Dalam matematik, terdapat konsep "set", serta contoh membandingkan set yang sama ini antara satu sama lain. Nama jenis perbandingan set ialah perkataan berikut: bijection, suntikan, surjection. Setiap daripadanya diterangkan dengan lebih terperinci di bawah.
Perkataan adalah… apakah itu?
Satu kumpulan elemen set pertama dipadankan dengan kumpulan kedua elemen daripada set kedua dalam bentuk ini: setiap satu elemen kumpulan pertama dipadankan secara langsung dengan satu lagi elemen kumpulan kedua, dan di sana bukan situasi dengan kekurangan atau penghitungan unsur mana-mana atau daripada dua kumpulan set.
Formulasi sifat utama:
- Satu elemen kepada satu.
- Tiada unsur tambahan apabila dipadankan dan sifat pertama dikekalkan.
- Pemetaan boleh diterbalikkan sambil mengekalkan paparan umum.
- Bijection ialah fungsi yang bersifat injektif dan surjektif.
Bijection dari sudut saintifik
Fungsi bijektif adalah betul-betul isomorfisme dalam kategori "set dan set fungsi". Walau bagaimanapun, bijeksi tidak selalunya isomorfisme untuk kategori yang lebih kompleks. Sebagai contoh, dalam kategori kumpulan tertentu, morfisme mestilah homomorfisme, kerana ia mesti mengekalkan struktur kumpulan itu. Oleh itu, isomorfisme ialah isomorfisme kumpulan, yang merupakan homomorfisme bijektif.
Konsep "surat-menyurat satu-dengan-satu" digeneralisasikan kepada fungsi separa, di mana ia dipanggil bijeksi separa, walaupun bijeksi separa adalah yang sepatutnya menjadi suntikan. Sebab untuk kelonggaran ini ialah fungsi separa (betul) tidak lagi ditakrifkan untuk sebahagian daripada domainnya. Oleh itu, tidak ada sebab yang baik untuk mengehadkan fungsi songsangnya kepada yang lengkap, iaitu, ditakrifkan di mana-mana dalam domainnya. Set semua bijeksi separa kepada set asas tertentu dipanggil semikumpulan songsang simetri.
Cara lain untuk mentakrifkan konsep yang sama: adalah wajar dikatakan bahawa bijection separa set dari A ke B ialah sebarang hubungan R (fungsi separa) dengan sifat R ialah graf bijection f:A'→B ' dengan A' ialah subset A dan B' ialah subset B.
Apabila bijection separa berada pada set yang sama, kadangkala ia dipanggil transformasi separa satu dengan satu. Contohnya ialah penjelmaan Möbius yang baru ditakrifkan pada satah kompleks, bukan pelengkapnya dalam satah kompleks lanjutan.
Suntikan
Satu kumpulan elemen set pertama dipadankan dengan kumpulan kedua elemen daripada set kedua dalam bentuk ini: setiap satu elemen kumpulan pertama dipadankan dengan satu lagi elemen kedua, tetapi tidak semua mereka ditukar kepada pasangan. Bilangan elemen tidak berpasangan bergantung pada perbezaan dalam bilangan elemen ini dalam setiap set: jika satu set terdiri daripada tiga puluh satu elemen, dan satu lagi mempunyai tujuh lagi, maka bilangan elemen tidak berpasangan ialah tujuh. Suntikan diarahkan ke dalam set. Bijection dan suntikan adalah serupa, tetapi tidak lebih daripada serupa.
Surjection
Satu kumpulan elemen set pertama dipadankan dengan kumpulan kedua elemen daripada set kedua dengan cara ini: setiap elemen mana-mana kumpulan membentuk pasangan, walaupun terdapat perbezaan antara bilangan elemen. Ini berikutan bahawa satu elemen daripada satu kumpulan boleh berganding dengan beberapa elemen daripada kumpulan lain.
Fungsi bijektif, injektif, mahupun surjektif
Ini ialah fungsi bentuk bijektif dan surjektif, tetapi dengan baki (tidak berpasangan)=> suntikan. Dalam fungsi sedemikian, jelas terdapat hubungan antara bijection dan surjection, kerana ia secara langsung merangkumi kedua-dua jenis perbandingan set ini. Jadi, keseluruhan semua jenis fungsi ini bukanlah satu daripadanya secara berasingan.
Penjelasan semua jenis fungsi
Sebagai contoh, pemerhati terpesona dengan perkara berikut. Ada pertandingan memanah. Setiappeserta ingin mencapai sasaran (untuk memudahkan tugasan: tepat di mana pukulan anak panah tidak diambil kira). Hanya tiga peserta dan tiga sasaran - ini adalah tapak (tapak) pertama untuk kejohanan itu. Dalam bahagian seterusnya, bilangan pemanah dipelihara, tetapi bilangan sasaran diubah: pada sasaran kedua - empat, pada seterusnya - juga empat, dan pada keempat - lima. Setiap peserta menembak pada setiap sasaran.
- Tempat pertama untuk kejohanan. Pemanah pertama terkena hanya satu sasaran. Yang kedua hanya mencecah satu sasaran. Yang ketiga berulang selepas yang lain, dan semua pemanah mencapai sasaran yang berbeza: yang bertentangan dengan mereka. Akibatnya, 1 (pemanah pertama) mencapai sasaran (a), 2 - dalam (b), 3 - dalam (c). Pergantungan berikut diperhatikan: 1 – (a), 2 – (b), 3 – (c). Kesimpulannya ialah penghakiman bahawa perbandingan set sedemikian adalah bijection.
- Platform kedua untuk kejohanan. Pemanah pertama terkena hanya satu sasaran. Yang kedua juga hanya mencecah satu sasaran. Yang ketiga tidak benar-benar mencuba dan mengulangi segala-galanya selepas yang lain, tetapi syaratnya adalah sama - semua pemanah mencapai sasaran yang berbeza. Tetapi, seperti yang dinyatakan sebelum ini, sudah ada empat sasaran pada platform kedua. Kebergantungan: 1 - (a), 2 - (b), 3 - (c), (d) - unsur tidak berpasangan bagi set. Dalam kes ini, kesimpulannya ialah penghakiman bahawa perbandingan yang ditetapkan sedemikian adalah suntikan.
- Tempat ketiga untuk kejohanan. Pemanah pertama terkena hanya satu sasaran. Yang kedua mencecah hanya satu sasaran lagi. Yang ketiga memutuskan untuk menarik diri dan mencapai sasaran ketiga dan keempat. Akibatnya, pergantungan: 1 -(a), 2 - (b), 3 - (c), 3 - (d). Di sini, kesimpulannya ialah penghakiman bahawa perbandingan set sedemikian adalah surjection.
- Platform keempat untuk kejohanan. Dengan yang pertama, semuanya sudah jelas, dia mencapai hanya satu sasaran, di mana tidak lama lagi tidak akan ada ruang untuk pukulan yang sudah membosankan. Sekarang yang kedua mengambil peranan sepertiga yang masih baru-baru ini dan sekali lagi mencapai hanya satu sasaran, berulang selepas yang pertama. Yang ketiga terus mengawal dirinya dan tidak berhenti memperkenalkan anak panahnya ke sasaran ketiga dan keempat. Yang kelima, bagaimanapun, masih di luar kawalannya. Jadi, pergantungan: 1 - (a), 2 - (b), 3 - (c), 3 - (d), (e) - elemen tidak berpasangan bagi set sasaran. Kesimpulan: perbandingan set sedemikian bukan surjection, bukan suntikan dan bukan bijection.
Kini membina bijection, suntikan atau surjection tidak akan menjadi masalah, serta mencari perbezaan antara mereka.
