Piramid segi tiga dan formula untuk menentukan luasnya

2024 Pengarang: Angel Austin | [email protected]. Diubah suai terakhir: 2023-12-17 05:36

Piramid ialah rajah spatial geometri, yang ciri-cirinya dipelajari di sekolah menengah dalam kursus geometri pepejal. Dalam artikel ini, kami akan mempertimbangkan piramid segi tiga, jenisnya, serta formula untuk mengira luas permukaannya.

Piramid manakah yang kita bincangkan?

Piramid segi tiga ialah rajah yang boleh diperolehi dengan menyambungkan semua bucu segitiga sembarangan dengan satu titik tunggal yang tidak terletak pada satah segi tiga ini. Menurut definisi ini, piramid yang dipertimbangkan harus terdiri daripada segi tiga awal, yang dipanggil tapak rajah, dan tiga segi tiga sisi yang mempunyai satu sisi sepunya dengan tapak dan disambungkan antara satu sama lain pada satu titik. Yang terakhir dipanggil bahagian atas piramid.

Gambar di atas menunjukkan piramid segi tiga sewenang-wenangnya.

Angka yang dipertimbangkan boleh berbentuk serong atau lurus. Dalam kes kedua, serenjang yang jatuh dari bahagian atas piramid ke pangkalannya mesti bersilang di pusat geometri. pusat geometri mana-manasegi tiga ialah titik persilangan mediannya. Pusat geometri bertepatan dengan pusat jisim rajah dalam fizik.

Jika segitiga sekata (sama sisi) terletak di dasar piramid lurus, maka ia dipanggil segitiga sekata. Dalam piramid biasa, semua sisi adalah sama antara satu sama lain dan merupakan segi tiga sama sisi.

Jika ketinggian piramid sekata adalah sedemikian rupa sehingga segi tiga sisinya menjadi sama sisi, maka ia dipanggil tetrahedron. Dalam tetrahedron, keempat-empat muka adalah sama antara satu sama lain, jadi setiap satu daripadanya boleh dianggap sebagai tapak.

Unsur piramid

Unsur ini termasuk muka atau sisi rajah, tepi, bucu, ketinggian dan apotema.

Seperti yang ditunjukkan, semua sisi piramid segi tiga ialah segi tiga. Nombor mereka ialah 4 (3 sisi dan satu di pangkal).

Bucu ialah titik persilangan bagi tiga sisi segi tiga. Tidak sukar untuk meneka bahawa untuk piramid yang sedang dipertimbangkan terdapat 4 daripadanya (3 kepunyaan pangkalan dan 1 ke bahagian atas piramid).

Tepi boleh ditakrifkan sebagai garis yang bersilang dua sisi segi tiga, atau sebagai garis yang menghubungkan setiap dua bucu. Bilangan tepi sepadan dengan dua kali ganda bilangan bucu tapak, iaitu, untuk piramid segi tiga ialah 6 (3 tepi kepunyaan tapak dan 3 tepi dibentuk oleh muka sisi).

Ketinggian, seperti yang dinyatakan di atas, ialah panjang serenjang yang dilukis dari bahagian atas piramid ke tapaknya. Jika kita melukis ketinggian dari bucu ini ke setiap sisi tapak segi tiga,maka mereka akan dipanggil apotems (atau apothems). Oleh itu, piramid segi tiga mempunyai satu ketinggian dan tiga apotema. Yang terakhir adalah sama antara satu sama lain untuk piramid biasa.

Pangkalan piramid dan luasnya

Memandangkan tapak bagi rajah yang dipertimbangkan secara amnya ialah segi tiga, untuk mengira luasnya adalah cukup untuk mencari ketinggiannya h_o dan panjang sisi tapak a, di mana ia diturunkan. Formula untuk kawasan S_o asas ialah:

S_o=1/2j_oa

Jika segitiga tapak adalah sama sisi, maka luas tapak piramid segi tiga dikira menggunakan formula berikut:

S_o=√3/4a²

Iaitu, luas S_oditentukan secara unik oleh panjang sisi a tapak segi tiga.

Sisi dan jumlah luas angka

Sebelum mempertimbangkan luas piramid segi tiga, adalah berguna untuk menunjukkan perkembangannya. Dia digambarkan di bawah.

Luas sapuan ini yang dibentuk oleh empat segi tiga ialah jumlah luas piramid. Salah satu segi tiga sepadan dengan asas, formula untuk nilai yang dipertimbangkan yang ditulis di atas. Tiga muka segi tiga sisi bersama-sama membentuk kawasan sisi rajah. Oleh itu, untuk menentukan nilai ini, cukup untuk menggunakan formula di atas untuk segi tiga sewenang-wenangnya pada setiap daripada mereka, dan kemudian menambah tiga hasil.

Jika piramid itu betul, maka pengiraannyaluas permukaan sisi dipermudah, kerana semua muka sisi adalah segi tiga sama sisi. Nyatakan h_bpanjang apotema, kemudian luas permukaan sisi S_b boleh ditentukan seperti berikut:

S_b=3/2ah_b

Formula ini mengikuti daripada ungkapan umum untuk luas segi tiga. Nombor 3 muncul dalam pengangka kerana fakta bahawa piramid mempunyai tiga muka sisi.

Apotema h_b dalam piramid biasa boleh dikira jika ketinggian rajah h diketahui. Menggunakan teorem Pythagoras, kita dapat:

h_b=√(h²+ a²/12)

Jelas sekali, jumlah luas S permukaan rajah adalah sama dengan hasil tambah luas sisi dan tapaknya:

S=S_o+ S_b

Untuk piramid biasa, menggantikan semua nilai yang diketahui, kami mendapat formula:

S=√3/4a²+ 3/2a√(h²+ a ²/12)

Luas piramid segi tiga hanya bergantung pada panjang sisi tapaknya dan pada ketinggian.

Contoh masalah

Diketahui bahawa tepi sisi piramid segi tiga ialah 7 cm, dan sisi tapak ialah 5 cm. Anda perlu mencari luas permukaan rajah itu jika anda tahu bahawa piramid itu adalah biasa.

Gunakan persamaan umum:

S=S_o+ S_b

Kawasan S_osama dengan:

S_o=√3/4a² =√3/45^{2 ≈10, 825sm}2.

Untuk menentukan luas permukaan sisi, anda perlu mencari apotema. Tidak sukar untuk menunjukkan bahawa melalui panjang tepi sisi a_b ia ditentukan oleh formula:

h_b=√(a_b²- a^{2 /4)=√(7} 2^{- 5}2^{/4) ≈ 6.538 sm.}

Kemudian luas S_b ialah:

S_b=3/2ah_b=3/256, 538=49.035 sm2.

Jumlah keluasan piramid ialah:

S=S_o+ S_b=10.825 + 49.035=59.86sm².

Perhatikan bahawa semasa menyelesaikan masalah, kami tidak menggunakan nilai ketinggian piramid dalam pengiraan.