Georg Kantor (foto diberikan kemudian dalam artikel) ialah seorang ahli matematik Jerman yang mencipta teori set dan memperkenalkan konsep nombor transfiniti, besar tak terhingga, tetapi berbeza antara satu sama lain. Dia juga menentukan nombor ordinal dan kardinal serta mencipta aritmetiknya.
Georg Kantor: biografi ringkas
Dilahirkan di St. Petersburg pada 1845-03-03. Bapanya adalah seorang warga Denmark yang beragama Protestan, Georg-Valdemar Kantor, yang terlibat dalam perdagangan, termasuk di bursa saham. Ibunya Maria Bem adalah seorang Katolik dan berasal dari keluarga pemuzik terkemuka. Apabila bapa Georg jatuh sakit pada tahun 1856, keluarga itu mula-mula berpindah ke Wiesbaden dan kemudian ke Frankfurt untuk mencari iklim yang lebih ringan. Bakat matematik budak lelaki itu muncul sebelum hari lahirnya yang ke-15 semasa belajar di sekolah swasta dan gimnasium di Darmstadt dan Wiesbaden. Akhirnya, Georg Cantor meyakinkan bapanya tentang hasrat teguhnya untuk menjadi seorang ahli matematik, bukan seorang jurutera.
Selepas belajar ringkas di Universiti Zurich, pada tahun 1863 Kantor dipindahkan ke Universiti Berlin untuk mempelajari fizik, falsafah dan matematik. Ada diadiajar:
- Karl Theodor Weierstrass, yang pengkhususannya dalam analisis mungkin mempunyai pengaruh terbesar pada Georg;
- Ernst Eduard Kummer, yang mengajar aritmetik yang lebih tinggi;
- Leopold Kronecker, ahli teori nombor yang kemudiannya menentang Cantor.
Selepas menghabiskan satu semester di Universiti Göttingen pada tahun 1866, pada tahun berikutnya Georg menulis disertasi kedoktorannya bertajuk "Dalam matematik seni bertanya soalan lebih berharga daripada menyelesaikan masalah", berkenaan masalah yang Carl Friedrich Gauss miliki. tidak dapat diselesaikan dalam Disquisitiones Arithmeticae (1801). Selepas mengajar sebentar di Sekolah Perempuan Berlin, Kantor mula bekerja di Universiti Halle, di mana beliau kekal sehingga akhir hayatnya, pertama sebagai guru, dari 1872 sebagai penolong profesor, dan dari 1879 sebagai profesor.
Penyelidikan
Pada permulaan siri 10 kertas kerja dari 1869 hingga 1873, Georg Cantor mempertimbangkan teori nombor. Kerja itu mencerminkan minatnya terhadap subjek itu, kajiannya tentang Gauss dan pengaruh Kronecker. Atas cadangan Heinrich Eduard Heine, rakan sekerja Cantor di Halle, yang mengiktiraf bakat matematiknya, dia beralih kepada teori siri trigonometri, di mana dia mengembangkan konsep nombor nyata.
Berdasarkan kerja pada fungsi pembolehubah kompleks oleh ahli matematik Jerman Bernhard Riemann pada tahun 1854, pada tahun 1870 Kantor menunjukkan bahawa fungsi sedemikian boleh diwakili hanya dalam satu cara - dengan siri trigonometri. Pertimbangan set nombor (titik) yangtidak akan bercanggah dengan pandangan sedemikian, membawanya, pertama, pada tahun 1872 kepada definisi nombor tidak rasional dari segi jujukan konvergen nombor rasional (pecahan integer) dan seterusnya ke permulaan kerja pada kerja hidupnya, teori set dan konsep daripada nombor transfiniti.
Teori Set
Georg Cantor, yang teori setnya berasal dari surat-menyurat dengan ahli matematik Institut Teknikal Braunschweig Richard Dedekind, adalah kawannya sejak kecil. Mereka membuat kesimpulan bahawa set, sama ada terhingga atau tak terhingga, ialah koleksi unsur (cth nombor, {0, ±1, ±2…}) yang mempunyai sifat tertentu sambil mengekalkan keperibadiannya. Tetapi apabila Georg Cantor menggunakan surat-menyurat satu dengan satu (contohnya, {A, B, C} hingga {1, 2, 3}) untuk mengkaji ciri-ciri mereka, dia segera menyedari bahawa mereka berbeza dalam tahap keahlian mereka, malah jika ia adalah set tak terhingga., iaitu set, bahagian atau subset yang merangkumi seberapa banyak objek seperti objek itu sendiri. Kaedahnya tidak lama kemudian memberikan hasil yang menakjubkan.
Pada tahun 1873, Georg Cantor (ahli matematik) menunjukkan bahawa nombor rasional, walaupun tidak terhingga, boleh dikira kerana ia boleh dimasukkan ke dalam korespondensi satu dengan satu dengan nombor asli (iaitu 1, 2, 3, dsb.). d.). Dia menunjukkan bahawa set nombor nyata, yang terdiri daripada nombor tidak rasional dan rasional, adalah tidak terhingga dan tidak boleh dikira. Lebih paradoks, Cantor membuktikan bahawa set semua nombor algebra mengandungi sebanyak elemenberapa banyak set semua integer, dan nombor transendental, yang bukan algebra, yang merupakan subset nombor tak rasional, tidak boleh dikira dan, oleh itu, nombornya lebih besar daripada integer, dan harus dianggap sebagai tak terhingga.
Lawan dan penyokong
Tetapi kertas kerja Kantor, di mana beliau mula-mula mengemukakan keputusan ini, tidak diterbitkan di Krell, kerana salah seorang pengulas, Kronecker, telah menentang sekeras-kerasnya. Tetapi selepas campur tangan Dedekind, ia diterbitkan pada tahun 1874 di bawah tajuk "Pada sifat ciri semua nombor algebra sebenar."
Sains dan kehidupan peribadi
Pada tahun yang sama, semasa berbulan madu bersama isterinya Wally Gutman di Interlaken, Switzerland, Kantor bertemu Dedekind, yang bercakap dengan baik tentang teori baharunya. Gaji George adalah kecil, tetapi dengan wang bapanya, yang meninggal dunia pada tahun 1863, dia membina sebuah rumah untuk isteri dan lima anaknya. Banyak kertas kerjanya diterbitkan di Sweden dalam jurnal baharu Acta Mathematica, disunting dan diasaskan oleh Gesta Mittag-Leffler, yang merupakan antara yang pertama mengenali bakat ahli matematik Jerman itu.
Sambungan dengan metafizik
Teori Cantor menjadi subjek kajian yang benar-benar baru mengenai matematik yang tak terhingga (cth siri 1, 2, 3, dsb., dan set yang lebih kompleks), yang sangat bergantung pada surat-menyurat satu-dengan-satu. Pembangunan kaedah pementasan baharu Kantorsoalan mengenai kesinambungan dan infiniti, memberikan penyelidikannya watak yang samar-samar.
Apabila dia berhujah bahawa nombor tak terhingga benar-benar wujud, dia beralih kepada falsafah kuno dan zaman pertengahan mengenai infiniti sebenar dan berpotensi, serta pendidikan agama awal yang diberikan oleh ibu bapanya. Pada tahun 1883, dalam bukunya Foundations of General Set Theory, Kantor menggabungkan konsepnya dengan metafizik Plato.
Kronecker, yang mendakwa bahawa hanya integer “wujud” (“Tuhan mencipta integer, selebihnya adalah kerja manusia”), selama bertahun-tahun menolak sekeras-kerasnya alasannya dan menghalang pelantikannya di Universiti Berlin.
Nombor Transfinite
Pada tahun 1895-97. Georg Cantor membentuk sepenuhnya tanggapannya tentang kesinambungan dan ketakterhinggaan, termasuk nombor ordinal dan kardinal tak terhingga, dalam karyanya yang paling terkenal, diterbitkan sebagai Contributions to the Establishment of the Theory of Transfinite Numbers (1915). Esei ini mengandungi konsepnya, yang mana dia telah diterajui dengan menunjukkan bahawa himpunan tak terhingga boleh dimasukkan ke dalam surat-menyurat satu dengan satu dengan salah satu subsetnya.
Di bawah nombor kardinal transfinite terkecil, dia maksudkan kekardinalitian mana-mana set yang boleh dimasukkan dalam surat-menyurat satu dengan satu dengan nombor asli. Cantor memanggilnya aleph-null. Set transfinite besar dilambangkan aleph-satu, aleph-dua, dsb. Beliau seterusnya mengembangkan aritmetik nombor transfiniti, yang serupa dengan aritmetik terhingga. jadi diamemperkaya konsep infiniti.
Pembangkang yang beliau hadapi dan masa yang diambil untuk idea-ideanya diterima sepenuhnya adalah disebabkan oleh kesukaran menilai semula persoalan kuno tentang apa itu nombor. Cantor menunjukkan bahawa set titik pada garis mempunyai kardinaliti yang lebih tinggi daripada aleph-zero. Ini membawa kepada masalah terkenal hipotesis kontinum - tiada nombor kardinal antara aleph-sifar dan kuasa mata pada garisan. Masalah ini pada separuh pertama dan kedua abad ke-20 menimbulkan minat yang besar dan telah dikaji oleh ramai ahli matematik, termasuk Kurt Gödel dan Paul Cohen.
Kemurungan
Biografi Georg Kantor sejak 1884 dibayangi oleh penyakit mentalnya, tetapi dia terus bekerja secara aktif. Pada tahun 1897 beliau membantu mengadakan kongres matematik antarabangsa yang pertama di Zurich. Sebahagiannya kerana dia ditentang oleh Kronecker, dia sering bersimpati dengan ahli matematik muda yang bercita-cita tinggi dan berusaha mencari jalan untuk menyelamatkan mereka daripada gangguan guru yang berasa terancam oleh idea baharu.
Pengiktirafan
Pada permulaan abad ini, karya beliau telah diiktiraf sepenuhnya sebagai asas bagi teori fungsi, analisis dan topologi. Di samping itu, buku-buku Cantor Georg berfungsi sebagai dorongan untuk perkembangan selanjutnya sekolah intuisi dan formalis asas logik matematik. Ini dengan ketara mengubah sistem pengajaran dan sering dikaitkan dengan "matematik baharu".
Pada tahun 1911, Kantor adalah antara yang dijemputsambutan ulang tahun ke-500 Universiti St. Andrews di Scotland. Dia pergi ke sana dengan harapan dapat bertemu dengan Bertrand Russell, yang, dalam karya Principia Mathematica yang diterbitkan baru-baru ini, berulang kali merujuk kepada ahli matematik Jerman, tetapi ini tidak berlaku. Universiti menganugerahkan ijazah kehormat kepada Kantor, tetapi kerana sakit dia tidak dapat menerima anugerah itu secara peribadi.
Kantor bersara pada tahun 1913, hidup dalam kemiskinan dan kelaparan semasa Perang Dunia Pertama. Perayaan sempena ulang tahunnya yang ke-70 pada tahun 1915 telah dibatalkan kerana perang, tetapi upacara kecil diadakan di rumahnya. Dia meninggal dunia pada 1918-06-01 di Halle, di hospital psikiatri, tempat dia menghabiskan tahun-tahun terakhir hidupnya.
Georg Kantor: biografi. Keluarga
9 Ogos 1874, seorang ahli matematik Jerman berkahwin dengan Wally Gutmann. Pasangan itu mempunyai 4 anak lelaki dan 2 anak perempuan. Anak terakhir dilahirkan pada tahun 1886 di sebuah rumah baru yang dibeli oleh Kantor. Warisan bapanya membantunya menyara keluarganya. Kesihatan Kantor sangat terjejas oleh kematian anak bongsunya pada tahun 1899, dan kemurungan tidak meninggalkannya sejak itu.
