Apakah nombor tidak rasional? Mengapa mereka dipanggil begitu? Di manakah ia digunakan dan apakah ia? Hanya sedikit yang boleh menjawab soalan-soalan ini tanpa teragak-agak. Tetapi sebenarnya, jawapan kepada mereka agak mudah, walaupun tidak semua orang memerlukannya dan dalam situasi yang sangat jarang berlaku
Intipati dan sebutan
Nombor tak rasional ialah pecahan perpuluhan tak berkala tak terhingga. Keperluan untuk memperkenalkan konsep ini adalah kerana konsep yang sedia ada sebelum ini bagi nombor nyata atau nyata, integer, asli dan rasional tidak lagi mencukupi untuk menyelesaikan masalah baru yang muncul. Sebagai contoh, untuk mengira kuasa dua bagi 2, anda perlu menggunakan perpuluhan tak terhingga tidak berulang. Selain itu, banyak persamaan termudah juga tidak mempunyai penyelesaian tanpa memperkenalkan konsep nombor tak rasional.
Set ini dilambangkan sebagai I. Dan, seperti yang telah jelas, nilai-nilai ini tidak boleh diwakili sebagai pecahan mudah, dalam pengangka yang akan terdapat integer, dan dalam penyebut - nombor asli.
Buat pertama kalinyajika tidak, ahli matematik India menemui fenomena ini pada abad ke-7 SM, apabila didapati bahawa punca kuasa dua beberapa kuantiti tidak dapat ditunjukkan dengan jelas. Dan bukti pertama kewujudan nombor tersebut dikaitkan dengan Pythagorean Hippasus, yang melakukan ini dalam proses mengkaji segi tiga sama kaki. Sumbangan serius kepada kajian set ini telah dibuat oleh beberapa saintis lain yang hidup sebelum era kita. Pengenalan konsep nombor tak rasional memerlukan semakan semula sistem matematik sedia ada, itulah sebabnya ia sangat penting.
Asal usul nama
Jika nisbah dalam bahasa Latin bermaksud "pecahan", "nisbah", maka awalan "ir"
memberikan perkataan ini makna yang bertentangan. Oleh itu, nama set nombor ini menunjukkan bahawa mereka tidak boleh dikaitkan dengan integer atau pecahan, mereka mempunyai tempat yang berasingan. Ini berikutan daripada intipati mereka.
Letakkan dalam klasifikasi keseluruhan
Nombor tak rasional, bersama dengan nombor rasional, tergolong dalam kumpulan nombor nyata atau nyata, yang seterusnya tergolong dalam nombor kompleks. Tiada subset, bagaimanapun, terdapat varieti algebra dan transendental, yang akan dibincangkan di bawah.
Properties
Memandangkan nombor tak rasional ialah sebahagian daripada set nombor nyata, semua sifatnya yang dikaji dalam aritmetik (ia juga dipanggil undang-undang algebra asas) dikenakan padanya.
a + b=b + a (komutatif);
(a + b) + c=a + (b + c)(persekutuan);
a + 0=a;
a + (-a)=0 (kewujudan nombor berlawanan);
ab=ba (undang-undang anjakan);
(ab)c=a(bc) (pengagihan);
a(b+c)=ab + ac (hukum pengedaran);
a x 1=a
a x 1/a=1 (kewujudan nombor songsang);
Perbandingan juga dijalankan mengikut undang-undang dan prinsip am:
Jika a > b dan b > c, maka a > c (transitiviti nisbah) dan. dll.
Sudah tentu, semua nombor tak rasional boleh ditukar menggunakan aritmetik asas. Tiada peraturan khas untuk ini.
Selain itu, aksiom Archimedes digunakan untuk nombor tidak rasional. Ia mengatakan bahawa untuk mana-mana dua kuantiti a dan b, penyataan adalah benar bahawa dengan mengambil a sebagai sebutan cukup kali, anda boleh mengatasi b.
Gunakan
Walaupun hakikatnya dalam kehidupan biasa anda tidak selalunya perlu berurusan dengan mereka, nombor tidak rasional tidak boleh dikira. Terdapat banyak daripada mereka, tetapi mereka hampir tidak kelihatan. Kita dikelilingi oleh nombor tidak rasional di mana-mana. Contoh yang biasa kepada semua orang ialah nombor pi, bersamaan dengan 3, 1415926 …, atau e, yang pada asasnya ialah asas logaritma asli, 2, 718281828 … Dalam algebra, trigonometri dan geometri, ia perlu digunakan secara berterusan. Ngomong-ngomong, nilai terkenal "bahagian emas", iaitu, nisbah kedua-dua bahagian yang lebih besar kepada yang lebih kecil, dan sebaliknya, juga
tergolong dalam set ini. "perak" yang kurang dikenali - juga.
Ia terletak sangat padat pada garis nombor, jadi antara mana-mana dua nilai yang berkaitan dengan set yang rasional, nilai yang tidak rasional pasti akan berlaku.
Masih banyak masalah yang belum selesai berkaitan set ini. Terdapat kriteria seperti ukuran tidak rasional dan kenormalan nombor. Ahli matematik terus meneliti contoh yang paling penting untuk kepunyaan mereka dalam satu kumpulan atau yang lain. Sebagai contoh, dipercayai bahawa e ialah nombor biasa, iaitu kebarangkalian digit yang berbeza muncul dalam rekodnya adalah sama. Bagi pi, kajian masih dijalankan mengenainya. Ukuran tidak rasional juga dipanggil nilai yang menunjukkan sejauh mana nombor ini atau nombor itu boleh dianggarkan dengan nombor rasional.
Algebra dan transendental
Seperti yang telah disebutkan, nombor tak rasional dibahagikan secara bersyarat kepada algebra dan transendental. Secara bersyarat, kerana, secara tegasnya, klasifikasi ini digunakan untuk membahagikan set C.
Penetapan ini menyembunyikan nombor kompleks, yang termasuk nombor nyata atau nyata.
Jadi, nilai algebra ialah nilai yang merupakan punca polinomial yang tidak sama dengan sifar. Sebagai contoh, punca kuasa dua bagi 2 akan berada dalam kategori ini kerana ia adalah penyelesaian kepada persamaan x2 - 2=0.
Semua nombor nyata lain yang tidak memenuhi syarat ini dipanggil transendental. Kepada pelbagai inisertakan contoh yang paling terkenal dan telah disebutkan - nombor pi dan asas logaritma asli e.
Menariknya, tidak satu pun atau yang kedua pada asalnya disimpulkan oleh ahli matematik dalam kapasiti ini, ketidakrasionalan dan transendensi mereka telah terbukti bertahun-tahun selepas penemuan mereka. Untuk pi, bukti diberikan pada tahun 1882 dan dipermudahkan pada tahun 1894, yang menamatkan kontroversi selama 2,500 tahun tentang masalah kuasa dua bulatan. Ia masih belum difahami sepenuhnya, jadi ahli matematik moden mempunyai sesuatu untuk diusahakan. By the way, pengiraan pertama yang cukup tepat bagi nilai ini telah dijalankan oleh Archimedes. Sebelumnya, semua pengiraan terlalu anggaran.
Untuk e (nombor Euler atau Napier), bukti transendensinya ditemui pada tahun 1873. Ia digunakan dalam menyelesaikan persamaan logaritma.
Contoh lain termasuk nilai sinus, kosinus dan tangen untuk sebarang nilai bukan sifar algebra.
