Dalam artikel ini, kaedah ini dianggap sebagai cara untuk menyelesaikan sistem persamaan linear (SLAE). Kaedah ini adalah analitikal, iaitu, ia membolehkan anda menulis algoritma penyelesaian umum, dan kemudian menggantikan nilai dari contoh khusus di sana. Tidak seperti kaedah matriks atau formula Cramer, apabila menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan kaedah Gauss, anda juga boleh bekerja dengan penyelesaian yang mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga. Atau tidak memilikinya sama sekali.
Apakah yang dimaksudkan untuk menyelesaikan dengan kaedah Gauss?
Pertama, kita perlu menulis sistem persamaan kita sebagai matriks. Ia kelihatan seperti ini. Sistem diambil:
Pekali ditulis dalam bentuk jadual, dan di sebelah kanan dalam lajur berasingan - ahli bebas. Lajur dengan ahli percuma dipisahkan untuk kemudahan oleh bar menegak. Matriks yang merangkumi lajur ini dipanggil lanjutan.
Seterusnya, matriks utama dengan pekali mesti dikecilkan kepada bentuk segi tiga atas. Ini adalah perkara utama untuk menyelesaikan sistem dengan kaedah Gauss. Ringkasnya, selepas manipulasi tertentu, matriks sepatutnya kelihatan seperti ini, supaya hanya terdapat sifar di bahagian kiri bawahnya:
Kemudian, jika anda menulis semula matriks baharu sebagai sistem persamaan, anda akan perasan bahawa baris terakhir sudah mengandungi nilai salah satu punca, yang kemudiannya digantikan dengan persamaan di atas, punca lain ditemui, dan seterusnya.
Ini ialah perihalan penyelesaian Gaussian dalam istilah yang paling umum. Dan apa yang berlaku jika tiba-tiba sistem tidak mempunyai penyelesaian? Atau adakah bilangan mereka yang tidak terhingga? Untuk menjawab soalan ini dan banyak lagi soalan, adalah perlu untuk mempertimbangkan secara berasingan semua elemen yang digunakan dalam penyelesaian dengan kaedah Gauss.
Matriks, sifatnya
Tiada makna tersembunyi dalam matriks. Ini hanyalah cara yang mudah untuk merekodkan data untuk operasi kemudian. Malah pelajar sekolah tidak perlu takut dengan mereka.
Matriks sentiasa segi empat tepat kerana ia lebih mudah. Walaupun dalam kaedah Gauss, di mana segala-galanya bermuara kepada membina matriks segi tiga, segi empat tepat muncul dalam entri, hanya dengan sifar di tempat yang tiada nombor. Sifar boleh ditinggalkan, tetapi ia tersirat.
Matriks mempunyai saiz. "Lebar"nya ialah bilangan baris (m), "panjang"nya ialah bilangan lajur (n). Kemudian saiz matriks A (huruf Latin besar biasanya digunakan untuk sebutannya) akan dilambangkan sebagai Am×n. Jika m=n, maka matriks ini ialah segi empat sama, danm=n - susunannya. Sehubungan itu, sebarang elemen matriks A boleh dilambangkan dengan bilangan baris dan lajurnya: axy; x - nombor baris, tukar [1, m], y - nombor lajur, tukar [1, n].
Dalam kaedah Gaussian, matriks bukanlah titik utama penyelesaian. Pada dasarnya, semua operasi boleh dilakukan secara langsung dengan persamaan itu sendiri, namun, tatatanda akan menjadi lebih rumit dan lebih mudah untuk dikelirukan di dalamnya.
Kelayakan
Matriks juga mempunyai penentu. Ini adalah ciri yang sangat penting. Mengetahui maknanya sekarang tidak berbaloi, anda hanya boleh menunjukkan cara ia dikira, dan kemudian memberitahu sifat matriks yang ditentukannya. Cara paling mudah untuk mencari penentu adalah melalui pepenjuru. pepenjuru khayalan dilukis dalam matriks; unsur yang terletak pada setiap satu daripadanya didarabkan, dan kemudian hasil yang terhasil ditambah: pepenjuru dengan cerun ke kanan - dengan tanda "tambah", dengan cerun ke kiri - dengan tanda "tolak".
Amat penting untuk diperhatikan bahawa penentu hanya boleh dikira untuk matriks segi empat sama. Untuk matriks segi empat tepat, anda boleh melakukan perkara berikut: pilih bilangan baris dan bilangan lajur yang terkecil (biarlah k), dan kemudian tandakan k lajur dan k baris secara rawak dalam matriks. Unsur-unsur yang terletak di persimpangan lajur dan baris yang dipilih akan membentuk matriks persegi baharu. Jika penentu matriks sedemikian ialah nombor selain sifar, maka ia akan dipanggil minor asas bagi matriks segi empat tepat asal.
Sebelum inibagaimana untuk mula menyelesaikan sistem persamaan dengan kaedah Gauss, tidak ada salahnya untuk mengira penentu. Jika ternyata sifar, maka kita boleh dengan segera mengatakan bahawa matriks mempunyai sama ada bilangan penyelesaian yang tidak terhingga, atau tidak ada sama sekali. Dalam kes yang menyedihkan, anda perlu pergi lebih jauh dan mengetahui tentang pangkat matriks.
Pengkelasan sistem
Ada perkara seperti pangkat matriks. Ini ialah susunan maksimum penentu bukan sifarnya (mengingat asas minor, kita boleh mengatakan bahawa pangkat matriks ialah susunan asas minor).
Cara sesuatu dengan pangkat, SLOW boleh dibahagikan kepada:
- Sendi. Untuk sistem sambungan, pangkat matriks utama (hanya terdiri daripada pekali) bertepatan dengan pangkat yang dilanjutkan (dengan lajur istilah bebas). Sistem sedemikian mempunyai penyelesaian, tetapi tidak semestinya satu, oleh itu, sistem sambungan juga dibahagikan kepada:
- - pasti - mempunyai penyelesaian yang unik. Dalam sistem tertentu, kedudukan matriks dan bilangan yang tidak diketahui adalah sama (atau bilangan lajur, yang merupakan perkara yang sama);
- - tidak tentu - dengan bilangan penyelesaian yang tidak terhingga. Kedudukan matriks dalam sistem sedemikian adalah kurang daripada bilangan yang tidak diketahui.
- Tidak serasi. Untuk sistem sedemikian, jajaran matriks utama dan lanjutan tidak sepadan. Sistem yang tidak serasi tidak mempunyai penyelesaian.
Kaedah Gauss adalah baik kerana ia membolehkan anda memperoleh sama ada bukti yang jelas tentang ketidakkonsistenan sistem (tanpa mengira penentu matriks besar) atau penyelesaian umum untuk sistem dengan bilangan penyelesaian yang tidak terhingga.
Transformasi asas
Sebelum inibagaimana untuk meneruskan terus kepada penyelesaian sistem, anda boleh menjadikannya kurang rumit dan lebih mudah untuk pengiraan. Ini dicapai melalui transformasi asas - supaya pelaksanaannya tidak mengubah jawapan akhir dalam apa cara sekalipun. Perlu diingatkan bahawa beberapa transformasi asas di atas hanya sah untuk matriks, sumbernya adalah tepat SLAE. Berikut ialah senarai transformasi ini:
- Tukar rentetan. Adalah jelas bahawa jika kita mengubah susunan persamaan dalam rekod sistem, maka ini tidak akan menjejaskan penyelesaian dalam apa cara sekalipun. Oleh itu, anda juga boleh menukar baris dalam matriks sistem ini, tidak lupa, sudah tentu, tentang lajur ahli percuma.
- Mendarab semua elemen rentetan dengan beberapa faktor. Sangat berguna! Dengan itu, anda boleh mengurangkan bilangan besar dalam matriks atau mengeluarkan sifar. Set penyelesaian, seperti biasa, tidak akan berubah, dan ia akan menjadi lebih mudah untuk melaksanakan operasi selanjutnya. Perkara utama ialah pekali tidak sepatutnya sama dengan sifar.
- Padam garisan dengan pekali berkadar. Ini sebahagiannya mengikuti perenggan sebelumnya. Jika dua atau lebih baris dalam matriks mempunyai pekali berkadar, maka apabila mendarab / membahagikan salah satu baris dengan pekali perkadaran, dua (atau, sekali lagi, lebih) baris yang sama sekali diperolehi, dan anda boleh mengeluarkan yang tambahan, hanya meninggalkan satu.
- Padamkan baris nol. Jika dalam proses transformasi rentetan diperoleh di suatu tempat di mana semua elemen, termasuk ahli bebas, adalah sifar, maka rentetan tersebut boleh dipanggil sifar dan dibuang daripada matriks.
- Menambahkan pada elemen satu baris elemen yang lain (mengikutlajur yang sepadan) didarab dengan beberapa pekali. Transformasi yang paling kabur dan paling penting dari semuanya. Perlu dibincangkan dengan lebih terperinci.
Menambah rentetan didarab dengan faktor
Untuk memudahkan pemahaman, proses ini patut dibongkar langkah demi langkah. Dua baris diambil daripada matriks:
a11 a12 … a1n | b1
a21 a22 … a2n | b2
Katakan anda perlu menambah yang pertama didarab dengan pekali "-2" kepada yang kedua.
a'21 =a21 + -2×a11
a'22 =a22 + -2×a12
a'2n =a2n + -2×a1n
Kemudian baris kedua dalam matriks digantikan dengan yang baharu, manakala yang pertama kekal tidak berubah.
a11 a12 … a1n | b1
a'21 a'22 … a'2n | b2
Perlu diingat bahawa faktor pendaraban boleh dipilih sedemikian rupa sehingga, hasil daripada menambah dua rentetan, salah satu elemen rentetan baharu adalah sama dengan sifar. Oleh itu, adalah mungkin untuk mendapatkan persamaan dalam sistem, di mana akan terdapat satu persamaan yang kurang diketahui. Dan jika anda mendapat dua persamaan sedemikian, maka operasi boleh dilakukan semula dan mendapatkan persamaan yang sudah mengandungi dua kurang tidak diketahui. Dan jika setiap kali kita bertukar kepada sifar satu pekali untuk semua baris yang lebih rendah daripada yang asal, maka kita boleh, seperti langkah, turun ke bahagian paling bawah matriks dan mendapatkan persamaan dengan satu yang tidak diketahui. Ini dipanggilselesaikan sistem menggunakan kaedah Gauss.
Umumnya
Biar ada sistem. Ia mempunyai m persamaan dan n punca yang tidak diketahui. Anda boleh menulisnya seperti ini:
Matriks utama disusun daripada pekali sistem. Lajur ahli percuma ditambahkan pada matriks dikembangkan dan dipisahkan oleh bar untuk kemudahan.
Seterusnya:
- baris pertama matriks didarab dengan pekali k=(-a21/a11);
- baris pertama diubah suai dan baris kedua matriks ditambah;
- bukan baris kedua, hasil penambahan daripada perenggan sebelumnya dimasukkan ke dalam matriks;
- kini pekali pertama dalam baris kedua baharu ialah a11 × (-a21/a11) + a21 =-a21 + a21=0.
Kini siri transformasi yang sama dilakukan, hanya baris pertama dan ketiga yang terlibat. Sehubungan itu, dalam setiap langkah algoritma, elemen a21 digantikan dengan31. Kemudian semuanya berulang untuk 41, … am1. Hasilnya ialah matriks di mana unsur pertama dalam baris [2, m] adalah sama dengan sifar. Kini anda perlu melupakan baris nombor satu dan melakukan algoritma yang sama bermula dari baris kedua:
- k pekali=(-a32/a22);
- baris kedua yang diubah suai ditambahkan pada baris "semasa";
- hasil penambahan digantikan ke baris ketiga, keempat dan seterusnya, manakala baris pertama dan kedua kekal tidak berubah;
- dalam baris [3, m] matriks, dua elemen pertama sudah sama dengan sifar.
Algoritma mesti diulang sehingga pekali k=(-am, m-1/amm muncul). Ini bermakna bahawa algoritma terakhir dijalankan hanya untuk persamaan yang lebih rendah. Kini matriks kelihatan seperti segi tiga, atau mempunyai bentuk bertingkat. Garis bawah mengandungi persamaan amn × x =bm. Pekali dan sebutan bebas diketahui, dan akarnya dinyatakan melaluinya: x =bm/amn. Punca yang terhasil digantikan ke baris atas untuk mencari xn-1=(bm-1 - am-1, n×(bm/amn))÷am-1, n-1. Dan seterusnya dengan analogi: dalam setiap baris seterusnya terdapat akar baru, dan, setelah mencapai "atas" sistem, seseorang boleh mencari satu set penyelesaian [x1, … x ]. Ia akan menjadi satu-satunya.
Apabila tiada penyelesaian
Jika dalam salah satu baris matriks semua elemen, kecuali sebutan bebas, adalah sama dengan sifar, maka persamaan yang sepadan dengan baris ini kelihatan seperti 0=b. Ia tidak mempunyai penyelesaian. Dan oleh kerana persamaan sedemikian dimasukkan dalam sistem, maka set penyelesaian keseluruhan sistem adalah kosong, iaitu, ia merosot.
Apabila terdapat bilangan penyelesaian yang tidak terhingga
Mungkin ternyata dalam matriks segi tiga terkecil tidak ada baris dengan satu elemen - pekali persamaan, dan satu - ahli bebas. Terdapat hanya rentetan yang, apabila ditulis semula, akan kelihatan seperti persamaan dengan dua atau lebih pembolehubah. Ini bermakna sistem mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga. Dalam kes ini, jawapan boleh diberikan dalam bentuk penyelesaian umum. Bagaimana hendak melakukannya?
Semuapembolehubah dalam matriks dibahagikan kepada asas dan bebas. Asas - ini adalah yang berdiri "di tepi" baris dalam matriks berlangkah. Selebihnya percuma. Dalam penyelesaian umum, pembolehubah asas ditulis dalam sebutan yang percuma.
Untuk kemudahan, matriks pertama kali ditulis semula ke dalam sistem persamaan. Kemudian pada yang terakhir daripada mereka, di mana hanya satu pembolehubah asas kekal, ia kekal di satu pihak, dan segala-galanya dipindahkan ke yang lain. Ini dilakukan untuk setiap persamaan dengan satu pembolehubah asas. Kemudian, dalam persamaan yang lain, jika boleh, bukannya pembolehubah asas, ungkapan yang diperoleh untuknya digantikan. Jika hasilnya sekali lagi merupakan ungkapan yang mengandungi hanya satu pembolehubah asas, ia dinyatakan dari sana sekali lagi, dan seterusnya, sehingga setiap pembolehubah asas ditulis sebagai ungkapan dengan pembolehubah bebas. Ini ialah penyelesaian umum SLAE.
Anda juga boleh mencari penyelesaian asas sistem - berikan pembolehubah bebas sebarang nilai, dan kemudian hitung nilai pembolehubah asas untuk kes khusus ini. Terdapat banyak penyelesaian tertentu yang tidak terhingga.
Penyelesaian dengan contoh khusus
Berikut ialah sistem persamaan.
Untuk kemudahan, lebih baik buat matriksnya segera
Adalah diketahui bahawa apabila menyelesaikan dengan kaedah Gauss, persamaan yang sepadan dengan baris pertama akan kekal tidak berubah pada akhir transformasi. Oleh itu, ia akan menjadi lebih menguntungkan jika unsur kiri atas matriks adalah yang terkecil - maka unsur pertamaselebihnya baris selepas operasi akan bertukar kepada sifar. Ini bermakna bahawa dalam matriks yang disusun adalah berfaedah untuk meletakkan baris kedua di tempat yang pertama.
Seterusnya, anda perlu menukar baris kedua dan ketiga supaya elemen pertama menjadi sifar. Untuk melakukan ini, tambahkannya pada yang pertama, didarab dengan pekali:
baris kedua: k=(-a21/a11)=(-3/1)=-3
a'21 =a21 + k×a11=3 + (-3)×1=0
a'22 =a22 + k×a12 =-1 + (- 3)×2=-7
a'23 =a23 + k×a13 =1 + (-3)×4=-11
b'2 =b2 + k×b1=12 + (-3)×12=-24
baris ketiga: k=(-a31/a11)=(- 5/1)=-5
a'31 =a31+ k×a11=5 + (-5)×1=0
a'32 =a32+ k×a12 =1 + (-5)×2=-9
a'33 =a33 + k×a13 =2 + (-5)×4=-18
b'3=b3 + k×b1=3 + (-5)×12=-57
Kini, untuk tidak keliru, anda perlu menulis matriks dengan hasil perantaraan transformasi.
Jelas sekali, matriks sedemikian boleh dibuat lebih mudah dibaca dengan bantuan beberapa operasi. Sebagai contoh, anda boleh mengalih keluar semua "tolak" daripada baris kedua dengan mendarab setiap elemen dengan "-1".
Perlu juga diperhatikan bahawa dalam baris ketiga semua elemen ialah gandaan tiga. Kemudian anda bolehpotong rentetan dengan nombor ini, darabkan setiap elemen dengan "-1/3" (tolak - pada masa yang sama untuk mengalih keluar nilai negatif).
Nampak lebih cantik. Sekarang kita perlu meninggalkan sahaja baris pertama dan bekerja dengan baris kedua dan ketiga. Tugasnya ialah menambah baris kedua ke baris ketiga, didarab dengan faktor sedemikian sehingga unsur a32 menjadi sifar.
k=(-a32/a22)=(-3/7)=-3/7 (jika semasa beberapa transformasi dalam jawapan ternyata bukan integer, adalah disyorkan untuk meninggalkannya "sebagaimana adanya", dalam bentuk pecahan biasa, dan hanya selepas itu, apabila jawapan diterima, tentukan sama ada untuk membundarkan dan menukar kepada bentuk lain. tatatanda)
a'32=a32 + k×a22=3 + (-3 /7)×7=3 + (-3)=0
a'33=a33 + k×a23=6 + (-3 /7)×11=-9/7
b'3 =b3 + k×b2=19 + (-3 /7)×24=-61/7
Matriks ditulis semula dengan nilai baharu.
| 1 | 2 | 4 | 12 |
| 0 | 7 | 11 | 24 |
| 0 | 0 | -9/7 | -61/7 |
Seperti yang anda lihat, matriks yang terhasil sudah mempunyai bentuk berperingkat. Oleh itu, transformasi lanjut sistem dengan kaedah Gauss tidak diperlukan. Apa yang boleh dilakukan di sini ialah mengalih keluar pekali keseluruhan "-1/7" daripada baris ketiga.
Kini semua orangbagus. Intinya kecil - tulis semula matriks dalam bentuk sistem persamaan dan hitung punca
x + 2y + 4z=12 (1)
7y + 11z=24 (2)
9z=61 (3)
Algoritma yang mana akar kini akan ditemui dipanggil langkah terbalik dalam kaedah Gauss. Persamaan (3) mengandungi nilai z:
z=61/9
Seterusnya, kembali ke persamaan kedua:
y=(24 - 11×(61/9))/7=-65/9
Dan persamaan pertama membolehkan anda mencari x:
x=(12 - 4z - 2y)/1=12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9)=-6/9=-2/3
Kami mempunyai hak untuk memanggil gabungan sistem sedemikian, malah pasti, iaitu, mempunyai penyelesaian yang unik. Jawapannya ditulis dalam bentuk berikut:
x1=-2/3, y=-65/9, z=61/9.
Contoh sistem tak tentu
Varian penyelesaian sistem tertentu dengan kaedah Gauss telah dianalisis, kini perlu mempertimbangkan kes jika sistem itu tidak tentu, iaitu, banyak penyelesaian yang tidak terhingga boleh didapati untuknya.
x1 + x2 + x3 + x 4+ x5=7 (1)
3x1 + 2x2 + x3 + x 4 - 3x5=-2 (2)
x2 + 2x3 + 2x4 + 6x 5 =23 (3)
5x1 + 4x2 + 3x3 + 3x 4 - x5=12 (4)
Bentuk sistem sebenarnya sudah membimbangkan, kerana bilangan yang tidak diketahui ialah n=5, dan pangkat matriks sistem sudah betul-betul kurang daripada nombor ini, kerana bilangan baris ialah m=4, iaitu tertib terbesar bagi penentu kuasa dua ialah 4. Jadi,Terdapat bilangan penyelesaian yang tidak terhingga, dan kita mesti mencari bentuk amnya. Kaedah Gauss untuk persamaan linear membolehkan anda melakukan ini.
Pertama, seperti biasa, matriks tambahan disusun.
Baris kedua: pekali k=(-a21/a11)=-3. Dalam baris ketiga, elemen pertama adalah sebelum transformasi, jadi anda tidak perlu menyentuh apa-apa, anda perlu membiarkannya seperti sedia ada. Baris keempat: k=(-a41/a11)=-5
Dengan mendarab unsur baris pertama dengan setiap pekalinya secara bergilir-gilir dan menambahkannya pada baris yang diperlukan, kami mendapat matriks dalam bentuk berikut:
Seperti yang anda lihat, baris kedua, ketiga dan keempat terdiri daripada elemen yang berkadar antara satu sama lain. Yang kedua dan keempat secara amnya sama, jadi satu daripadanya boleh dialih keluar serta-merta, dan selebihnya didarab dengan pekali "-1" dan dapatkan baris nombor 3. Dan sekali lagi, tinggalkan satu daripada dua baris yang sama.
Hasilnya ialah matriks sedemikian. Sistem ini belum lagi ditulis, adalah perlu di sini untuk menentukan pembolehubah asas - berdiri pada pekali a11=1 dan a22=1, dan percuma - semua yang lain.
Hanya terdapat satu pembolehubah asas dalam persamaan kedua - x2. Oleh itu, ia boleh dinyatakan dari sana, menulis melalui pembolehubah x3, x4, x5, yang adalah percuma.
Gantikan ungkapan yang terhasil ke dalam persamaan pertama.
Ternyata persamaan di manasatu-satunya pembolehubah asas ialah x1. Mari kita lakukan perkara yang sama dengannya seperti dengan x2.
Semua pembolehubah asas, yang mana terdapat dua, dinyatakan dalam sebutan tiga pembolehubah percuma, kini anda boleh menulis jawapan dalam bentuk umum.
Anda juga boleh menentukan salah satu penyelesaian khusus sistem. Untuk kes sedemikian, sebagai peraturan, sifar dipilih sebagai nilai untuk pembolehubah bebas. Maka jawapannya ialah:
-16, 23, 0, 0, 0.
Contoh sistem yang tidak konsisten
Penyelesaian sistem persamaan yang tidak konsisten dengan kaedah Gauss adalah yang terpantas. Ia berakhir sebaik sahaja pada salah satu peringkat diperoleh persamaan yang tidak mempunyai penyelesaian. Iaitu, peringkat dengan pengiraan akar, yang agak panjang dan suram, hilang. Sistem berikut sedang dipertimbangkan:
x + y - z=0 (1)
2x - y - z=-2 (2)
4x + y - 3z=5 (3)
Seperti biasa, matriks disusun:
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 2 | -1 | -1 | -2 |
| 4 | 1 | -3 | 5 |
Dan dikurangkan kepada bentuk berperingkat:
k1 =-2k2 =-4
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 0 | -3 | 1 | -2 |
| 0 | 0 | 0 | 7 |
Selepas penjelmaan pertama, baris ketiga mengandungi persamaan bentuk
0=7, tiada penyelesaian. Oleh itu, sistemtidak konsisten dan jawapannya ialah set kosong.
Kebaikan dan keburukan kaedah
Jika anda memilih kaedah untuk menyelesaikan SLAE di atas kertas dengan pen, maka kaedah yang dipertimbangkan dalam artikel ini kelihatan paling menarik. Dalam transformasi asas, adalah lebih sukar untuk dikelirukan daripada yang berlaku jika anda perlu mencari penentu secara manual atau beberapa matriks songsang yang rumit. Walau bagaimanapun, jika anda menggunakan program untuk bekerja dengan data jenis ini, sebagai contoh, hamparan, maka ternyata program tersebut sudah mengandungi algoritma untuk mengira parameter utama matriks - penentu, minor, matriks songsang dan transpos, dan sebagainya.. Dan jika anda pasti bahawa mesin akan mengira nilai-nilai ini sendiri dan tidak akan membuat kesilapan, adalah lebih sesuai untuk menggunakan kaedah matriks atau formula Cramer, kerana aplikasinya bermula dan berakhir dengan pengiraan penentu dan matriks songsang.
Permohonan
Memandangkan penyelesaian Gaussian ialah algoritma, dan matriks, sebenarnya, tatasusunan dua dimensi, ia boleh digunakan dalam pengaturcaraan. Tetapi memandangkan artikel itu meletakkan dirinya sebagai panduan "untuk dummies", harus dikatakan bahawa tempat paling mudah untuk meletakkan kaedah adalah hamparan, contohnya, Excel. Sekali lagi, mana-mana SLAE yang dimasukkan dalam jadual dalam bentuk matriks akan dianggap oleh Excel sebagai tatasusunan dua dimensi. Dan untuk operasi dengan mereka, terdapat banyak arahan yang bagus: penambahan (anda boleh menambah hanya matriks saiz yang sama!), Pendaraban dengan nombor, pendaraban matriks (juga dengansekatan tertentu), mencari matriks songsang dan terpindah dan, yang paling penting, mengira penentu. Jika tugas yang memakan masa ini digantikan dengan satu perintah, adalah lebih cepat untuk menentukan kedudukan sesuatu matriks dan, oleh itu, mewujudkan keserasian atau ketidakkonsistenannya.
