yang serupa:
- continuum (dalam teori set) - garis nyata atau nombor kardinal yang sepadan;
- linear - mana-mana set tertib yang berkongsi sifat tertentu baris sebenar;
- continuum (dalam topologi) - ruang metrik bersambung padat bukan kosong (kadangkala Hausdorff);
- hipotesis bahawa tiada set tak terhingga lebih besar daripada integer tetapi lebih kecil daripada nombor nyata;
- kuasa kontinum ialah nombor kardinal yang mewakili saiz set nombor nyata.
Pada asasnya, kontinum (pengukuran), teori atau model yang menerangkan peralihan beransur-ansur dari satu keadaan ke keadaan lain tanpa sebarang perubahan mendadak.
Masalah kesatuan dan persimpangan
Adalah diketahui bahawa persilangan dua set atau lebih ialah nombor yang mengandungi semua elemen yang biasa dalam nilai ini. Tugas perkataan pada set diselesaikan untuk mendapatkan idea asas tentang cara menggunakan sifat kesatuan dan persilangan bagi set. Menyelesaikan masalah utama perkataan padaset kelihatan seperti ini:
Biar A dan B menjadi dua set terhingga. Mereka sedemikian rupa sehingga n (A)=20, n (B)=28 dan n (A ∪ B)=36, cari n (A ∩ B)
Hubungan dalam set menggunakan rajah Venn:
- Kesatuan dua set boleh diwakili oleh kawasan berlorek yang mewakili A ∪ B. A ∪ B apabila A dan B ialah set bercapah.
- Persilangan dua set boleh diwakili oleh gambar rajah Venn. Dengan kawasan berlorek mewakili A ∩ B.
- Perbezaan antara dua set boleh diwakili oleh gambar rajah Venn. Dengan kawasan berlorek mewakili A - B.
- Hubungan antara tiga set menggunakan gambar rajah Venn. Jika ξ mewakili kuantiti universal, maka A, B, C ialah tiga subset. Di sini ketiga-tiga set bertindih.
Meringkaskan maklumat set
Kardinaliti set ditakrifkan sebagai jumlah bilangan elemen individu dalam set. Dan nilai yang ditentukan terakhir diterangkan sebagai bilangan semua subset. Apabila mengkaji isu tersebut, kaedah, kaedah dan penyelesaian diperlukan. Jadi, untuk kekardinalitian set, contoh berikut boleh berfungsi sebagai:
Biar A={0, 1, 2, 3}| |=4, di mana | A | mewakili kardinaliti set A.
Kini anda boleh mencari pek kuasa anda. Ia agak mudah juga. Seperti yang telah dikatakan, set kuasa ditetapkan daripada semua subset nombor tertentu. Jadi seseorang pada dasarnya harus menentukan semua pembolehubah, elemen dan nilai lain A,iaitu {}, {0}, {1}, {2}, {3}, {0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, {1, 2}, {1, 3}, { 2, 3}, {0, 1, 2}, {0, 1, 3}, {1, 2, 3}, {0, 2, 3}, {0, 1, 2, 3}.
Sekarang kuasakan angka P={{}, {0}, {1}, {2}, {3}, {0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, { 1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {0, 1, 2}, {0, 1, 3}, {1, 2, 3}, {0, 2, 3}, { 0, 1, 2, 3}} yang mempunyai 16 elemen. Oleh itu, kardinaliti set A=16. Jelas sekali, ini adalah kaedah yang membosankan dan menyusahkan untuk menyelesaikan masalah ini. Walau bagaimanapun, terdapat formula mudah yang, secara langsung, anda boleh mengetahui bilangan elemen dalam set kuasa nombor tertentu. | P |=2 ^ N, dengan N ialah bilangan unsur dalam beberapa A. Formula ini boleh diperolehi menggunakan gabungan mudah. Jadi soalannya ialah 2^11 kerana bilangan elemen dalam set A ialah 11.
Jadi, set ialah sebarang kuantiti yang dinyatakan secara berangka, yang boleh menjadi sebarang objek yang mungkin. Contohnya, kereta, orang, nombor. Dalam pengertian matematik, konsep ini lebih luas dan lebih umum. Jika pada peringkat awal nombor dan pilihan untuk penyelesaian mereka disusun, maka di peringkat pertengahan dan lebih tinggi keadaan dan tugas adalah rumit. Malah, kardinaliti kesatuan set ditentukan oleh kepunyaan objek kepada mana-mana kumpulan. Iaitu, satu elemen tergolong dalam kelas, tetapi mempunyai satu atau lebih pembolehubah.
