Kaedah aksiomatik ialah cara membina teori-teori saintifik yang telah sedia wujud. Ia berdasarkan hujah, fakta, kenyataan yang tidak memerlukan pembuktian atau penolakan. Malah, versi pengetahuan ini dipersembahkan dalam bentuk struktur deduktif, yang pada mulanya merangkumi pengesahan logik kandungan daripada asas - aksiom.
Kaedah ini tidak boleh menjadi penemuan, tetapi hanya konsep pengelasan. Ia lebih sesuai untuk pengajaran. Asas mengandungi peruntukan awal, dan selebihnya maklumat berikut sebagai akibat logik. Di manakah kaedah aksiomatik membina teori? Ia terletak pada teras kebanyakan sains moden dan mapan.
Pembentukan dan pembangunan konsep kaedah aksiomatik, definisi perkataan
Pertama sekali, konsep ini timbul di Greece Purba berkat Euclid. Beliau menjadi pengasas kaedah aksiomatik dalam geometri. Hari ini ia adalah perkara biasa dalam semua sains, tetapi kebanyakannya dalam matematik. Kaedah ini dibentuk berdasarkan pernyataan yang telah ditetapkan, dan teori-teori berikutnya diperolehi melalui pembinaan logik.
Ini dijelaskan seperti berikut: terdapat perkataan dan konsep yangditakrifkan oleh istilah lain. Akibatnya, para penyelidik membuat kesimpulan bahawa terdapat kesimpulan asas yang wajar dan tetap - asas, iaitu aksiom. Sebagai contoh, apabila membuktikan teorem, mereka biasanya bergantung pada fakta yang sudah mantap dan tidak memerlukan penolakan.
Namun, sebelum itu, ia perlu dibuktikan. Dalam proses itu, ternyata kenyataan yang tidak munasabah diambil sebagai aksiom. Berdasarkan satu set konsep tetap, teorem lain dibuktikan. Mereka membentuk asas planimetri dan merupakan struktur logik geometri. Aksiom yang telah ditetapkan dalam sains ini ditakrifkan sebagai objek dalam sebarang sifat. Mereka pula mempunyai sifat yang dinyatakan dalam konsep tetap.
Penerokaan lanjut aksiom
Kaedah ini dianggap sebagai ideal sehingga abad kesembilan belas. Cara logik untuk mencari konsep asas tidak dikaji pada zaman itu, tetapi dalam sistem Euclid seseorang boleh memerhatikan struktur mendapatkan akibat yang bermakna daripada kaedah aksiomatik. Penyelidikan saintis menunjukkan idea bagaimana untuk mendapatkan sistem pengetahuan geometri yang lengkap berdasarkan laluan deduktif semata-mata. Mereka ditawarkan sejumlah kecil aksiom yang ditegaskan yang boleh dibuktikan benar.
Merit pemikiran Yunani kuno
Euclid membuktikan banyak konsep, dan beberapa daripadanya dibenarkan. Walau bagaimanapun, majoriti menganggap merit ini kepada Pythagoras, Democritus dan Hippocrates. Yang terakhir menyusun kursus lengkap geometri. Benar, kemudian di Iskandariah keluarkoleksi "Permulaan", pengarangnya ialah Euclid. Kemudian, ia dinamakan semula kepada "Geometri Asas". Selepas beberapa ketika, mereka mula mengkritiknya berdasarkan beberapa sebab:
- semua nilai dibina hanya dengan pembaris dan kompas;
- geometri dan aritmetik dipisahkan dan dibuktikan dengan nombor dan konsep yang sah;
- aksiom, sebahagian daripadanya, khususnya, postulat kelima, telah dicadangkan untuk dipadamkan daripada senarai umum.
Akibatnya, geometri bukan Euclidean muncul pada abad ke-19, di mana tidak ada postulat yang benar secara objektif. Tindakan ini memberi dorongan kepada pembangunan selanjutnya sistem geometri. Oleh itu, penyelidik matematik datang kepada kaedah pembinaan deduktif.
Pembangunan pengetahuan matematik berdasarkan aksiom
Apabila sistem geometri baharu mula berkembang, kaedah aksiomatik turut berubah. Dalam matematik, mereka mula beralih lebih kerap kepada pembinaan teori deduktif semata-mata. Akibatnya, seluruh sistem pembuktian telah timbul dalam logik berangka moden, yang merupakan bahagian utama semua sains. Dalam struktur matematik mula memahami keperluan untuk justifikasi.
Oleh itu, menjelang akhir abad ini, tugasan yang jelas dan pembinaan konsep yang kompleks telah terbentuk, yang daripada teorem yang kompleks telah dikurangkan kepada pernyataan logik yang paling mudah. Oleh itu, geometri bukan Euclidean merangsang asas yang kukuh untuk kewujudan selanjutnya kaedah aksiomatik, serta untuk menyelesaikan masalah yang bersifat umum.pembinaan matematik:
- konsistensi;
- kepenuhan;
- kemerdekaan.
Dalam proses itu, kaedah tafsiran muncul dan berjaya dibangunkan. Kaedah ini diterangkan seperti berikut: untuk setiap konsep keluaran dalam teori, objek matematik ditetapkan, yang keseluruhannya dipanggil medan. Pernyataan tentang unsur-unsur yang ditentukan boleh palsu atau benar. Akibatnya, pernyataan dinamakan bergantung pada kesimpulan.
Ciri-ciri teori tafsiran
Sebagai peraturan, medan dan sifat juga dipertimbangkan dalam sistem matematik, dan ia, seterusnya, boleh menjadi aksiomatik. Tafsiran membuktikan pernyataan yang terdapat konsistensi relatif. Pilihan tambahan ialah beberapa fakta di mana teorinya menjadi bercanggah.
Malah, syarat itu dipenuhi dalam beberapa kes. Akibatnya, ternyata jika terdapat dua konsep yang salah atau benar dalam pernyataan salah satu pernyataan, maka ia dianggap negatif atau positif. Kaedah ini digunakan untuk membuktikan ketekalan geometri Euclid. Menggunakan kaedah tafsiran, seseorang boleh menyelesaikan persoalan kebebasan sistem aksiom. Jika anda perlu menyangkal mana-mana teori, maka sudah cukup untuk membuktikan bahawa salah satu konsep itu tidak berasal dari yang lain dan adalah salah.
Walau bagaimanapun, bersama dengan kenyataan yang berjaya, kaedah ini juga mempunyai kelemahan. Ketekalan dan kebebasan sistem aksiom diselesaikan sebagai soalan yang mendapat keputusan yang relatif. Satu-satunya pencapaian penting tafsiran ialahpenemuan peranan aritmetik sebagai struktur di mana persoalan ketekalan dikurangkan kepada beberapa sains lain.
Perkembangan moden matematik aksiomatik
Kaedah aksiomatik mula berkembang dalam karya Gilbert. Di sekolahnya, konsep teori dan sistem formal telah dijelaskan. Akibatnya, sistem umum timbul, dan objek matematik menjadi tepat. Di samping itu, ia menjadi mungkin untuk menyelesaikan isu-isu justifikasi. Oleh itu, sistem formal dibina oleh kelas tepat, yang mengandungi subsistem formula dan teorem.
Untuk membina struktur ini, anda hanya perlu berpandukan kemudahan teknikal, kerana struktur tersebut tidak mempunyai beban semantik. Mereka boleh ditulis dengan tanda, simbol. Iaitu, sebenarnya, sistem itu sendiri dibina sedemikian rupa sehingga teori formal boleh digunakan dengan secukupnya dan sepenuhnya.
Akibatnya, matlamat atau tugas matematik tertentu dicurahkan ke dalam teori berdasarkan kandungan fakta atau penaakulan deduktif. Bahasa sains berangka dipindahkan ke sistem formal, dalam proses itu, sebarang ungkapan konkrit dan bermakna ditentukan oleh formula.
Kaedah pemformatan
Dalam keadaan semula jadi, kaedah sedemikian akan dapat menyelesaikan isu global seperti ketekalan, serta membina intipati positif teori matematik mengikut formula yang diperolehi. Dan pada asasnya semua ini akan diselesaikan oleh sistem formal berdasarkan kenyataan yang terbukti. Teori matematik sentiasa rumit oleh justifikasi, danGilbert mencadangkan untuk menyiasat struktur ini menggunakan kaedah terhingga. Tetapi program ini gagal. Keputusan Gödel sudah pun pada abad kedua puluh membawa kepada kesimpulan berikut:
- ketekalan semula jadi adalah mustahil kerana fakta bahawa aritmetik rasmi atau sains lain yang serupa daripada sistem ini akan menjadi tidak lengkap;
- formula tidak boleh diselesaikan muncul;
- dakwaan tidak boleh dibuktikan.
Pertimbangan yang benar dan kemasan terhingga yang munasabah dianggap boleh diformalkan. Dengan pemikiran ini, kaedah aksiomatik mempunyai sempadan dan kemungkinan tertentu dan jelas dalam teori ini.
Hasil perkembangan aksiom dalam karya ahli matematik
Walaupun fakta bahawa beberapa pertimbangan telah disangkal dan tidak dibangunkan dengan betul, kaedah konsep berterusan memainkan peranan penting dalam membentuk asas matematik. Selain itu, tafsiran dan kaedah aksiomatik dalam sains telah mendedahkan hasil asas ketekalan, kebebasan pernyataan pilihan dan hipotesis dalam pelbagai teori.
Dalam menangani isu konsistensi, perkara utama ialah menerapkan bukan sahaja konsep yang telah ditetapkan. Mereka juga perlu ditambah dengan idea, konsep dan cara penamat terhingga. Dalam hal ini, pelbagai pandangan, kaedah, teori dipertimbangkan, yang harus mengambil kira makna logik dan justifikasi.
Ketekalan sistem formal menunjukkan kemasan aritmetik yang serupa, yang berdasarkan aruhan, pengiraan, nombor transfiniti. Dalam bidang saintifik, aksiomatisasi adalah yang paling pentingalat yang mempunyai konsep dan pernyataan yang tidak dapat disangkal yang diambil sebagai asas.
Intipati pernyataan awal dan peranannya dalam teori
Penilaian kaedah aksiomatik menunjukkan bahawa sesetengah struktur terletak pada intipatinya. Sistem ini dibina daripada pengenalpastian konsep asas dan pernyataan asas yang tidak ditentukan. Perkara yang sama berlaku dengan teorem yang dianggap asli dan diterima tanpa bukti. Dalam sains semula jadi, pernyataan sedemikian disokong oleh peraturan, andaian, undang-undang.
Kemudian proses membetulkan asas penaakulan yang telah ditetapkan berlaku. Sebagai peraturan, ia serta-merta menunjukkan bahawa yang lain disimpulkan dari satu kedudukan, dan dalam proses yang lain keluar, yang, pada dasarnya, bertepatan dengan kaedah deduktif.
Ciri sistem pada zaman moden
Sistem aksiomatik termasuk:
- kesimpulan logik;
- istilah dan takrifan;
- pernyataan dan konsep yang sebahagiannya salah.
Dalam sains moden, kaedah ini telah kehilangan keabstrakannya. Aksiomatisasi geometri Euclidean adalah berdasarkan proposisi intuitif dan benar. Dan teori itu ditafsirkan dengan cara yang unik dan semula jadi. Hari ini, aksiom ialah peruntukan yang jelas dengan sendirinya, dan perjanjian, dan sebarang perjanjian, boleh bertindak sebagai konsep awal yang tidak memerlukan justifikasi. Akibatnya, nilai asal mungkin jauh dari deskriptif. Kaedah ini memerlukan kreativiti, pengetahuan tentang perhubungan dan teori asas.
Prinsip asas membuat kesimpulan
Kaedah aksiomatik deduktif ialah pengetahuan saintifik, dibina mengikut skema tertentu, yang berdasarkan hipotesis yang direalisasikan dengan betul, memperoleh pernyataan tentang fakta empirikal. Kesimpulan sedemikian dibina berdasarkan struktur logik, dengan terbitan keras. Aksiom pada mulanya adalah pernyataan yang tidak dapat dinafikan yang tidak memerlukan bukti.
Semasa pemotongan, keperluan tertentu digunakan pada konsep awal: ketekalan, kesempurnaan, kebebasan. Seperti yang ditunjukkan oleh amalan, syarat pertama adalah berdasarkan pengetahuan logik formal. Maksudnya, teori itu tidak sepatutnya mempunyai makna kebenaran dan kepalsuan, kerana ia tidak akan mempunyai makna dan nilai lagi.
Jika syarat ini tidak dipenuhi, maka ia dianggap tidak serasi dan hilang sebarang makna di dalamnya, kerana beban semantik antara kebenaran dan kebatilan hilang. Secara deduktif, kaedah aksiomatik ialah cara membina dan mengesahkan pengetahuan saintifik.
Aplikasi praktikal kaedah
Kaedah aksiomatik untuk membina pengetahuan saintifik mempunyai aplikasi praktikal. Malah, cara ini mempengaruhi dan mempunyai kepentingan global untuk matematik, walaupun pengetahuan ini telah mencapai kemuncaknya. Contoh kaedah aksiomatik adalah seperti berikut:
- afine planes mempunyai tiga pernyataan dan definisi;
- teori kesetaraan mempunyai tiga bukti;
- hubungan binari dibahagikan kepada sistem definisi, konsep dan latihan tambahan.
Jika anda ingin merumuskan maksud asal, anda perlu mengetahui sifat set dan unsur. Pada dasarnya, kaedah aksiomatik membentuk asas pelbagai bidang sains.
