Cara mencari titik minimum dan maksimum fungsi: ciri, kaedah dan contoh

2024 Pengarang: Angel Austin | [email protected]. Diubah suai terakhir: 2024-01-02 17:53

Fungsi dan kajian ciri-cirinya ialah salah satu bab utama dalam matematik moden. Komponen utama mana-mana fungsi ialah graf yang menggambarkan bukan sahaja sifatnya, tetapi juga parameter terbitan fungsi ini. Mari kita lihat topik rumit ini. Jadi apakah cara terbaik untuk mencari titik maksimum dan minimum bagi sesuatu fungsi?

Fungsi: Definisi

Sebarang pembolehubah yang bergantung dalam beberapa cara pada nilai nilai lain boleh dipanggil fungsi. Contohnya, fungsi f(x²) adalah kuadratik dan menentukan nilai untuk keseluruhan set x. Katakan bahawa x=9, maka nilai fungsi kita akan sama dengan 9^2=81.

Fungsi terdapat dalam pelbagai jenis: logik, vektor, logaritma, trigonometri, angka dan lain-lain. Fikiran cemerlang seperti Lacroix, Lagrange, Leibniz dan Bernoulli terlibat dalam kajian mereka. Tulisan mereka berfungsi sebagai benteng dalam cara moden mengkaji fungsi. Sebelum mencari mata minimum, adalah sangat penting untuk memahami maksud fungsi dan terbitannya.

Terbitan dan peranannya

Semua fungsi adabergantung pada nilai pembolehubah mereka, yang bermaksud bahawa mereka boleh menukar nilai mereka pada bila-bila masa. Pada graf, ini akan digambarkan sebagai lengkung yang sama ada menurun atau naik di sepanjang paksi-y (ini ialah set keseluruhan nombor "y" di sepanjang menegak graf). Jadi takrifan titik maksimum dan minimum fungsi hanya disambungkan dengan "ayunan" ini. Mari kita terangkan apakah hubungan ini.

Terbitan mana-mana fungsi dilukis pada graf untuk mengkaji ciri utamanya dan mengira seberapa cepat fungsi itu berubah (iaitu mengubah nilainya bergantung pada pembolehubah "x"). Pada masa apabila fungsi bertambah, graf terbitannya juga akan meningkat, tetapi pada bila-bila masa fungsi itu mungkin mula berkurangan, dan kemudian graf terbitan akan berkurangan. Titik di mana derivatif pergi dari tolak ke tambah dipanggil mata minimum. Untuk mengetahui cara mencari mata minimum, anda harus lebih memahami konsep terbitan.

Bagaimana untuk mengira derivatif?

Mentakrifkan dan mengira terbitan fungsi membayangkan beberapa konsep daripada kalkulus pembezaan. Secara umum, takrifan derivatif boleh dinyatakan seperti berikut: ini ialah nilai yang menunjukkan kadar perubahan fungsi.

Cara matematik untuk menentukannya bagi ramai pelajar nampaknya rumit, tetapi sebenarnya semuanya lebih mudah. Anda hanya perlu mengikutpelan piawai untuk mencari terbitan mana-mana fungsi. Berikut menerangkan cara anda boleh mencari titik minimum fungsi tanpa menggunakan peraturan pembezaan dan tanpa menghafal jadual terbitan.

1. Anda boleh mengira terbitan fungsi menggunakan graf. Untuk melakukan ini, anda perlu menggambarkan fungsi itu sendiri, kemudian ambil satu titik di atasnya (titik A dalam Rajah.) Lukiskan garis menegak ke bawah ke paksi absis (titik x_{0), dan pada titik A lukis tangen untuk berfungsi grafik. Paksi absis dan tangen membentuk sudut a. Untuk mengira nilai berapa cepat fungsi meningkat, anda perlu mengira tangen sudut a ini.}
2. Ternyata tangen sudut antara tangen dan arah paksi-x ialah terbitan bagi fungsi di kawasan kecil dengan titik A. Kaedah ini dianggap sebagai cara geometri untuk menentukan terbitan.

Kaedah menyelidik fungsi

Dalam kurikulum matematik sekolah, adalah mungkin untuk mencari titik minimum fungsi dalam dua cara. Kami telah menganalisis kaedah pertama menggunakan graf, tetapi bagaimana untuk menentukan nilai berangka derivatif? Untuk melakukan ini, anda perlu mempelajari beberapa formula yang menerangkan sifat terbitan dan membantu menukar pembolehubah seperti "x" kepada nombor. Kaedah berikut adalah universal, jadi ia boleh digunakan pada hampir semua jenis fungsi (kedua-dua geometri dan logaritma).

1. Adalah perlu untuk menyamakan fungsi dengan fungsi terbitan, dan kemudian ringkaskan ungkapan menggunakan peraturanpembezaan.
2. bahagi dengan sifar).
3. Selepas itu, anda harus menukar bentuk asal fungsi kepada persamaan mudah, menyamakan keseluruhan ungkapan kepada sifar. Sebagai contoh, jika fungsi kelihatan seperti ini: f(x)=2x³+38x, maka menurut peraturan pembezaan, terbitannya adalah sama dengan f'(x)=3x ^{2 +1. Kemudian kami menukar ungkapan ini menjadi persamaan bentuk berikut: 3x}2^+1=0.
4. Selepas menyelesaikan persamaan dan mencari titik "x", anda harus melukisnya pada paksi-x dan menentukan sama ada terbitan di kawasan ini antara titik yang ditanda adalah positif atau negatif. Selepas penetapan, ia akan menjadi jelas pada titik mana fungsi mula berkurangan, iaitu, ia menukar tanda dari tolak ke sebaliknya. Dengan cara ini anda boleh mendapatkan kedua-dua mata minimum dan maksimum.

Peraturan pembezaan

Bahagian paling asas dalam mempelajari fungsi dan terbitannya ialah mengetahui peraturan pembezaan. Hanya dengan bantuan mereka adalah mungkin untuk mengubah ekspresi rumit dan fungsi kompleks yang besar. Mari kita berkenalan dengan mereka, terdapat agak banyak daripada mereka, tetapi semuanya sangat mudah kerana sifat tetap kedua-dua kuasa dan fungsi logaritma.

1. Terbitan sebarang pemalar ialah sifar (f(x)=0). Iaitu, terbitan f(x)=x⁵+ x - 160 akan mengambil bentuk berikut: f' (x)=5x^4+1.
2. Terbitan hasil tambah dua sebutan: (f+w)'=f'w + fw'.
3. Terbitan bagi fungsi logaritma: (log_{ad)'=d/ln ad. Formula ini digunakan untuk semua jenis logaritma.}
4. Terbitan darjah: (x)'=nx^n-1. Contohnya, (9x^2)'=92x=18x.
5. Terbitan fungsi sinusoidal: (sin a)'=cos a. Jika dosa sudut a ialah 0.5, maka terbitannya ialah √3/2.

Mata melampau

Kami telah pun mengetahui cara mencari mata minimum, namun, terdapat konsep titik maksimum bagi sesuatu fungsi. Jika minimum menunjukkan titik di mana fungsi berubah dari tolak ke tambah, maka titik maksimum ialah titik pada paksi-x di mana terbitan fungsi berubah daripada tambah kepada sebaliknya - tolak.

Anda boleh mencari mata maksimum menggunakan kaedah yang diterangkan di atas, cuma perlu diambil kira bahawa ia menandakan kawasan di mana fungsi mula berkurangan, iaitu terbitan akan kurang daripada sifar.

Dalam matematik, adalah kebiasaan untuk menggeneralisasikan kedua-dua konsep, menggantikannya dengan frasa "titik ekstrem". Apabila tugas meminta untuk menentukan mata ini, ini bermakna anda perlu mengira terbitan fungsi ini dan mencari titik minimum dan maksimum.