Masalah Goldbach ialah salah satu masalah tertua dan paling digembar-gemburkan dalam sejarah semua matematik.
Tekaan ini telah terbukti benar untuk semua integer kurang daripada 4 × 1018, tetapi masih tidak dapat dibuktikan walaupun banyak usaha yang dilakukan oleh ahli matematik.
Nombor
Nombor Goldbach ialah integer genap positif yang merupakan hasil tambah bagi sepasang nombor perdana ganjil. Satu lagi bentuk sangkaan Goldbach ialah semua integer genap lebih daripada empat ialah nombor Goldbach.
Pemisahan nombor sedemikian dipanggil partition (atau partition) Goldbach. Di bawah ialah contoh bahagian yang serupa untuk beberapa nombor genap:
6=3 + 38=3 + 510=3 + 7=5 + 512=7 + 5…100=3 + 97=11 + 89=17 + 83=29 + 71=41 + 59=47 + 53.
Penemuan hipotesis
Goldbach mempunyai rakan sekerja bernama Euler, yang suka mengira, menulis formula kompleks dan mengemukakan teori yang tidak boleh diselesaikan. Dalam hal ini mereka serupa dengan Goldbach. Euler membuat teka-teki matematik yang sama sebelum Goldbach, dengan siapa diasurat-menyurat berterusan. Dia kemudiannya mencadangkan cadangan kedua dalam margin manuskripnya, yang mengikutnya integer yang lebih besar daripada 2 boleh ditulis sebagai jumlah tiga nombor perdana. Dia menganggap 1 sebagai nombor perdana.
Kedua-dua hipotesis kini diketahui serupa, tetapi ini nampaknya tidak menjadi masalah pada masa itu. Versi moden masalah Goldbach menyatakan bahawa setiap integer yang lebih besar daripada 5 boleh ditulis sebagai hasil tambah tiga nombor perdana. Euler membalas dalam surat bertarikh 30 Jun 1742, dan mengingatkan Goldbach tentang perbualan awal yang mereka ada ("… jadi kita bercakap tentang hipotesis asal (dan bukan marginal) yang timbul daripada pernyataan berikut").
Masalah Euler-Goldbach
2 dan nombor genapnya boleh ditulis sebagai hasil tambah dua nombor perdana, yang juga merupakan sangkaan Goldbach. Dalam surat bertarikh 30 Jun 1742, Euler menyatakan bahawa setiap integer genap adalah hasil penambahan dua bilangan prima, yang dia anggap sebagai teorem yang jelas, walaupun dia tidak dapat membuktikannya.
Versi ketiga
Versi ketiga masalah Goldbach (bersamaan dengan dua versi lain) ialah bentuk di mana tekaan biasanya diberikan hari ini. Ia juga dikenali sebagai tekaan Goldbach "kuat", "genap", atau "perduaan" untuk membezakannya daripada hipotesis lemah yang dikenali hari ini sebagai sangkaan Goldbach "lemah", "ganjil", atau "ternari". Konjektur lemah menyatakan bahawa semua nombor ganjil yang lebih besar daripada 7 adalah hasil tambah tiga nombor perdana ganjil. Dugaan yang lemah telah dibuktikan pada tahun 2013. Hipotesis yang lemah ialahakibat daripada hipotesis yang kuat. Konsekuensi terbalik dan sangkaan Goldbach yang kuat kekal tidak terbukti sehingga hari ini.
Semak
Untuk nilai n yang kecil, masalah Goldbach (dan oleh itu sangkaan Goldbach) boleh disahkan. Contohnya, Nils Pipping pada tahun 1938 dengan teliti menguji hipotesis sehingga n ≦ 105. Dengan kemunculan komputer pertama, lebih banyak nilai n telah dikira.
Oliveira Silva melakukan carian komputer diedarkan yang mengesahkan hipotesis untuk n ≦ 4 × 1018 (dan disemak dua kali sehingga 4 × 1017) pada 2013. Satu entri daripada carian ini ialah 3,325,581,707,333,960,528 ialah nombor terkecil yang tidak mempunyai pecahan Goldbach dengan bilangan perdana di bawah 9781.
Heuristik
Versi untuk bentuk kukuh sangkaan Goldbach adalah seperti berikut: memandangkan kuantiti cenderung kepada infiniti apabila n bertambah, kami menjangkakan bahawa setiap integer genap besar mempunyai lebih daripada satu perwakilan sebagai hasil tambah dua nombor perdana. Tetapi sebenarnya, terdapat banyak perwakilan sedemikian. Siapa yang menyelesaikan masalah Goldbach? Malangnya, masih tiada sesiapa.
Argumen heuristik ini sebenarnya agak tidak tepat, kerana ia mengandaikan bahawa m bebas dari segi statistik daripada n. Sebagai contoh, jika m ganjil, maka n - m juga ganjil, dan jika m genap, maka n - m genap, dan ini adalah hubungan bukan remeh (kompleks), kerana selain daripada nombor 2, hanya ganjil. nombor boleh menjadi perdana. Begitu juga, jika n boleh dibahagi dengan 3 dan m sudah menjadi perdana selain 3, maka n - m juga salingperdana dengan 3, jadi lebih berkemungkinan menjadi nombor perdana berbanding dengan jumlah nombor. Menjalankan jenis analisis ini dengan lebih berhati-hati, Hardy dan Littlewood pada tahun 1923, sebagai sebahagian daripada tekaan tuple mudah Hardy-Littlewood yang terkenal, membuat penghalusan di atas bagi keseluruhan teori. Tetapi ia tidak membantu menyelesaikan masalah setakat ini.
Hipotesis kuat
Tekaan Goldbach yang kuat jauh lebih rumit daripada sangkaan Goldbach yang lemah. Shnirelman kemudiannya membuktikan bahawa sebarang nombor asli yang lebih besar daripada 1 boleh ditulis sebagai hasil tambah bagi kebanyakan bilangan perdana C, di mana C ialah pemalar yang boleh dikira secara berkesan. Ramai ahli matematik cuba menyelesaikannya, mengira dan mendarab nombor, menawarkan formula kompleks, dll. Tetapi mereka tidak pernah berjaya, kerana hipotesisnya terlalu rumit. Tiada formula membantu.
Tetapi adalah berbaloi untuk menjauhkan diri daripada persoalan membuktikan sedikit masalah Goldbach. Pemalar Shnirelman ialah nombor C terkecil dengan sifat ini. Shnirelman sendiri mendapat C <800 000. Keputusan ini kemudiannya ditambah oleh ramai pengarang, seperti Olivier Ramaret, yang menunjukkan pada tahun 1995 bahawa setiap nombor genap n ≧ 4 sebenarnya adalah jumlah paling banyak enam prima. Hasil yang paling terkenal pada masa ini dikaitkan dengan teori Goldbach oleh Harald Helfgott.
Pembangunan lanjut
Pada tahun 1924, Hardy dan Littlewood menganggap G. R. H. menunjukkan bahawa bilangan nombor genap hingga X, melanggar masalah Goldbach perduaan, adalah jauh lebih sedikit daripada untuk c kecil.
Pada tahun 1973 Chen JingyunSaya cuba menyelesaikan masalah ini, tetapi ia tidak berjaya. Dia juga seorang ahli matematik, jadi dia sangat gemar menyelesaikan teka-teki dan membuktikan teorem.
Pada tahun 1975, dua ahli matematik Amerika menunjukkan bahawa terdapat pemalar positif c dan C - pemalar yang N cukup besar. Khususnya, set integer genap mempunyai ketumpatan sifar. Semua ini berguna untuk menyelesaikan masalah Goldbach ternary, yang akan berlaku pada masa hadapan.
Pada tahun 1951, Linnik membuktikan kewujudan pemalar K supaya setiap nombor genap yang cukup besar adalah hasil penambahan satu nombor perdana dan satu nombor perdana satu sama lain. Roger Heath-Brown dan Jan-Christoph Schlage-Puchta mendapati pada tahun 2002 bahawa K=13 berfungsi. Ini sangat menarik untuk semua orang yang suka menambah antara satu sama lain, menambah nombor yang berbeza dan melihat apa yang berlaku.
Penyelesaian masalah Goldbach
Seperti banyak tekaan terkenal dalam matematik, terdapat beberapa bukti yang didakwa tentang sangkaan Goldbach, tidak satu pun daripadanya diterima oleh komuniti matematik.
Walaupun sangkaan Goldbach membayangkan bahawa setiap integer positif yang lebih besar daripada satu boleh ditulis sebagai jumlah paling banyak tiga nombor perdana, tidak selalu mungkin untuk mencari jumlah sedemikian menggunakan algoritma tamak yang menggunakan nombor perdana terbesar yang mungkin. pada setiap langkah. Urutan Pillai menjejaki nombor yang memerlukan bilangan prima terbanyak dalam perwakilan tamak mereka. Oleh itu, penyelesaian kepada masalah Goldbachmasih menjadi persoalan. Namun begitu, lambat laun ia kemungkinan besar akan diselesaikan.
Terdapat teori yang serupa dengan masalah Goldbach di mana nombor perdana digantikan dengan set nombor khusus lain, seperti segi empat sama.
Christian Goldbach
Christian Goldbach ialah seorang ahli matematik Jerman yang juga belajar undang-undang. Dia diingati hari ini kerana sangkaan Goldbach.
Dia bekerja sebagai ahli matematik sepanjang hidupnya - dia sangat gemar menambah nombor, mencipta formula baharu. Dia juga tahu beberapa bahasa, dalam setiap bahasa dia menyimpan diari peribadinya. Bahasa-bahasa ini adalah bahasa Jerman, Perancis, Itali dan Rusia. Juga, menurut beberapa sumber, dia bercakap bahasa Inggeris dan Latin. Beliau terkenal sebagai seorang ahli matematik yang cukup terkenal semasa hayatnya. Goldbach juga berkait rapat dengan Rusia, kerana dia mempunyai ramai rakan sekerja Rusia dan keutamaan peribadi keluarga diraja.
Beliau terus bekerja di Akademi Sains St. Petersburg yang baru dibuka pada tahun 1725 sebagai profesor matematik dan ahli sejarah akademi itu. Pada tahun 1728, apabila Peter II menjadi Tsar Rusia, Goldbach menjadi mentornya. Pada tahun 1742 beliau memasuki Kementerian Luar Rusia. Maknanya, dia sebenarnya bekerja di negara kita. Pada masa itu, ramai saintis, penulis, ahli falsafah dan orang tentera datang ke Rusia, kerana Rusia pada masa itu adalah negara peluang seperti Amerika. Ramai yang telah berkerjaya di sini. Dan wira kita juga tidak terkecuali.
Christian Goldbach berbilang bahasa - dia menulis diari dalam bahasa Jerman dan Latin, suratnyaditulis dalam bahasa Jerman, Latin, Perancis dan Itali, dan untuk dokumen rasmi dia menggunakan bahasa Rusia, Jerman dan Latin.
Beliau meninggal dunia pada 20 November 1764 pada usia 74 tahun di Moscow. Hari apabila masalah Goldbach diselesaikan akan menjadi penghormatan yang sesuai untuk ingatannya.
Kesimpulan
Goldbach ialah seorang ahli matematik yang hebat yang memberikan kami salah satu misteri terbesar sains ini. Tidak diketahui sama ada ia akan diselesaikan atau tidak. Kita hanya tahu bahawa penyelesaian yang sepatutnya, seperti dalam kes teorem Fermat, akan membuka perspektif baru untuk matematik. Ahli matematik sangat gemar menyelesaikan dan menganalisisnya. Ia sangat menarik dan ingin tahu dari sudut heuristik. Malah pelajar matematik suka menyelesaikan masalah Goldbach. Bagaimana lagi? Lagipun, orang muda sentiasa tertarik kepada segala-galanya yang cerah, bercita-cita tinggi dan tidak dapat diselesaikan, kerana dengan mengatasi kesukaran seseorang dapat menegaskan dirinya sendiri. Semoga tidak lama lagi masalah ini akan diselesaikan oleh minda muda, bercita-cita tinggi, ingin tahu.
