Salah satu bahagian asas analisis matematik ialah kalkulus kamiran. Ia meliputi medan terluas objek, di mana yang pertama ialah kamiran tak tentu. Adalah berbaloi untuk meletakkannya sebagai kunci, yang walaupun di sekolah menengah mendedahkan semakin banyak perspektif dan peluang yang diterangkan oleh matematik yang lebih tinggi.
Penampilan
Pada pandangan pertama, kamiran kelihatan sangat moden, relevan, tetapi dalam praktiknya ternyata ia muncul seawal 1800 SM. Mesir secara rasmi dianggap sebagai tanah air, kerana bukti awal kewujudannya belum sampai kepada kita. Beliau, kerana kekurangan maklumat, selama ini diletakkan hanya sebagai fenomena. Beliau sekali lagi mengesahkan tahap perkembangan sains dalam kalangan masyarakat pada zaman tersebut. Akhirnya, karya ahli matematik Yunani purba sejak abad ke-4 SM ditemui. Mereka menerangkan kaedah di mana kamiran tak tentu digunakan, intipatinya adalah untuk mencari isipadu atau luas angka lengkung (tiga dimensidan satah dua dimensi, masing-masing). Prinsip pengiraan adalah berdasarkan membahagikan angka asal kepada komponen paling kecil, dengan syarat isipadu (luas) mereka sudah diketahui. Dari masa ke masa, kaedah itu telah berkembang, Archimedes menggunakannya untuk mencari luas parabola. Pengiraan yang sama dilakukan pada masa yang sama oleh saintis di China purba, dan mereka benar-benar bebas daripada rakan-rakan Yunani mereka dalam sains.
Pembangunan
Terobosan seterusnya pada abad ke-11 Masihi ialah karya saintis Arab-"sejagat" Abu Ali al-Basri, yang menolak sempadan apa yang telah diketahui, menghasilkan formula berdasarkan kamiran untuk mengira jumlah baris dan jumlah kuasa dari yang pertama hingga keempat, menggunakan kaedah aruhan matematik yang kami ketahui.
Fikiran zaman moden mengagumi bagaimana orang Mesir purba mencipta monumen seni bina yang menakjubkan tanpa sebarang alat khas, kecuali mungkin tangan mereka, tetapi bukankah kuasa minda saintis pada masa itu tidak kurang satu keajaiban? Berbanding dengan hari ini, kehidupan mereka kelihatan hampir primitif, tetapi penyelesaian kamiran tak tentu diperolehi di mana-mana dan digunakan dalam amalan untuk pembangunan selanjutnya.
Langkah seterusnya berlaku pada abad ke-16, apabila ahli matematik Itali, Cavalieri mengembangkan kaedah tidak boleh dibahagikan, yang telah diambil oleh Pierre Fermat. Kedua-dua personaliti inilah yang meletakkan asas bagi kalkulus kamiran moden, yang dikenali pada masa ini. Mereka menghubungkan konsep pembezaan dan integrasi, yang sebelum inidianggap sebagai unit autonomi. Pada umumnya, matematik pada masa itu berpecah-belah, zarah kesimpulan wujud sendiri, mempunyai skop yang terhad. Laluan penyatuan dan pencarian titik persamaan adalah satu-satunya jalan yang benar pada masa itu, berkat analisis matematik moden mendapat peluang untuk berkembang dan berkembang.
Semuanya telah berubah dari semasa ke semasa, termasuk tatatanda kamiran. Pada umumnya, saintis melambangkannya dengan segala cara, contohnya, Newton menggunakan ikon segi empat sama di mana dia meletakkan fungsi boleh integrasi atau hanya meletakkannya di sebelahnya.
Ketidakkonsistenan ini berterusan sehingga abad ke-17, apabila saintis Gottfried Leibniz, mercu tanda bagi keseluruhan teori analisis matematik, memperkenalkan simbol yang begitu biasa kepada kita. "S" yang memanjang sememangnya berdasarkan huruf abjad Latin ini, kerana ia menandakan jumlah antiderivatif. Integral mendapat namanya terima kasih kepada Jacob Bernoulli 15 tahun kemudian.
Takrifan formal
Kamiran tak tentu bergantung secara langsung pada takrifan antiterbitan, jadi mari kita pertimbangkan dahulu.
Antiderivatif ialah fungsi yang merupakan songsang kepada terbitan, dalam praktiknya ia juga dipanggil primitif. Jika tidak: antiterbitan bagi fungsi d ialah fungsi D yang terbitannya sama dengan v V'=v. Pencarian untuk antiterbitan ialah pengiraan kamiran tak tentu, dan proses ini sendiri dipanggil penyepaduan.
Contoh:
Fungsi s(y)=y3, dan antiterbitannya S(y)=(y4/4).
Himpunan semua antiderivatif bagi fungsi yang sedang dipertimbangkan ialah kamiran tak tentu, ia dilambangkan seperti berikut: ∫v(x)dx.
Disebabkan fakta bahawa V(x) hanyalah beberapa antiterbitan bagi fungsi asal, ungkapan berlaku: ∫v(x)dx=V(x) + C, dengan C ialah pemalar. Pemalar arbitrari ialah sebarang pemalar, kerana terbitannya sama dengan sifar.
Properties
Sifat yang ada pada kamiran tak tentu adalah berdasarkan takrifan utama dan sifat terbitan.
Mari kita lihat perkara penting:
- kamiran daripada terbitan antiterbitan ialah antiterbitan itu sendiri ditambah pemalar arbitrari С ∫V'(x)dx=V(x) + C;
- terbitan kamiran fungsi ialah fungsi asal (∫v(x)dx)'=v(x);
- pemalar dikeluarkan dari bawah tanda kamiran ∫kv(x)dx=k∫v(x)dx, dengan k adalah sembarangan;
- kamiran yang diambil daripada hasil tambah adalah sama dengan hasil tambah kamiran ∫(v(y) + w(y))dy=∫v(y)dy +∫w(y)dy.
Daripada dua sifat terakhir, kita boleh membuat kesimpulan bahawa kamiran tak tentu ialah linear. Terima kasih kepada ini, kami mempunyai: ∫(kv(y)dy +∫ lw(y))dy=k∫v(y)dy + l∫w(y)dy.
Untuk menyatukan, pertimbangkan contoh penyelesaian kamiran tak tentu.
Adalah perlu untuk mencari kamiran ∫(3sinx + 4cosx)dx:
∫(3sinx + 4cosx)dx=∫3sinxdx + ∫4cosxdx=3∫sinxdx + 4∫cosxdx=3(-cosx) + 4sinx + C=4sinx - 3cosx + C
Daripada contoh kita boleh membuat kesimpulan:tidak tahu bagaimana untuk menyelesaikan kamiran tak tentu? Hanya cari semua primitif! Tetapi prinsip carian akan dipertimbangkan di bawah.
Kaedah dan contoh
Untuk menyelesaikan kamiran, anda boleh menggunakan kaedah berikut:
- gunakan meja yang disediakan;
- sepadukan mengikut bahagian;
- integrasikan dengan menukar pembolehubah;
- membawa di bawah tanda pembezaan.
Meja
Cara paling mudah dan menyeronokkan. Pada masa ini, analisis matematik mempunyai jadual yang agak luas di mana formula asas kamiran tak tentu ditulis. Dalam erti kata lain, terdapat templat yang telah dibangunkan sebelum anda dan untuk anda, ia kekal hanya untuk menggunakannya. Berikut ialah senarai kedudukan jadual utama yang boleh anda perolehi hampir setiap contoh yang mempunyai penyelesaian:
- ∫0dy=C, dengan C ialah pemalar;
- ∫dy=y + C, dengan C ialah pemalar;
- ∫y dy=(yn+1) / (n + 1) + C, dengan C ialah pemalar dan n - bukan satu nombor;
- ∫(1/y)dy=ln|y| + C, dengan C ialah pemalar;
- ∫eydy=ey + C, dengan C ialah pemalar;
- ∫kydy=(ky/ln k) + C, dengan C ialah pemalar;
- ∫cosydy=siny + C, dengan C ialah pemalar;
- ∫sinydy=-cosy + C, dengan C ialah pemalar;
- ∫dy/cos2y=tgy + C, dengan C ialah pemalar;
- ∫dy/sin2y=-ctgy + C, dengan C ialah pemalar;
- ∫dy/(1 + y2)=arctgy + C, dengan C ialah pemalar;
- ∫chydy=malu + C, dengan C -malar;
- ∫malu=chy + C, dengan C ialah pemalar.
Jika perlu, ambil beberapa langkah, bawa integrand ke bentuk jadual dan nikmati kemenangan. Contoh: ∫cos(5x -2)dx=1/5∫cos(5x - 2)d(5x - 2)=1/5 x sin(5x - 2) + C.
Menurut penyelesaian, adalah jelas bahawa untuk contoh jadual, integrand tidak mempunyai faktor 5. Kami menambahnya, mendarabnya dengan 1/5 secara selari supaya ungkapan umum tidak berubah.
Integrasi mengikut bahagian
Pertimbangkan dua fungsi - z(y) dan x(y). Ia mesti boleh dibezakan secara berterusan ke atas keseluruhan domain definisi. Menurut salah satu sifat pembezaan, kita mempunyai: d(xz)=xdz + zdx. Mengintegrasikan kedua-dua bahagian persamaan, kita dapat: ∫d(xz)=∫(xdz + zdx)=> zx=∫zdx + ∫xdz.
Menulis semula kesamaan yang terhasil, kami memperoleh formula yang menerangkan kaedah penyepaduan mengikut bahagian: ∫zdx=zx - ∫xdz.
Mengapa ia diperlukan? Maksudnya ialah beberapa contoh boleh dipermudahkan, secara bersyarat, kurangkan ∫zdx kepada ∫xdz jika yang terakhir adalah hampir kepada bentuk jadual. Selain itu, formula ini boleh digunakan lebih daripada sekali, mencapai hasil yang optimum.
Cara menyelesaikan kamiran tak tentu dengan cara ini:
perlu mengira ∫(s + 1)e2sds
∫(x + 1)e2sds={z=s+1, dz=ds, y=1/2e2s, dy=e2xds}=((s+1)e2s) / 2-1/2∫e2s dx=((s+1)e2s) / 2-e2s/4+ C;
perlu mengira ∫lnsds
∫lnsds={z=lns, dz=ds/s, y=s, dy=ds}=slns - ∫s x ds/s=slns - ∫ds=slns -s + C=s(lns -1) + C.
Penggantian pembolehubah
Prinsip penyelesaian kamiran tak tentu ini tidak kurang permintaannya daripada dua yang sebelumnya, walaupun ia lebih rumit. Kaedahnya adalah seperti berikut: biarkan V(x) menjadi kamiran bagi sesetengah fungsi v(x). Sekiranya kamiran itu sendiri dalam contoh kelihatan rumit, terdapat kebarangkalian tinggi untuk keliru dan mengambil jalan penyelesaian yang salah. Untuk mengelakkan ini, peralihan daripada pembolehubah x kepada z diamalkan, di mana ungkapan umum dipermudahkan secara visual sambil mengekalkan pergantungan z pada x.
Secara matematik ia kelihatan seperti ini: ∫v(x)dx=∫v(y(z))y'(z)dz=V(z)=V(y-1(x)), dengan x=y(z) ialah penggantian. Dan, sudah tentu, fungsi songsang z=y-1(x) menerangkan sepenuhnya pergantungan dan hubungan pembolehubah. Nota penting - dx pembezaan semestinya digantikan dengan dz pembezaan baharu, kerana penggantian pembolehubah dalam kamiran tak tentu membayangkan penggantiannya di mana-mana sahaja, dan bukan hanya dalam kamiran.
Contoh:
perlu mencari ∫(s + 1) / (s2 + 2s - 5)ds
Gunakan penggantian z=(s+1)/(s2+2s-5). Kemudian dz=2sds=2+2(s+1)ds (s+1)ds=dz/2. Hasilnya, kami mendapat ungkapan berikut, yang sangat mudah dikira:
∫(s+1)/(s2+2s-5)ds=∫(dz/2)/z=1/2ln|z|+C=1/2ln|s2+2s-5|+C;
perlu mencari kamiran∫2sesdx
Untuk menyelesaikannya, kami menulis semula ungkapan dalam bentuk berikut:
∫2sesds=∫(2e)sds.
Nyatakan dengan a=2e (langkah ini bukan pengganti untuk hujah, ia masih s), kami membawa kamiran kami yang kelihatan kompleks kepada bentuk jadual asas:
∫(2e)sds=∫asds=as / lna + C=(2e)s / ln(2e) + C=2ses / ln(2 + lne) + C=2ses / (ln2 + 1) + C.
Membawa di bawah tanda pembezaan
Secara umumnya, kaedah kamiran tak tentu ini ialah saudara kembar prinsip perubahan boleh ubah, tetapi terdapat perbezaan dalam proses reka bentuk. Mari lihat lebih dekat.
Jika ∫v(x)dx=V(x) + C dan y=z(x), maka ∫v(y)dy=V(y) + C.
Dalam kes ini, seseorang tidak seharusnya melupakan transformasi integral yang remeh, antaranya:
- dx=d(x + a), dengan a ialah sebarang pemalar;
- dx=(1 / a)d(ax + b), dengan a sekali lagi pemalar, tetapi tidak sama dengan sifar;
- xdx=1/2d(x2 + b);
- sinxdx=-d(cosx);
- cosxdx=d(sinx).
Jika kita mempertimbangkan kes am apabila kita mengira kamiran tak tentu, contoh boleh disimpulkan di bawah formula am w'(x)dx=dw(x).
Contoh:
perlu mencari ∫(2s + 3)2ds, ds=1/2d(2s + 3)
∫(2s + 3)2ds=1/2∫(2s + 3)2d(2s + 3)=(1/2) x ((2s +3)2) / 3 + C=(1/6) x (2s + 3)2 + C;
∫tgsds=∫dosa/cossds=∫d(coss)/coss=-ln|coss| + C.
Bantuan Dalam Talian
Dalam sesetengah kes, kesalahan yang mungkin disebabkan oleh kemalasan atau keperluan mendesak, anda boleh menggunakan petua dalam talian, atau sebaliknya, gunakan kalkulator kamiran tak tentu. Walaupun semua kerumitan dan pertikaian yang ketara bagi kamiran, penyelesaiannya tertakluk kepada algoritma tertentu, yang berdasarkan prinsip "jika tidak …, maka …".
Sudah tentu, kalkulator sedemikian tidak akan menguasai contoh yang rumit terutamanya, kerana terdapat kes di mana penyelesaiannya perlu ditemui secara buatan, "secara paksa" memperkenalkan elemen tertentu dalam proses, kerana hasilnya tidak dapat dicapai dengan jelas. cara. Di sebalik semua kontroversi kenyataan ini, ia adalah benar, kerana matematik, pada dasarnya, adalah sains abstrak, dan menganggap keperluan untuk memperluaskan sempadan kemungkinan sebagai tugas utamanya. Sememangnya, adalah amat sukar untuk bergerak ke atas dan berkembang mengikut teori yang lancar dan run-in, jadi anda tidak seharusnya menganggap bahawa contoh penyelesaian kamiran tak tentu yang telah kami berikan adalah ketinggian kemungkinan. Tetapi kembali kepada aspek teknikal. Sekurang-kurangnya untuk menyemak pengiraan, anda boleh menggunakan perkhidmatan di mana segala-galanya telah ditulis sebelum kami. Sekiranya terdapat keperluan untuk pengiraan automatik ungkapan kompleks, maka mereka tidak boleh diketepikan, anda perlu menggunakan perisian yang lebih serius. Persekitaran MatLab patut diberi perhatian terlebih dahulu.
Permohonan
Penyelesaian kamiran tak tentu pada pandangan pertama nampaknya benar-benar tidak sesuai dengan realiti, kerana sukar untuk melihat kawasan aplikasi yang jelas. Memang, ia tidak boleh digunakan secara langsung di mana-mana, tetapi ia dianggap sebagai elemen perantaraan yang diperlukan dalam proses memperoleh penyelesaian yang digunakan dalam amalan. Jadi, pengamiran adalah songsang kepada pembezaan, kerana ia mengambil bahagian secara aktif dalam proses menyelesaikan persamaan.
Seterusnya, persamaan ini mempunyai kesan langsung ke atas penyelesaian masalah mekanikal, pengiraan trajektori dan kekonduksian terma - ringkasnya, semua yang membentuk masa kini dan membentuk masa depan. Kamiran tak tentu, contoh yang kami periksa di atas, adalah remeh hanya pada pandangan pertama, kerana ia adalah asas untuk membuat lebih banyak penemuan baharu.
